初二数学：管中窥豹，一例详述几何动点问题的思路分析技巧

转载自百家号作者：米粉老师说数学

欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，几何动点动态问题，一直是初中几何中的一个难点，也是考试中最常见的几何压轴题，解决这类综合大题，除了有较强的知识综合功底外，还特别讲究解题思路分析方法与技巧，我们通过一道例题，详细地说一说，解决几何动点问题，是如何展开分析与思考的，又是如何协调好里面的各种分类讨论情形与步骤的。

例：如图(1)，直角三角形AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2√3，OC平分∠AOB，交AB于点C，过点O作与OB的垂直直线ON，动点P从点B出发沿折线BC—ON以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO—ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q现时停止运动。

（1）求OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图(2)，设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值。

思路分析：

（1）题中出现直角三角形及特殊角，由求OC或BC的长，可利用含有特殊角的直角三角形性质及勾股定理来求解。

（2）把握两条分析思路线：①面积问题，首先考虑面积方法，再依面积方法去寻找S与t的等量关系式，再依等量关系式列出S与t的函数关系式；②几何动点问题，必定存在分类讨论，先把存在的各种动点运动位置的可能性先明确下来，如此题，有四种情形：0<t<2,t=2,2<t<4,t=4，再按这四种运动位置情况确定面积方法。

（3）题目遇到等腰三角形，首先考虑分类讨论，初中几何中，等腰三角形的分类讨论只有两种：①若是“两定一点”，“两圆一线”方法更便捷；②其余情形，采用“两两分别相等分三种情况讨论”更合适。此题Q、P是动点，故采用第②种分类讨论的方法，分三种情况一一展开思考。另介绍一个考试中遇到等腰三角形分类讨论题时的考试技巧：等腰三角形分类讨论的三种情形，从难度系数上说，一般有一种情况很简单、有一种情况适中，有一种情况必定压轴，难度很大，而在评分细则上，每一种情况都是1分，不分难易，所以，从考试“得分优先”的原则上说，遇到等腰三角形分类讨论题时，解题步骤应该是：先摆出三种情况，再按由简到难的做题顺序去解题。

解析：

（1）由题可知：∠AOB=60°，OB=2√3，

∴∠B=30°，OA=√3，由勾股定理可得AB=3，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠COB=30°，

∴OC=BC，OC=2AC，

AO=√3AC，OC=（√3/2）OA，

∴OC=2，∴BC=2.

（2）由图可知，存在以下四种情况：

（3）当△OPM为等腰三角形时，存在三种情形：

①当OP=PM时，如图6，

则∠AOP=∠OMP=30°，而∠AON=30°，

∴∠OMP=∠AON，∴PM//ON，

不符题意，故不存在；

②当OM=PM时，如图7，则∠AOP=∠MPO=30°，

而∠CON=60°，∴∠OQP=90°，

∴OP=2OQ，由题可得：OP=4-t，OQ=t-2，

∴2（t-2）=4-t，

解得t=8/3；

③当OP=OM时，如图8，则∠OMP=∠OPM=75°，

而∠AON=30°，∴∠OQP=45°，

解题技巧：遇45°角又需要添辅助线的，用垂线构造等腰直角三角形，故

综上所述，当△OPM为等腰三角形时，t的值为8/3或(6+2√3)/3.

点评：

在第（2）小题中，每一步的分析思路过程是相似的：画出图形---确定面积方法：公式法----知底作高----利用面积公式列代数式；且高都是由点Q引出，计算高的长度也均是利用直角三角形60°直角边与斜边的关系求解。在第（3）小题，每一步的分析思路也是相似的：由等边确定等角，由等角明确三角形形状，利用含有特殊角的直角三角形边角关系解题。这样一种相近似的思路分析方法或步骤，用数学术语说，它就是“解题思路的延续性”；而用口头语言通俗地说，就是“套”：套思路、套解题过程，这也是解决初中几何动点动态问题在分析思路上的一个很实用的解题技巧，掌握好理解透，对解决初中数学试卷中的几何动点动态问题，有非常大的帮助。

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