数学中的瑰宝——拓扑，抽象难懂但非常有用，将是未来科学的基础

当我本科学习拓扑学的时候，我总是发现很难回答这个不可避免的问题：

拓扑学到底是什么？

网上有很多答案，但我从来没有真正满足于任何解释。如果你在网上搜索拓扑，那么你可能会遇到一个面包圈变成咖啡杯的动画。我给出的大多数解释都与这个动画有关。在拓扑学上，甜甜圈和咖啡杯本质上相同，球体和立方体本质上相同。但是这样的答案并不能真正地解答拓扑的真正含义是什么，即使在实际应用中运用到拓扑学，也不能解释为什么它是值得研究的。

• 著名的咖啡杯甜甜圈动画

如果你在本科学习一般拓扑学，你可能很难把你正在学习的东西与熟悉的甜甜圈咖啡杯动画联系起来。本文的目的是建立一般拓扑的基本概念，并说明这个概念是如何与这个熟悉的动画和其他几何思想相关联的。接下来，我们来看看为什么把甜甜圈和咖啡杯看作是一样的东西实际上是有用并有趣的。

总的来说，我发现很多人，包括我自己，都在努力理解抽象的数学领域在现实世界中的应用。在我们对拓扑思想有了一定的理解之后，我们将看看拓扑是如何与我们的现实世界联系起来的。在此之前，我们将看看拓扑中最基本的思想。如果你打开拓扑学课本或者上拓扑学入门课程，你就会遇到这个定义。

拓扑空间

拓扑空是一组具有最基本结构形式的数学对象。当我们在数学中谈论结构时，我们通常指的是我们可以将数学对象相加，相乘，确定对象之间的距离以及许多其他概念。

但是拓扑空间的结构比加法、乘法和距离的概念更基本。事实上，有这些东西的空间是拓扑空间的特定情况。也就是说实数实际上是拓扑空间的一种非常特殊的情况。

拓扑空间上的结构称为空间的拓扑。所有的拓扑结构，是数学对象集合的子集的集合，称为“开集”空间。拓扑中包含的特定集合定义了空间的结构。这可能看起来非常模糊和抽象，事实上也的确如此。这是数学中最抽象的结构形式。

不需要完全理解这个定义，只需记住拓扑及其内部的“开放集”以某种方式决定了空间的结构。同样重要的是要记住使一个拓扑空间不同于另一个拓扑空间的是我们选择放入该空间拓扑中的集合。下面我给出了一个拓扑空间的更正式的定义（如果您感兴趣的话），但是没有必要阅读。

扑空间的定义

拓扑空间（X， τ），τ是集合X的子集构成的族。那么：

1、X和空集包含在τ中。

2、τ中任何集合的并集也是在τ中。

3、τ中的任何有限交集也在τ中。

那么这和甜甜圈和咖啡杯有什么关系呢？

通常，拓扑空间可以用几何物体（如球体）来表示：

• 图一，一个球体

表示球的拓扑空间是一些点的集合，如果你在三维空间中画出它们，它们就会组成一个球，和一个拓扑。回想一下拓扑定义了空间的结构，正是拓扑将球体保持在一起。我们可以把这种拓扑结构想象成“让所有点都不落向地面的东西”，使球体成为一个单一的物体，而不仅仅是两个半球相互挤压。现在，让我们假设有一些其他的拓扑空间如下图所示：

• 图2，一个椭球体

假设上面的球体（图1）是用橡皮泥做的，那么我们可以很容易地将球体拉伸为另一个物体（图2）。能够在三维物体上这样做意味着这两个物体在拓扑结构上是相同的。这可能看起来很奇怪，但问问你自己，这两种形状有什么不同？它们只是看起来不同，但如果我们可以很容易地将其中一个挤压或拉伸成另一个，它们真的是不同的吗？

这两个物体有相同的拓扑结构，这意味着，即使这两个物体在几何上不同，它们在拓扑结构上也是完全相同的物体。我们可以把橡皮球拉伸成任何可以想象到的奇怪形状所有这些形状在拓扑学的眼中都是相同的。这里有一些关于我们如何拉伸和挤压橡皮泥的规则：

• 橡皮泥上不允许有穿孔；
• 把两点合并在一起（不能做任何类似于甜甜圈的形状）。

如果拉伸或挤压违反了这些规则，那么两个物体在拓扑结构上就不再相同了。拓扑学家称这种在不打破既定规则的情况下的拉伸为同胚，这只是一种精确地用数学描述我们如何将橡皮泥塑造成相同拓扑形状的方法。所以如果我们能得出两个拓扑空间之间的同胚，那么这些空间有相同的拓扑。这就是咖啡杯和甜甜圈动画的由来。我们可以用一个拓扑空间来描述一个甜甜圈，然后想象甜甜圈是用橡皮泥做的，在不违反规则的情况下把它拉伸成一个咖啡杯。在拓扑学上，咖啡杯和甜甜圈是一样的。

• 图三，甜甜圈状的环

为什么球体不是甜甜圈？

既然我们知道了如何判断拓扑结构中的两个对象是否相同，现在让我们看看如何判断两个对象在拓扑结构上是否不同。拓扑空间有许多不同的特性，我们可以区分它们。对于三维物体，我们用来区分物体的主要方法是看它们的孔（穿孔）的数量。如果一个物体的孔比另一个多，那么两个物体的拓扑结构就是不同的。这是因为他们打破了我们之前建立的规则。要弄个孔，我们要么在橡皮泥上撕开一个洞，要么把橡皮泥弄成甜甜圈的形状。

• 图4，我们可以将橡皮泥球体塑造成甜甜圈的形状，但如果不打破我们的规则，就不能将边缘合并在一起。

另一种从拓扑结构上区分三维物体的常用方法是想象在它们上面行走。以在球体上行走为例。假设你从某一点出发，沿着球面上的一个大圆走一圈。现在，当你再次到达同一点时，向任意方向旋转90度，然后绕着另一个大圆走。在环绕球体的第二次行走中，你将穿过第一次走过的路径。你在球面上的任何一点上这样做，都会发生这种情况。

• 图5，有两条相交路径的球体

同样的现象也会发生在任何三维物体上，只要它的拓扑结构与球体相同。然而，在一些拓扑结构与球体不同的物体上，我们有一种方法可以做到这一点，而无需穿过第一次走过的路径。其中一个特别的物体是一个甜甜圈，正如你在这里看到的：

• 图6，如果我们从蓝色和绿色的路径相交的地方开始，然后沿着蓝色的路径走，然后沿着绿色的路径走，我们就不用穿过我们已经走过的地方。

在拓扑结构相同的对象之间保留有许多不同的属性，但在拓扑结构不同的对象之间不一定保留。这些拓扑属性是用来确定两个对象是否不同的主要工具。

其他拓扑对象

到目前为止，我们只讨论了可以在三维中可视化的拓扑空间，但关于拓扑的一个好处是，它允许我们使用相同的工具轻松地描述存在于四维、五维或更高维度的物体。

其中一个在拓扑学中经常出现的对象是克莱因瓶：

• 克莱因瓶在三维空间的表现

严格地说，我们无法在三维空间中观察到真正的克莱因瓶，但通过让它自己相交，我们可以了解到它的一些性质。在四维空间中，这个物体实际上并不相交。很难想象，但它在第四维度弯曲以连接回自身。克莱因瓶可能看起来像它有一个内部和外部，但你可以从一个特定的点沿着克莱因瓶的“外部”和“内部”追踪一条连续的路径，然后能回到原点（在拓扑结构上，3D表示是相同的表面），正因为如此，克莱因瓶没有体积。

然而，关于克莱因瓶上的路径有一件有趣的事情，如果你沿着上面描述的路径走，当你回到原来的点时，你实际上是你自己的镜像。这是与克莱因瓶在拓扑上等价（或同胚）的对象的拓扑性质。显然，克莱因瓶与球体或甜甜圈并不是同胚的，因为无论我们如何在球体或甜甜圈上行走，当我们回到起点时，我们永远不会成为我们自己的镜像。如果一个对象有这个属性，它们就被称为不可定向的。克莱因瓶是不可定向的，球体和甜甜圈是可定向的。另一个著名的不可定向曲面是莫比乌斯带。用一张纸就可以很容易地制作出这个物体。

• 当螃蟹绕着莫比乌斯带走一圈，然后回到原来的位置时，它就成了自己的镜像。

虽然莫比乌斯带是不可定向的，但它在拓扑结构上并不等同于克莱因瓶。克莱因瓶实际上是将两条莫比乌斯带的边缘粘在一起制成的，在三维空间尝试这样做实际上是不可能的（你们可以试试）。

用一张纸做一个甜甜圈

对于那些在三维空间中难以可视化的物体（如克莱因瓶），一种更实用的思考拓扑结构的方法是考虑它们的粘合图。粘合图的作用是指导我们如何构造一个具有特定拓扑结构的对象。这个结构是通过拉伸和粘合二维形状的边缘来完成的。

在我们考虑一个复杂形状的粘接图之前，让我们先考虑一个比较简单的形状的粘接图；一个甜甜圈：

• 图7，甜甜圈的粘合图

想象图表中的正方形是橡皮泥做的。接下来，想象拉伸正方形并粘合边缘。当我们把这些边粘在一起时，我们需要箭头指向同一个方向。因此，我们将上面的图展开如下：

• 图8，如何从它的粘合图构造一个甜甜圈

下一个图与图7类似，只是两个红色箭头的方向相反。这意味着我们需要扭转对象，使箭头指向相同的方向，然后我们将边缘粘在一起：

• 图9，一个更复杂的粘合图

在上面的粘合图中（图9），第一步是拉伸正方形，使两条蓝线相交，然后构造一个圆柱体，就像制作甜甜圈的第一步一样。现在，两个红色箭头指向相反的方向。这意味着我们必须以某种方式扭转圆柱体的一端，使箭头指向相同的方向，然后把它们粘在一起。你可以想象，这在物理上是不可能的。因此，从这个粘合图得到的表面在物理上也是不可能的。事实上，这是一个物理上不可能的表面，我们已经看到，就是克莱因瓶！

粘合图是一种查看对象是否可定向的简单方法。我们可以想象，在一个粘合图上行走的原理与吃豆人（一种游戏）中的世界类似。当吃豆人到达世界的一端时，他会从另一端出现。如果我们想象吃豆人在一个粘合图上移动，当它进入一侧时，它将从另一个相同颜色的一侧出现，箭头决定它的方向。

假设吃豆人进入环面粘合图的右侧，那么他从左侧出来时不会发生变化。这就是普通的《吃豆人》世界的拓扑结构。

现在考虑一下吃豆人进入了克莱因瓶粘合图的右侧。然后吃豆人将以垂直翻转的方式从左侧出现：

• 图11，吃豆人走在克莱因瓶上

所以粘合图让我们可以很容易地考虑物体的一些拓扑属性。

拓扑学在统计世界中是非常有用的。拓扑数据分析是统计中一个新兴的研究领域。有用的数据具有某种结构，而数据分析本质上就是发现这种结构的过程。在数据中寻找结构往往取决于我们如何看待它，也就是说，使用了什么统计测试，我们将哪些变量与其他变量进行比较，以及我们使用什么视觉表示。

从拓扑学中，我们知道看起来完全不同的东西实际上可以有相同的结构。这个想法也可以应用到数据上，因为根据我们如何看待数据，即使我们总是在处理相同的数据，数据的表现也可能完全不同。

在拓扑数据分析中，对数据的结构进行拓扑处理。我们知道拓扑属性是一个对象的特殊特征，它通过拓扑结构相同的对象来保存。因此，在执行拓扑数据分析时，我们会在以各种不同的方式查看数据后，搜索那些保存在数据中的特定属性。我们可以把这看作是类似于把我们的数据当作橡皮泥来拉伸。通过这样做，我们可以确定数据的真实结构，并将其与对数据观察方式的依赖区别开来。

这只是拓扑学在所谓的“现实世界”中的众多应用之一。拓扑学的其他应用还包括确定看起来不同的东西实际上是否相同。当不同的人可能选择用不同的方式来表示相同的信息时，这一点非常重要。一些有不同表示的例子包括，分子结构，地理地图，DNA结构和绳结。在物理学中，拓扑在几个领域非常有用，如凝聚态物理学，量子场理论和物理宇宙学。

拓扑学一开始可能很难理解，但拓扑学是数学中大多数领域的基础。准确地定义拓扑是如何“使用”的是相当困难的，因为它在数学的运作方式中根深蒂固，以至于我们通常都没有注意到我们正在使用它。直到最近，拓扑学才被独立地考虑并应用到数学的其他领域，拓扑学的新研究和应用将会不断出现。