被拉普拉斯评价为延长了天文学家寿命的对数函数 - 图解数学系列

笛卡尔的直角坐标系, 纳皮尔(John Napier)的对数, 牛顿和莱布尼茨的微积分是十七世纪最伟大的三大发明. 其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家拉普拉斯评价为"用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍".

为什么会有这种说法呢? 那是因为在那个时代, 特别对天文学而言, 对数的出现使得复杂易错的计算变得简单可靠, 并且在便携计算器和计算机发明之前, 它一直被广泛应用在数学计算之中, 也是数学家的基本技能. 这次让我们来看下对数以及如何用它来简化计算.

01 对数函数 Logarithm【Definition】

对数依赖于底数和真数, 这样表示:

指数与对数是互逆关系, 两者在数学中都是非常重要的. 从下面图形中可以看到左边为指数表达, 右边则是对数表达结构:

02 函数动画 Logarithm【Animation】

那么对数的图像在定义域内, 究竟是怎样变化呢? 请观察下面一系列取不同底数时候对数的函数图像, 注意当 a >0 时在不同范围内如何变化:

观察要点:

• 函数必经过点 (1,0) 处;

• 当 0 < a < 1 时, 函数为严格单调下降, 且随着增大, 下降速度增大;

• 当 a > 1 时, 函数为严格单调上升, 但随着变大, 增大速度越来越小;

指数与对数是互逆函数, 现在用动画的方式来对指数和对数来进行一个对比:

观察要点:

• 对称轴为 y = x ;

• 指数函数必经过(0,1) 点;

• 对数必经过(1,0)点;

现在我们回过头再来解释下为什么拉普拉斯说对数为"用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍".

原因就是在于当时哥白尼的"日心说刚刚被学界接受, 天文学家为了研究星球轨道需要进行大量的乘法计算. 但是由于数字太大, 为了得到一个结果, 往往需要花费很大的精力手工计算 很长的时间. 而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算, 这个发现当时震动了整个数学界.

我们来看看怎样利用对数的性质来简化计算, 简单来讲是将注意力从需要参与计算的数转移到了幂的部分, 只要底数相同, 利用下面的运算性质就能使得计算变得简便.

对数运算性质 | 图自维基

以计算 512 x8192 为例看下整个计算的过程. 下面图形是底数为 2 对应的幂以及相对应的结果, 类似这样的映射关系是人们可以直接从《常用对数表》直接查询到的.

想要求出 512 x 8192 的结果, 需要查 512 所对应的指数为 9, 而 8192 对应 13.

然后可以轻松计算出 9 + 13 = 22, 再去《对数表》中反向去查 22 所对应的值, 就得到结果为 4194304 .

上面是把两个大数(512 x8192)的乘法转化成加法(9+13)借助查表算出结果, 类似除法运算也可以转成减法来做. 加减法当然要比乘除法更容易的多, 所以说这是一个伟大的简化数值计算方法. 下面就是《常用对数表》的图片:

20世纪的常用对数表的一个实例(图自维基)

最后附文中所提及数学家的时间轴线图:

参考资料: 维基百科

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