“导数”到底有多重要？它是开启物理学的敲门砖

导数在数学中是高考中最难的考点之一，更重要的是它在物理中也有着非常重要的作用，如果导数没有学好，那么在高中物理的学习中将会遇到很大的困难。有人说，“导数”是开启物理的敲门砖，由此可见“导数”的重要性。事实上，导数不但在个人的学业当中是非常关键的一个知识点，就算把它放到整个数学的发展史当中，其对人类文明发展的推动作用也是无可替代的，正是因为“导数”概念的发明，人类才在近代建立起了伟大的“微积分”和“分析学”，开启了人类辉煌的近代文明。那么导数到底是怎么回事呢？我们还得从遥远古代的“芝诺悖论”中的“飞矢不动”说起。

“飞矢不动悖论”是这样的：设想有一支飞行的箭，箭在飞行中的任何一个“时间点”都对应“空间”中的一个“特定的点”。也就是说，每个“时间点”所对应着的，都是静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，因而推出“运动是不存在”的。这些悖论就是人类的先行者关于“无穷”概念的最早的思想萌芽，它曾经长久地困扰着历代数学家。人们一谈及“无穷”的问题，甚至会有恐惧感，当人们面对“无穷”问题时，尽量采取回避的态度。

直到17世纪，由于生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，越来越多关于“无穷”的问题需要解决，人们迫切地需要新的数学工具来解决积压越来越多的难题，牛顿在前人的基础上，深入研究了“芝诺悖论”，提出了这样的问题：物体在某一时刻的“瞬时速度”到底是多少？

这是一个很难回答的问题，因为当时“物理学”只认识“平均速度”的概念，根本没有“瞬时速度”的说法。早期的物理学家普遍认为在“任何短时间内”都有一个“平均速度”，而某一点的“瞬时速度”为零，这就是造成“飞矢不动”悖论的根本原因。于是牛顿使用“极限”的概念来定义“瞬时速度”，然后用“变化率”的方式引入了“导数”的概念（牛顿称为“流数”，牛顿的“微积分理论”被称为“流数术”，他称“变量”为“流量”，称“变量”的“变化率”为“流数”，所谓的“流数”也就是今天我们所说的“导数”。在牛顿做这些工作的同时，大数学家莱布尼茨也在从“几何”的角度研究“微积分”。）

在今天，“飞矢不动”的悖论早已被破除，箭的“瞬时速度”已经可以通过用“微积分”的方法算出，“导数”的本质是通过“极限”的概念对“函数”进行“局部的线性逼近”。那么在“箭”的“运动”中，物体的“位移”对于“时间”的“导数”就是物体的“瞬时速度”，也就是说，在每一个“无穷小”的时间点上，都是有“速度”和“位移”的，因而“飞矢不动悖论”也就不存在了。

这就是“导数”的妙处，不但解决了千古难题，也已成为今天的“微积分”的一个重要的核心内容。

在今天，“导数”已经变得不再神秘。如果我们用通俗的话来描述，“导数”就是“曲线上某点切线”的“斜率”。如果说得全面一些，“导数”就是一种用来寻找“线性近似”的数学工具，或者说得更专业一点，“导数”就是“线性变换”。它所蕴含的是“微积分”最基本的数学思想“以直线代替曲线”，也就是用“切线”逼近的“曲线”，比如著名的“泰勒公式”、“洛比达定律”，都蕴含着这样的思想。

关于“导数”的计算，显得非常“傻瓜化”，往往只需根据“导数”的定义和一些常用的“求导法则”，就可以快速地计算出想要的结果。比如计算已知函数的“导函数”，可以按照“导数的定义”运用“变化比值的极限”来计算。再比如大部分常见的“解析函数”都可以看作是一些对“简单的函数”进行简单的“加、减、乘、除”或相“互复合”的结果。只要知道了这些“简单函数”的“导函数”，那么根据“导数”的“求导法则”，就可以推算出“较为复杂的函数”的“导函数”。

寻找已知的“函数”在某点的“导数”或“导函数”的过程称为“求导”。实质上，“求导”就是一个“求极限”的过程，“导数”的“四则运算法则”也来源于“极限”的“四则运算法则”。反之，已知“导函数”也可以倒过来求原来的“函数”，即不定积分。“求导”和“积分”是一对“互逆”的操作，它们都是“微积分学”中最为基础的概念。

“导数”在物理，几何，代数中分别有着极为重要的作用，在几何中可求切线；在代数中可求“瞬时变化率”，在物理中可求“速度”、“加速度”等，对于“直线运动”而言，“位移”关于“时间”的“一阶导数”是“瞬时速度”，二阶导数是“加速度”，可以表示“曲线在一点”的“斜率”。

2高中数学-秒杀导数构造函数小题题型，秒杀技巧我真爱数学购买专栏导数不仅用在“自然科学”中，还可以广泛地应用于“人文社会科学”中，比如在“经济学”中，导数常常用来表示“边际”和“弹性”。

综上所述，“导数”无论是在数学、物理还是在其它学科中，都起着非常重要的作用。那么深刻地理解并掌握“导数”的概念、定义以及在具体问题中的应用，是学好数学、物理及其它学科的关键所在。