“数学”之美为何令人痴迷？看看“美颜相机”的工作原理就知道了

在这个世界上，哪一门学科是最美的？当然是数学。德国数学家克莱因说：“音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切”。

数学之美既是“抽象”的也是“具体”的，二者之间有着“一一对应”的关系。因而，数学之美既可以看见也可以听见。

比如在计算机科学高度发达的今天，网络上出现了各种各样的“美容”、“美声”软件。我们可以对“照片”、“视频”、甚至“声音”进行几乎随心所欲地美化，给人带来最美的视听享受。

其实，那些所谓的“美颜相机”，都是运用“数学原理”中的“傅立叶变换”对影像进行美化的，这到底是一个怎样神奇的过程呢？我们就得从美妙的“数列”所讲起。

人类的祖先在遥远的古代，发现了第一个数列——自然数列：1、2、3、4……，从那一刻起，人类的文明就如拧开了水龙头的水一样连绵不断地流淌了出来。

在遥远的古希腊海滩上，毕达哥拉斯带领着他的门徒们用石子摆出各种形式的“数列”：“三角形数”、“四方形数”。毕达哥拉斯学派被这样一组组优美的“数列”深深地震憾了，他们对其进行了疯狂的崇拜，认为“万物皆数”，“数”是上帝统治世界的工具。

然而，“数列”为何如此令人痴迷？

其实“数列”用语言描述起来很简单，它就是一列“有序的数”。但是，随着人类深入地研究，发现了“数列”与“函数”之间神秘的联系：

第一、可以用“函数”解释“数列”：“数列”可以看成是其定义域为“正整数集及其子集”的函数。

第二、可以用“数列”解释“函数”，“数列”的“变量"正好符合"函数”的定义，所有的“数列”都可以描述成“函数”形式：an=f(n)。

“数列”与“函数”的关系是如此紧密，甚至在有的时候，我们可以直接将“数列”与“函数”的问题相互转换。

当我们把“函数问题”转化成“数列问题”来解决时，我们称之为“数列法”，我们可以直观地借助“数列极限”来认识“函数极限”。相反，我们可以用“函数”的思想来解决“数列”的问题，可以把“数列通项公式an=n^2”看成是分布在“抛物线y=x^2右支”上的点，然后用“函数法”来求“数列”的最值，这样的方法我们称之为“函数法”。

“数列”与“函数”最显著的区别是：“数列”是“离散型”的，其图像是“孤立的点”，而“函数”则是“连续型”的，其图像在大多数情况下是“连续的线”。

既然“数列”和“函数”如此紧密，如果将二者结合起来，将会产生怎样的奇迹呢？

当我们把“数列的项”依次用“加号”连接起来构成“函数”，我们可以构成了数学中最为神奇的“级数”——“傅里叶级数”。

“傅里叶级数”到底有何神奇的呢？

法国数学家傅里叶发现，任何“周期函数”都可以用“正弦函数”和“余弦函数”构成的“无穷级数”来表示。也就是说，在傅里叶级数里，任何一个“周期性的函数”，都可以变成 “正、余弦函数的和”，反过来，将不同的“正、余函数”加起来，就可以构成我们想要的“周期性函数”。

“傅里叶级数”的内涵经过延伸与扩展，就构成了“傅里叶变换”。 在“傅里叶变换”里，“非周期信号”可以看作“不同频率的余弦分量叠加”。

“傅里叶变换”的神奇之处在于“数”和“图”之间建立了“一一对应”的关系，能够对“数”和“图”进行“变换”和“逆变换”。当我们要处理“图”上不好处理的问题时，我们可以直接修改与之对应的“数值”。

人们利用“傅立叶变换”这一魔术师般的数学原理，通过对“非周期信号的频谱”特性进行深入分析与精确修改，可以对“声音”和“图像”进行美化。

那么，这个美化的过程是怎样的呢？

无论“声音”还是“图像”信号，我们都可以用两种方法来描述，分别是“时域”和“频域”。当我们用“时域”来进行描述时，着重其“时间”部分，而忽略其“频率”的影响，这种方法叫做“函数法”。这时我们通常用“示波器”将“原始信号”转换为“时域”波形。

另一种方法则是用“频域”来描述，在对“函数”或“信号”进行分析时，忽略其“时间部分”的影响，着重对其“频率”进行分析与处理。在“频域”的分析中，常会用“频谱分析仪”来将实际的信号转换为“频域下的频谱”。

一般来说，用“时域”来表示“声音”和“图像”的信号时显得非常直观，而用“频域”来分析时则显得更为简练，也更加深刻和方便。二者各有优点，因此我们在处理“图像”或“声音”信号时，会根据不同的情况对“频域”和“时域”进行变换，以达到更方便快捷地处理这些“信号”所对应的“数值”。

对于声音来说，“低频”的声音是低沉的，比如“男声”、“低鼓”、“贝司”等声音，而高音则是悦耳的，比如“女高音”、“小提琴”的声音等。

根据声音的这一特性，我们可以利用“傅立叶变换”的原则，将与“频谱”相对应的“数值”进行修改，从而改变声音的“音色”，从而达到“美声”的效果。比如，我们在音乐的“母带处理”中，为了给“人声”留出空间，常常用“低通滤波器”来对“底鼓”、“贝司”等低音乐器作“低通”处理，也就是“裁切”掉中高频的声音，从而达到突出“人声”和“低音乐器”的作用。对于“人声”，如果我们觉得其音色过于低沉，我们就可以用“低切滤波器”对低频部分进行一些切除，从而让声音变得更加悦耳动听，这样就达到了声音“美化”的效果。

对于“图像”来说，“傅立叶变换”的原理也是一样的，只不过其代表的意义不一样。“图像”的“低频”代表的是图像的大致“轮廓”，而“高频”代表的是“图像”的“细节”，比如人脸上面的斑点。在我们美化图像时，如果要进行“瘦脸”等操作，我们就对“低频”所对应的“数值”进行修改，如果对脸进行“磨皮”，就可以对“高频”所对应的数值进行修改，就可以达到“美颜”的效果。

事实上，我们的耳朵和眼睛之所以能听到声音和看到图像，就是因为我们的大脑每时每刻都在进行着“傅立叶变换”，使得我们能够用视觉和听觉去感受这个美妙的世界。