高考模块由浅入深系列之“数列”：从一个小故事认识“等差数列”

数列是高中重要的知识，与其它的知识点有以下密切的联系：

现代数学是以“集合”为基础，以“函数”为灵魂的，所以先将“数列”与“集合、函数”建立起联系，如下：

“数列”是“特殊的函数”（离散性），是“特殊的集合”（有序性）。

据说，“等差数列”是高斯在小学发明的，距今已有200多年的时间了。

高斯小学时，老师要求同学们做一道“从1加到100”的题。

高斯很快就算出了答案，他是这样算的：

1+100=101，

2+99=101······

50+51=101。

从1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

唉，不得不慨叹：高斯真乃神人也。

好，我们今天就来研究一下这个“小学生”的这道题吧。

先祭出大杀器，如下：

上面的公式所描述的意思是由“求和公式”推导出“前n项求和公式”。

“等差数列”有一句重要的口诀“知三求二”，它的意思是：

在等差数列中，有五个量，分别是：

①首项：a1；

②末项：an；

③公差：d；

④前n项之和：Sn；

⑤第n项：n。

我们只要知道其中任何3个量，余下2个量即可求出。

我们就将高斯的那道著名的数列来举个例子，如下：

已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1=1，公差d=1，求S5。

做题之前，先在脑海里将“等差数列”的五个量过一遍，然后根据“知三求二”的原则，找到“己知的三个量”和未知的两个量。

先找已知的三个量，如下：

①首项：a1＝1

②公差：d＝1

③前n项：n＝5

其中“首项”和“公差”是等差数列中的“两大支柱”，因为有了这两项，用“死办法”都可以列出这个数列了。

所以说，这是一道简单得不能再简单的题了。

不过，简单归简单，绝不能忽视它，因为在高端大气上档次的高考中，“数列”是不会以单个知识点出现的，往往会与“三角函数”、“不动点”、“导数”等知识点交织在一起，出现在最后一题的机率很大，难度非常之高。

越是基础的东西越不能忽视，正所谓万丈高楼平地起，复杂的问题都是由简单的问题组成的。

千万不能“简单的不想弄，复杂的弄不来”，而要学会步步为营，由简单向复杂演化，以简驭繁，然后再由繁化简。

好了，说正事：根据“知三求二的原则”，就可以得出要求的量。

将已知的三项代入“前n项求和公式”，如下：

S5＝5×1＋5（5－1）x1÷2

S5＝5＋20÷2

S5＝15

经验算，答案正确。

小伙伴们，你们对此有什么看法呢？欢迎留言讨论。