大长度箱形伸缩臂几何非线性变形精确求解

王 鑫1 滕儒民1 谢 涛2 张传豹2
1 大连理工大学机械工程学院 大连 116024 2 三一汽车起重机械有限公司 长沙 410110

摘 要：大长度箱形伸缩臂在吊重较大时表现出很明显的几何非线性，将伸缩臂等效成阶梯梁模型和铰支梁模型，利用微分方程法和坐标转换法对变形后的臂架重新建立平衡方程，推导出臂架端部横纵向位移与载荷的精确数学关系。同时，考虑轴向载荷的二阶效应，针对等效的铰支梁部分在非线性变形过程中对阶梯梁变形的影响展开进一步研究，给出伸缩臂端部变形量在不同载荷和仰角下的精确数值解。此理论分析结果经有限元仿真验证表明，该方法计算精度高，求解速度快。

关键词：起重机臂架；非线性变形；微分方程；精确解

中图分类号：TH213.6 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）11-0057-06

0 引言
箱形伸缩臂是汽车起重机的重要部件，在重载大臂长工况下非线性变形尤为明显，臂架过大的挠度变形会直接影响吊装路径的规划和吊装位置的确定。目前的变形及受力计算多采用有限单元法对臂架非线性变形进行研究[1,2]，但往往计算慢，运行数据空间需求大，难于实现快速反应。因此，针对大长度伸缩臂提出一种更为精确，快速计算的理论解析方法显得尤为重要。对于汽车起重机主臂的非线性，国内外许多学者进行了研究。Xue Y 建立了汽车起重机臂架等效力学模型，考虑了吊臂质量和配重，对臂架的侧向挠度和稳定性进行数学推导，得出了较为精确的计算公式，但解析式中未考虑臂架轴向位移，且在臂架变形较大时误差较大[3]。

齐成基于非线性弯曲理论，考虑了非线性因素对汽车起重机臂架进行了优化，提出了一种新的算法，但未对臂架非线性变形展开深入的研究[4]。李艳艳通过比例迭代法计算了不同臂架模型的最大起重量，得出臂架较长时，非线性因素影响更为明显的结论 [5]。王欣针对起重机中的构件非线性变形进行了研究，提出了一种更贴合实际的计算方法[6]。代丽丽采用弧长法对臂架的非线性稳定性进行了分析，得出了载荷与位移的变化趋势关系，但并没有对具体的数学关系进行研究[7]。

如图1 所示，在臂架模型中几何非线性变形主要受两部分影响，即变幅液压缸铰点以上阶梯梁部分O′L 和铰点下铰支梁OO′ 在O′ 点处的转动变形。多数研究往往未考虑臂架轴向变形和铰支梁部分对伸缩臂变形的影响，但在非线性变形较大情况下，其影响十分明显。不同于以往研究，本文考虑了变幅液压缸铰点以下铰支梁部分，建立了精确的N 节阶梯梁模型，进一步考虑了二阶效应对铰支梁变形以及阶梯梁变形的影响。先通过微分方法对单节臂架挠度变形与载荷的关系进行了数学描述，并对解析式中的超越方程进行Taylor 展开，大幅简化了解析式的复杂程度。然后利用坐标变换法对全臂架挠度变形列出平衡关系，进而推导出全臂架末端以及各节臂架末端非线性变形位移与载荷的关系。在此基础上，针对等效的铰支梁部分在非线性变形过程中对主臂变形的影响展开了进一步的探讨，为汽车起重机臂架非线性变形的研究提出了一种全新数值计算方法，解决了以往研究中有限元方法计算慢，数值方法精度低的难题。

图1 汽车起重机简图

1 单节臂架端部位移- 载荷关系
如图2 所示，将汽车起重机的单节臂架抽象成一根长度L 的梁模型, 其末端受轴向载荷PL，切向力FL 和转矩ML，在末端产生了的横向位移δY，纵向位移δX 和转角θL。

梁变形后，对任意一点（X，Y（X））重新建立平衡关系[8] 为

式中：E 为弹性模量，A 为臂架截面面积，I 为关于Z 轴的惯矩。

图2 单节臂架的非线性变形

对式（1）两边分别进行二阶求导，得到

上述平衡方程边界条件为

将式(3) 带入式(2) 中，求得

其中

对式(4) 中变量进行归一化整理，整理后的物理量采用对应符号和下标的小写表达方式[9]，得

下文如未特殊说明，上述物理量的小写表达方式皆为其归一化后的数据。对式(4) 两边同时除以L 并整理得

其中

kk@@λλL

对式(5) 求导，可得梁上任一点转角为

将x=1 带入式(5)、式(6) 可求出横向位移和转角为

其中

根据梁长在变形过程中始终恒定的约束 [10]，即

整理式⑻，梁末端归一化后的纵向位移为

其中

至此，推导出单节臂架发生非线性变形后，端部横纵向位移与载荷数学关系。解析式中包含了大量双曲函数，采用泰勒级数对其展开。经过整理，位移- 载荷关系式为

2 全臂架非线性变形
图3 为考虑汽车起重机多节臂架模型，如假定汽车起重机共N 节臂。用δx、δy、θl 表示整个臂架的末端位移和转角，在O 点沿着臂架方向建立坐标系XOY，同时在每一节臂的初始点Oi 沿着其切线方向建立局部坐标系XOiY，故XOY 和XO1Y 两坐标系重合。使用δ ix、δ iy、θ il 表示第i 节臂架末端在其局部坐标系下的纵横向位移和转角。使用f il、p il、mil 表示第i 节臂架末端在其局部坐标系下所受载荷和弯矩。

针对第i 节臂架起始点Oi 可列出平衡方程为

式中：F im、P im、M im 分别为Oi 点在第i 个局部坐标系的受力，Li 为第i 节臂的长度，δix、δ i

y 分别为第i节臂末端的纵横向位移。

图3 全臂架变形

由于第i 节臂相对i-1 节臂存在一个顺时针转角θi-1L，故F im、P im、M im 需通过坐标转换才能作为第i -1节臂的初始条件，即

由此， 相邻两节臂架在连接点处的平衡方程（2 ≤ i ≤ N）为

对式(14) 进行归一化处理可得

第i 节臂相对全局坐标系XOY 旋转角度为

将N 节臂架的末端位移通过坐标转换，便可求出全臂架末端在XOY 下的纵向位移△ X 和横向位移△ Y 为

当i ＝ N 时，式（17）联立单节臂末端的位移- 载荷关系式(11)，即可求出汽车起重机臂架末端非线性变形位移和载荷之间的关系。对于任一臂架共6 个未知数，分别为f il、p il、m il、δ ix、δi
y、θ il，f 1l、p1l、mNl 为起升载荷的分解量，共6N-3 个未知数。对于任一节臂架，由式(11) 可知, 可建立3N 个平衡方程，相邻臂架由式(15) 可知，可建立3(N-1) 个平衡方程。进而求出各节
臂架在局部坐标系下的转角、横纵向位移，通过坐标转换的方法求出整个臂架的位移和转角。

3 二阶效应对臂架初始转角的作用
如图1 所示，主臂根部O 至变幅液压缸铰点O ′ 间的部分可等效成压弯梁模型。压弯梁因主臂轴向载荷的二阶效应，影响了主臂的初始仰角和吊重的横纵向载荷。

图4 压弯梁模型

压弯梁模型如图4 所示，压弯梁长度L，θ a、θ b 分别为梁单元两端的转角，δ a、δ b 分别为两端的位移，则平衡方程为

对于压弯梁，其挠度微分方程为[11]

求解方程并归一化后转角为

式中：p、ma、mb 分别为对应物理量的归一化后的数据。
将边界条件θ（0）＝ θa、θ（1）＝ θb 带入式(20)整理得

式中：mo 表示压弯梁在铰点O 处的承受的弯矩，进而解出

上式即为承受轴向载荷和弯矩的压弯梁在端点处转角的计算公式。由于转角的作用，臂架端部吊重的载荷变为PL ＝ Gsin（β-θb），FL ＝ Gcos（β-θb），结合前述内容可得出压弯梁转角和臂架变形的关系为

联立式(11)、式(15)、式(24)，共（6N-2）个方程与未知数，可求出所有参数值，进而利用式(17) 求出臂架端部的横纵向位移。

4 算例验证
汽车起重机由于臂架自重在空载时仍存在较小变形，可将自重等效加载至臂架端点[12]，为便于分析，忽略臂架自身的影响。以500 t 全地面起重机7 节臂全伸工况展开了验证，主臂参数信息如表1 所示。选取了3 种不同的仰角和30 种不同吊重进行验证，对比了Ansys 仿真和数值方法计算的数据。图5 ～图7为主臂仰角分别为30°、45°、60°，吊重为1 ～ 30 t的工况下主臂轴向位移、横向位移与吊重之间的关系。从图中可以看出，数值方法与Ansys 仿真相比，拟合度很高，整体的数值略微小于实际工况，可能是由于泰勒展开的忽略项带来的影响。

图5 30°工况臂架端部位移与载荷的关系

图6 45°工况臂架端部位移与载荷的关系

从图中可以看出，数值计算结果与Ansys 相比，纵向载荷大约在超过20 t 后开始出现偏差，但拟合程度依然很高，横向载荷大约在超过10 t 后开始出现偏差，但误差值依然较小。在实际应用中，对于7 节臂主臂全伸不考虑超起的工况而言，起升载荷远小于10 t，故结论完全可以应用在实际工况下。针对多种大臂长，重载荷的极限工况进行了研究，对于少于7 节臂而言的工况而言，结论在实际中仍可成立。

图7 60°工况臂架端部位移与载荷的关系

5 结论
针对汽车起重机箱型伸缩臂在重载和大臂长的工况下发生的非线性变形，提出了一种精度高的，计算速度快的数学解析方法。在考虑轴向载荷的二阶效应和铰支梁变形对主臂变形影响的基础上，推导出单臂架末端的位移- 载荷的数学关系，将全臂架模型视为链式阶梯梁模型，推导出全臂架的位移- 载荷关系。多种工况计算验证表明，本文针对全地面起重机主臂末端非线性变形提出的数值计算方法精确度高，计算速度快。

参考文献
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