耐人寻味的数学诗词题

《尚书》云“诗言志，歌咏言”，诗词是人类情感的结晶。有一些数学家也是心灵诗人，不少古算家以诗词抒怀，把他们钟爱的一些数学名题，以及博大精深的数学思想、方法，编成耐人寻味的诗词题。他们用朗朗上口的诗歌启迪后辈的心智，传递数形的信息，使一些抽象、难懂的数学问题得到形象、生动、押韵的诗味表达，既有助于理解、记诵，又可引人入胜，激发读者的浓厚兴趣和好奇心。

例如，明代数学家吴敬《九章算法比类大全》（1450）中的一首诗：

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。

古代印度数学家婆什迦罗《莉拉沃蒂》（1150）一书中的一首诗：

平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲。

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。

渔人观看忙向前，花离原位二尺远。

能算诸君请解题，湖水如何知深浅。

数学诗词题是反映数量关系内在联系及其规律的一种新颖的表达形式，其中的数学精华，以及蕴含的数学法则、公式、思想和方法，等待读者去思考与解答。

中国古算诗词歌赋较多，最早是《孙子算经》（公元4世纪，如卷下第31题、第34题），同时还有南宋杨辉的《日用算法》（1262）自序称“编诗括十有三首。”这是算法化、口诀化、大众化的代表作。后来元代朱世杰的《四元玉鉴》（1303）、明代吴敬的《九章算法比类大全》（1450）、刘仕隆的《九章通明算法》（1424）、程大位的《算法统宗》（1592）以及清代梅瑴成的《增删算法统宗》（1761）等著作中都有古算诗词题。有趣的是，程大位著作中共有110首诗词题，叫“难题”，是从吴敬的著作（331首）和刘仕隆的著作（33首）中精选出来的。而梅瑴成著作中的110首又是根据程大位的著作增删而成的。

古算诗词题在教育中有一定作用，遗憾的是有一些人认识不到其价值和作用，如宋朝荣棨说：南宋首都临安（今杭州）算书中已有诗词题（未录书目），但“或隐问答以欺众，或添歌彖以衒己，乖万世益人之心，为一时射利之具”（《黄帝九章》古序）。显然，他把这种古算诗词题（歌彖）贬斥为欺众、炫己、益人之心、一时射利之具，似有偏颇，看不到它除了具备教育功能外，还可以是数学通向科学、历史和文学的桥梁，能使读者从中感悟到数学与文史、数学与科学文化的交融和汇合。

诗词古体表达的数学问题，因古今语言文字差异，或有时照顾押韵、格律等，有些诗词题语言含糊、内容难懂。因此，《古算诗词题今解》从中外古代数学书中精选出约200首诗词题进行注释，译为白话，并且突出地给出古今多种不同解法（一题多解，启发创新）；有的还补出书上省略的算理，并以蕴含哲理的精辟小议，融知识性、趣味性和文理史哲等多学科为一体。这是传承和弘扬古算诗词题文化遗产，亦即传播优秀的数学文化传统，使其不致失传的一项研究工作。

古算诗词赏析

排鱼求数

三寸鱼儿九里沟，口尾相衔直到头。

试问鱼儿多少数，请君对面说因由。

———梅瑴成《增删算法统宗》（1761）

［注释］ 关于里、步的大小随朝代不同。

周代１步＝8尺。秦汉至南北朝1步＝6尺，1里＝300步。如《汉书·食货志》载：1里＝300步，1步＝6尺，简称秦汉制。约从隋唐改为1里＝360步，1步＝5尺。这是旧制以营造尺，五尺为步。梅瑴成（1681—1763）清代数学家，“瑴”音同决，jué。

［译文］3寸长的一群小鱼儿，它们口尾相接在河里游玩，从头到尾排成了9

里长。试问这群鱼儿有多少条？请说出你推算的理由。

［解法］（古算家解法）因为1里＝360步，所以9里为

9×360＝3240（步）

又因为1步＝5尺＝50寸

所以3240×50＝162000（寸）

所以162000÷3＝54000（条）

答：这群活泼可爱的小鱼儿共有5.4万条。

［说明］诗言志，歌咏言，数学诗题很迷人。这首朗朗上口的数学诗歌题仿佛把我们带到了孩提时代观赏游鱼的趣景。

沽酒待客（西江月）

待客携壶沽酒，不知壶内金波。

逢人添倍又相和，共饮斗半方可。

添饮还经五处，壶中酒尽无多。

要知原酒无差池，甚么法儿方可。

———程大位《算法统宗》

［注释］“倍”，指1倍。“斗半”，指1斗半，即1.5斗。

［译文］家里来了客人去买酒，不知道壶里原来还剩多少美酒。在买酒的地方遇见了老朋友，将壶中的酒添加一倍后，便和老朋友共饮起来了，每一次共饮壶中1.5斗酒。这样反复经过5次，最后将壶中酒喝尽无余。试问原来壶里有多少酒，用什么方法计算出来。

［解法］古算家在古算书上是用“算术法”来解的，这里用简洁明了的“方程法”来解。

设原来壶中有酒x斗，根据题意

“逢人添倍”后２x

“共饮斗半”后２x－1.5

“添饮还经五处”以后有

2（2｛2［2（2x－1.5）－1.5］－1.5｝－1.5）－1.5

最后壶中酒尽，得方程

2（2｛2［2（2x－1.5）－1.5］－1.5｝－1.5）－1.5＝0

解得

x＝1.453125（斗）

答：原来壶中有酒1斗4升5合3勺1抄2撮5圭。

鸡兔同笼

今有雉兔同笼，上有三十五头，

下有九十四足，问雉兔各几何？

——— 《孙子算经》卷下第31题

［注释］“雉”，音同秩，通指野鸡，这里指家鸡。鸡与兔关在一个笼子里，简称“鸡兔同笼”。

［译文］今有鸡兔关在一个笼子里，上有头35个，下有足94只，问鸡、兔各多少？

［解法一］（《孙子算经》解法）根据古算书解法，用今式说明其解法理由。因每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，不妨设想鸡和兔的脚数都是双只，则每只鸡１双脚，每只兔两双脚。题目中脚的总数由94只变为47双，但还比鸡兔总头数多12，多在谁的身上呢？多在兔的身上，因此

有兔47－35＝12（只）

有鸡35－12＝23（只）

可将古人解法列为今综合式为

有兔94÷2－35＝12（只）

有鸡35－12＝23（只）

答：有鸡23只，有兔12只。

注：《孙子算经》解法，经当代人研究，可以总结出如下解法公式：

设头数是犃，足（脚）数是犅，则解法公式是

兔数＝1/2B－A

鸡数＝A－（1/2B-A)

奇妙的解法公式是怎样得来的，利用方程组推演便可知。

设狓为鸡数，狔为兔数，则

x＋y＝A

２x＋４y＝B

解方程组，得

y＝1/2B-A

x=A-y=A-(1/2B-A)

将A＝35，B＝94 代入公式，即得

有鸡x＝23（只）

有兔y＝12（只）

［解法二］（算术解法之一）以兔脚为主元思考：设想头35全是兔，则应有34×4＝140只脚，这样多出了140－94＝46只脚，可以用兔替换同样数目的鸡来减少脚数，每去掉一只兔（换进一只鸡），减少2只脚，需要去掉多少只兔（即换进多少鸡）才能减少46只脚？显然

有鸡46÷2＝23（只）

有兔35－23＝12（只）

若用数学综合式计算为

有鸡（35×4－94）÷ （4－2）＝23（只）

有兔35－23＝12（只）

答：鸡23只，兔12只。

［解法三］（算术解法之二）以鸡脚为主元。类似上述分析方法可知，应有32×2＝70只脚，比题目中少94－70＝24只脚，用鸡换兔可知，应有兔12只，鸡23只。

若列成综合式计算

有兔（94－35×2）÷（4－2）＝12 （只）

有鸡35－12＝23（只）

［说明］“鸡兔同笼”是我国民间流传很广的名题之一，也是现代小学数学中一类著名的问题。问题的模型是：“已知鸡兔头数与脚数，求鸡兔各几？”解法也多，如古算书法及其总结出的公式；以兔脚为主元（如解法二）或以鸡脚为主元（如解法三），还可用代数法的方程（组）来解。

本文摘编自《古算诗词题今解》，内容有删减，题目为编者所加。

古算诗词题今解

徐品方 著

责任编辑：侯俊琳　田慧莹　崔慧娴

北京：科学出版社 2018.02

ISBN 978-7-03-055613-4

古算诗词题是我国珍贵的文化遗产。我国古算家文理兼优，把博大精深的古算名题和算法推理编成耐人寻味、朗朗上口的诗词或歌谣，使抽象难懂的数学题形象生动、易于理解和记诵，同时激发人们学习数学的兴趣。《古算诗词题今解》精选出古代数学中的约200首中外诗词题进行注释，译为白话文，并且重点给出古今240多种不同解法，有的还补充出原著省略的算理。《古算诗词题今解》按主要解题的方法为序编排诗词题，方便读者查阅、使用。

（本期编辑：安 静）

一起阅读科学!

科学出版社│微信ID：sciencepress-cspm

专业品质 学术价值

原创好读 科学品味