数学家徐利治：追忆我的大学老师华罗庚先生

【编者按】徐利治先生出生于1920年，是华罗庚先生在西南联大时期的助教，对西南联大的“数学三杰”有深切的认识。华罗庚曾说过：“在我的众弟子中，徐利治的研究领域是最广的，思想也是最活跃的．”这从本文中的描述就可以看出来。徐利治教授有一本精彩的访谈录，《徐利治访谈录》（湖南教育出版社，2009年），对西南联大数学系的情况以及他本人的数学经历讲得很细，是一本有趣的史料。另外，徐利治教授与王兴华教授合著的《数学分析中的方法及例题选讲》（高等教育出版社，2015年重印），也是一本不可多得的优秀分析读物。

原文发表于《高等数学研究》2010年第6期，感谢《高等数学研究》授权刊登。以下是正文。（——林开亮）

（一）

过去10 年间, 我曾写过两篇文章, 纪念在西南联大求学时代的老师华罗庚先生. 现今, 2010 年11 月12 日正好是华老的100 周年诞辰, 《高等数学研究》的主编张肇炽教授约我再写一篇纪念华老的文章, 我欣然允诺. 因为我感到还有些有关往事值得追忆, 特别是我对华老的敬业精神与学术思想等方面的深刻印象, 总感到在一两篇文章中是不可能谈透谈全的.

华老大我10 岁. 大学时代我学过华老开设的两门课程( 初等数论和近世代数) . 1945 年大学毕业后,作为他的助教, 我和华老有过较多的接触和交谈, 这就让我有机会多次见到华老伏案研究数学的高度专心神态和献身学术事业的安贫乐道精神.

1945 - 1946 年间, 正是抗日战争胜利前后不久时期, 由于货币贬值, 物价上涨不止, 西南联大教职员工的生活特别清苦. 特别是华老一家七口, 全靠华老一人的工资过活, 其艰难程度可想而知. 在此种情况下, 华老仍不遗余力地专心致志于数学工作, 除为教课准备讲义外, 还经常有论文在美国发表. 有一次华老的好友徐贤修从美国写信告诉他, 说已见到华老一年里在美国诸刊物发表的数学作品的总页数超过100 页. 这表明当年华老在昆明极端艰难的生活条件下, 仍保持着数学研究工作的高效多产状态, 也说明他对数学科研事业不辞辛苦的献身精神. 这种精神显然是与他对数学创新研究工作过程中不断获得高度乐趣有关. 所以我认为用安贫乐道来描述华老当年在昆明时期的精神状态是最为贴切的.

（二）

当年西南联大的许多教授, 大多是从欧美留学归来的, 所以在日常讲课与谈话中, 往往喜欢夹杂一些英语名词或短句. 这种说话风气习惯, 甚至在校园师生群体生活中也都习以为常了. 华老的英文底子并不厚, 但有时也喜欢在言谈中吐露英文词句. 下述三例,留给我的印象较深. 华老的数论研究出了名, 但他曾不止一次地告诉我, 说数学界有些人士曾评论他Hua knows nothing but theory of numbers(华除数论外什么也不懂) . 这在1945 - 1946 年间, 他已对矩阵几何完成了多篇重要论文. 所以他又对我说, 现在人们就不能再说他只懂数论了吧. 上述言谈, 说明华老从中青年时代起, 就是一位在科学研究中自强不息、不断努力、拓广领域的数学家.

当年进一步的接触, 还使我了解到华老是一位兴趣广泛、兼爱文史的学者. 有一次在他家中, 还听到他吟诵王维桃源行的诗句. 1945 年, 重庆中央研究院的社会科学名家陶孟和先生曾到西南联大访问讲学. 他曾举了一个很不恰当的例子来说明人们的生活享受是不可能平等的, 说什么譬如一家人吃鸡吧, 总有人吃了鸡腿,总有人吃不到鸡腿云云. 一次, 华先生讲完课后走近校门口时, 我就告诉他这个笑话. 他立即高声回应说: 那是completely ridiculous( 意指完全荒谬可笑). 当时恰巧经济系的伍启元教授正走过我们的身旁, 听华话音刚落,又重复了一句: completely ridiculous. 此例虽小, 但能说明当年华先生对社会名流言论的是非曲直, 反应是十分锐敏的. 华先生富于联想力的特点有时也表现在言谈中. 记得当年有一次我在华家一起议论到一批社会名流集体访问延安的信息时, 我提到了大公报记者赵超构的字, 华先生立即将此人称之为赵Hyperstructure. 我感到耳目一新, 尽管那时我还不清楚哪些数学结构是属于"超结构"之列.

(三）

这里我乐于回忆的是, 华老在数学教学与科研活动的观点态度等方面留给我的难忘印象, 主要是通过举例来说明我记忆中的故事. 华老的故乡是江苏金坛县. 1945 年秋他的一位小同乡名叫王仁堂的联大法科学生, 和我也相熟, 得知我已当了华的助教, 告诉我说他快毕业了, 还差几个学分, 特托我向华老求助, 希望选修华老的近世代数课, 能弄几个学分( 他知道华老的课程一般不用考试) . 我将此事告知华老后, 华立即严词拒绝, 骂该生太无知了. 有一次我听华先生讲课中, 证明了初等数论中的拉盖尔(Laguerre) 定理

那次下课后, 我将此想法向华先生报告后, 他立即大为不悦, 带着教训的口气说, 已有了精确证明的数论定理, 还用得着借用欠精确的概率推理来推证吗? 上述二例, 说明华先生当年对待数学教学与数学论证自有其坚守的严谨性精神.

由于当年我任助教时期, 自己的数学根底与学识水平还浅薄, 故还不可能参与华先生的科研工作中去, 主要只能帮他作一些校订打印稿件等事务性工作, 有时也做些验算等事, 但通过平时的谈话以及观看他稿件写作形式等印象, 已能初步体会到他的科研工作具有细巧的构造性与计算性特点. 当年华先生还让我读了兰道( E. Landau) 的少量作品, 从而又使我直观地感觉到他的写作风格颇有与兰道相似之处.

华老的治学著述是从精研解析数论之时走上世界数学论坛的, 所以他除了有深厚的代数根底之外, 还有着极好的分析学功底. 当年我当助教时, 他就向我提到了陶贝尔分析( Tauberian analysis) 的重要作用, 如对素数分布理论的应用等. 可惜那时期我对陶贝尔定理还一无所知. 后来, 我自己慢慢成长起来, 并以分析学及函数逼近论等分支作为主攻方向, 有时还偶尔翻阅数学评论(Mathematical Reviews) 上对华老工作的简略介绍, 再加上回想当年在昆明时期所获得的印象, 这时才感到对华老科研活动与学术思想方面的特点能有进一步的分析和体会了.

正如我在10 年前写的纪念文章中所述, 华老科研工作所反映的基本价值观主要表现为: 重视技巧、追求简易、寻求显式、坚持构造和着重应用. 所以我认为在某种程度上, 他可以与德国的雅可比(Jacobi) 、克罗内克( Kronecker) 及兰道等人的工作特点相比拟.

特别值得指出的是, 华在处理复杂计算时, 总是力求最终结果形式上的统一性与简洁性. 这从他在数论与矩阵几何等成果方面即可见一斑. 华老特别重视数学的工具作用, 所以他常常在言谈中把重要的数学知识与有用的数学方法称之为weapon( 武器) . 这可能与他多年钻研数论问题的经验有关. 据所知, 华在晚年时期曾有兴趣研究经济数学(经济学中的数学方法) , 这显然也与他的数学工具观的见解有关.

从数学史上看, 大多数重视和强调数学工具论观点的数学家对数学基础问题中的争论是无大兴趣的, 看来华老也不例外. 在我的记忆中, 他从未谈论过对三大数学流派——直觉主义派、公理主义派、逻辑主义派——的看法和评论. 无疑, 华老的许多科研成果, 特别是那些呈现显式构造性的成果, 实际上是符合直觉主义者存在即构造的观点的.

如我们所知, 西南联大时代的另一位杰出数学家许宝騄先生也是坚持直觉主义观点的, 所以他曾明确表示不赞成康托尔(Cantor) 的无限集合论和超穷数理论. 但华先生和许先生不同, 他是追随数学主流社会的观点的, 还是认可康托尔的基本理论成果的. 这里有三点事实可资佐证: 一是上世纪40 年代初华搞群论讨论班时, 徐贤修发现了查申豪斯( Zassenhaus) 的群论教科书中出现了错误, 曾发表了一篇纠正错误的论文. 华先生对此文大为赞赏, 而在此文中徐贤修的主要结果是利用了康托尔的超穷归纳法才获得证明的. 二是上世纪50 年代初, 我曾费神去研究康托尔集合论中的连续统假设难题, 而华先生对此并未表示反对或劝阻. 三是1954 年, 我有一次访问华家时, 正好遇见北大逻辑学家沈有鼎教授也到华家, 华先生当即对我们说, 你俩正好可以讨论一下超穷集合论中的选择公理( axiom of choice) 的真伪问题. ( 当年我与沈教授的讨论并无结论, 只是有一点共识, 即认为选择公理是一条纯粹的假定, 可以认可它, 也可以拒绝它, 只是要看你对超穷形式思维真理性的信念如何. )

华先生虽不反对超穷集合论, 但自己并无兴趣研究集合论. 这一点他和他的朋友爱尔特希(Erdos)就有所不同了, 后者还写过多篇集合论方面的专题论文. 当然, 他俩有不少相似之处.华在青少年时代, 曾用功自学过克里斯托(Chrystal) 大代数, 所以有着熟练的代数计算少年功, 就像少林派拳术家的“童子功”那样, 这类功夫显然是终生保持的.

记得1954 年匈牙利数学名家杜朗( Turan) 访问北京时, 曾在一次数学座谈会上谈到了清代中国数学家李善兰的一个恒等式：

事后很快华就给出了这一恒等式的证法. 这表明华老的初等数学少年功也是很坚实的.

另一例子是在我以前文章中提到的, 即在抗日战争胜利前一年, 华去到重庆( 当年国民政府的陪都)解决了日军密码的破译问题, 也即发现日本军部所用密码的数学工具即麦比乌斯( Mobius) 反演公式. 这是一个含有麦比乌斯函数在整数因子集上的求和公式. 可以想见华先生早年自学数论时, 不只是从理论上掌握了它, 而且是作过实际计算的, 否则就不可能在面对一批具体数据时, 就会有着洞察其间存在麦比乌斯反演关系的本事.

有些数学界人士都乐愿把华先生和印度数学奇才拉马努金(Ramanujan) 作比较. 显然他俩颇有相似之处. 但我认为最显著不同之处有二: 一是前者是位积极的“入世派”, 不仅关心政治而且乐于参与政治生活, 但后者是位不问政治的“逍遥派”. 二是后者的工作成果更具有独特的个性化特征, 而前者的贡献成果是向主流靠拢的, 基本上反映主流的价值观念. 例如, 当年解析数论中行之有效的哈代——李特尔伍德(Hardy-Littlewood)圆法被更有效地维诺格拉道夫(Vinogradoff) 三角和方法取代后, 华先生便很快努力掌握后一方法去研究数论问题, 以及后来从矩阵几何研究又很快发展到矩阵型多复变函数的研究工作. 这说明华有快速紧随数学新潮的能力和性格. 显然, 对于独往独来的拉马努金来说, 却是有着完全不同的价值观念和性格.

(四）

说到华先生的处世和为人, 在西南联大时期, 我就见到他宽以待人、与人为善的事例, 而且还有着“不耻下问”的学者风范. 这里要谈的事例就是华与早期弟子钟开莱的交往故事. 我们知道, 华曾是钟的学术导师, 只因为钟曾在言词中冲撞过华, 以致关系失和而不再往来. 但当年西南联大校园不大, 两人常有不期而遇的机会. 据所知, 每次两人遇见时, 华先生总是主动向钟打招呼, 而不计前嫌. 记得当年华曾在我面前多次提到钟, 称赞钟是极有才智的人才, 只是有点childish（小孩子气） 而已. 华先生写作矩阵几何数篇论文时, 在将稿件寄往美国发表前, 总是让我把他自己打印好的初稿, 送到钟先生处, 烦请钟帮助修改英文( 这表明华是不耻下问[此处请原谅小编不敢苟同，看起来似乎是钟开莱英文更高明]的) , 钟也总是乐愿帮忙. 这说明他俩后来都不计前嫌了. 有一次, 我去钟处取稿时, 顺便问起: 稿件英文究竟怎样? 钟说，总体说来英文还不错, 但还有个别语法差错, 例如, 参考文献中把一篇待发表的文献称之为to be appeared这就不通了. 事实上, appear( 出现) 是一个不及物动词, 没有被动式. 正如说被出现, 在中文中也是不通的. 我想, 正因为华先生出身贫寒, 并未读过正规高中, 后来专攻数学成才, 所以难怪英文素养有“先天不足”之处. 这一点我也很有同感, 我早年读了6 年师范学校, 进大学前只学习过半年多英文, 以致一生中总感到英文底子有“先天不足”之苦.

(五)

最后我还要重点谈谈华老对我的启发和影响, 同样也是许宝騄老师对我的影响. 这就是我在西南联大数学名师的治学经验之谈及启示(载《数学教育学报》2002 年第3 期) 一文中说到的一段:

我曾向华、许二师学到了不怕计算和乐于计算的习惯, 十分乐于从计算中去发现规律和提炼一般性公式. 和华先生相似, 我也十分重视显式构造, 这正好适应于我后来长期从事函数逼近论, 计算方法与组合分析研究的客观要求.

现今我已90 岁了, 回顾在我数学生涯的数十年里, 由于受到华、许二师对我早年的启示, 我也常把分析计算的正确价值观念以及从计算中寻求规律的乐趣经验, 努力介绍给听课的学生们和习作论文的研究生们. 因此, 当我看到有些弟子们在他们后来的研究工作中, 往往通过精巧的分析计算获得美好的成果时, 我总是感到特别欣慰和赞赏.

这里我要特别提到, 1947 年华先生在美国讲学期间, 曾寄送给我一本1946 年初版的维特耳( D. V. Widder) 著《拉普拉斯变换》 一书. 我对此书特别喜爱, 1949 年我去英国访问进修期间, 就精读了此书的主要部分, 获益良多. 事实上, 当年及后来我撰作的数篇论文中, 此书都是主要参考文献之一. 特别, 在我建立一对含有广义斯特灵数偶的互逆积分变换的工作成果中, 最关键的一步就要用到维特耳著作中著名的泡斯脱--维特耳( Post--Widder) 表现定理. 正是华先生赠送给我的宝书, 帮助我得到了所希求的成果. 因此我要特别感谢华老当年的馈赠之恩.

华老逝世已经25 年了, 作为他的一个仍然健在的老学生, 每当回想起60 多年前常能见面的日子里, 不时得到他的种种指导和启发, 仍一如历历在目, 仿佛还是不久前的往事. 现今我们知道, 华老一生丰硕的科研成果和许多著作（编者注：指科学出版社推出的9卷本《华罗庚文集》和四册《高等数学引论》，以及高教社出版的《传奇数学家华罗庚》，见图片）, 已在近期大量出版了, 这真是我国数学界的大幸事.

显然, 本文并不是一篇具有系统性题材内容的纪念文章. 为了不要和以前写过的文章内容重复, 此文只是通过若干具体事例的回忆, 作为对华老往事的亲切追念和缅怀而已. 读者如欲了解华老一生中的许多贡献和业绩, 理应浏览或阅读王元著《华罗庚》 一书. 这也是我喜欢推荐的一本传记性著作.

参考文献:

[1] 王元. 《华罗庚》. 南昌: 江西教育出版社, 1999.[2] 徐利治. 回忆我的老师华罗庚先生. 数学通报,2000(12) .[3] 徐利治. 回忆西南联大时代的老师许宝騄先生，收入《道德文章垂范人间: 纪念许宝騄先生百处年诞辰文集》. 北京:北京大学出版社, 2010( 第四编)

【来源】《数学纵贯线》、《好玩的数学》。

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