干货 | 速度曲线规划算法总结

“ 之前有介绍过T形曲线，本文将在原先的基础上进行进一步扩展，另外由于介绍速度曲线的论文较多，本文会在具体引用的地方给出原文出处；先对比一下两者的差别；

1 前言

S形加减速的最重要特征是该算法的加速度/减速度曲线的形状如字母 S。S形加减速的速度曲线平滑 ,从而能够减少对控制过程中的冲击，并使插补过程具有柔性[^1]。由于T形曲线在加速到匀速的切换过程中，实际中存在较大过冲，因此这里对比一下T曲线和7段S曲线的实际过程；

• T形：加速 -> 匀速 -> 减速

• S形：加加速( ) -> 匀加速( ) -> 减加速( )-> 匀速( )-> 加减速( )-> 匀减速( )-> 减减速( )

上文在加速这块的文字描述可能读起来起来有点绕，下面看图：

2 理论分析

由于S曲线在加减速的过程中，其加速度是变化的，因此这里引入了新的一个变量 ，即加加速度。

因此对应上图的7段S速度曲线中，规定最大加速为 ，最小加速度为 ，则加速度的关系；

• 加加速( )： 逐渐增大；

• • 此时

• 匀加速( )： 达到最大；

• • 此时

• 减加速( )： 逐渐减小；

• • 此时

• 匀速( )： 不变化；

• • 此时

• 加减速( )： 逐渐增大；

• • 此时

• 匀减速( )： 达到最大；

• • 此时

• 减减速( )： 逐渐减小；

• • 此时

“ 为加速度的绝对值；其中

所以通常需要确定三个最基本的系统参数 :系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度 ，就可以可确定整个运行过程[^2] ；

• 最大速度：反映了系统的最大运行能力 ；

• 最大加速度：反映了系统的最大加减速能力 ；

• 加加速度：反映了系统的柔性；

• • 柔性越大，过冲越大，运行时间越短；

  • 柔性越小，过冲越小，运行时间越长；

整个加速度变化的过程具体如下图所示；

再次强调一下 和 的关系， 另外这里再引入变量 ，

①

比如，当前时刻 ,即 位于区间 ，则如果将 作为初始点，则 为 相对于 时刻的时间，则有：

下面可以得到加速度与时间的关系函数，具体如下：

根据 ① 式，将 代入 ② 式可以得到：

上式中 ；

2.2 速度时间关系方程

速度和加速度满足 ；加加速度和速度的关系满足：

结合加速度时间关系并结合② 式可以得到速度曲线关系，具体关系如下图所示；

进一步简化可以得到：
2.3 位移时间关系方程

位移 和加加速度 直接满足关系如下：

简单推导

因此可以得到：

“ 积分忘的差不多了，回去再复习一下；

最终位移的方程如下所示；

3 程序实现的思路

正如前面所提到的，S曲线规划需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度 ，这样就可以确定这个运行过程。这里有一个隐性的条件，就是在运行的过程中可以达到最大速度，这样才是完整的7段S曲线，另外这里还有一些中间参数：

• ，因此有 ；

• 加加速度 ；

• ；

• ，用户给定整个运行过程所需要的时间；

但是通常实际过程中关心 ， ， ；

3.1 推导

理想状态假设存在和，则推导过程如下：

因此可以得到：

简化之后得到：

根据②式可知：

最终得到：

“ 为 初 始 速 度 ；

下面可以根据位移时间关系方程进行离散化的程序编写。

假设可以到达最大速度，且用户给定了整个过程运行时间 ，则 的推导如下：

简化上式可以得到：

根据 代入上式可得：

3.2 的推导

这时候还剩下 需要计算，通过已量 可以推导出来；首先位移之间满足关系如下：

其中加速区长度为 ；其中减速区长度为 ；

具体推导；[^2] 前面提到过 ， ，因此在 =0的时候，则

这里简单推导一下：

根据④，⑤最终简化得到：

“ ：为运行的总时间 ：为运行的总路程

详细推导过程如下：

因为：

因为：

所以，简化得到：

所以可以得到：

因为：

将其代入可以得到：

简化得到最终结果：

4 matlab 程序

matlab程序亲测可以运行，做了简单的修改， 因为这里直接给定了整个运行过程的时间，所以需要在SCurvePara函数中求出加加速度 的值，路程 为 1：

SCurvePara

function [Tf1,V,A,J,T] = SCurvePara(Tf, v, a)
T = zeros(1,7);
for i=1:1000
% 加加速度 J
J = (a^2 * v) / (Tf*v*a - v^2 - a);
% Tk
T(1) = a / J;
T(2) = v / a - a / J; % t2 = v / a - t1;
T(3) = T(1);
T(4) = Tf - 2 * a / J - 2 * v / a; % t4 = Tf - 4*t1 - 2*t2;
T(5) = T(3);
T(6) = T(2);
T(7) = T(1);
% 根据T2和T4判断S曲线的类型
if T(2) < -1e-6
a = sqrt(v*J);
display('t2<0');
elseif T(4) < -1e-6
v = Tf*a/2 - a*a/J;
display('t4<0');
elseif J < -1e-6
Tf = (v^2 + a) / (v*a) + 1e-1;
display('J<0');
else
break;
end
end

A = a;
V = v;
Tf1 = Tf;
end


SCurveScaling

function s = SCurveScaling(t,V,A,J,T,Tf)
% J = (A^2 * V) / (Tf*V*A - V^2 - A);
% T(1) = A / J;
% T(2) = V / A - A / J; % T(2) = V / A - T(1);
% T(3) = T(1);
% T(4) = Tf - 2 * A / J - 2 * V / A; % T(4) = Tf - 4*T(1) - 2*T(2);
% T(5) = T(3);
% T(6) = T(2);
% T(7) = T(1);
%%
if (t >= 0 && t <= T(1))
s = 1/6 * J * t^3;
elseif ( t > T(1) && t <= T(1)+T(2) )
dt = t - T(1);
s = 1/2 * A * dt^2 + A^2/(2*J) * dt...
+ A^3/(6*J^2);
elseif ( t > T(1)+T(2) && t <= T(1)+T(2)+T(3) )
dt = t - T(1) - T(2);
s = -1/6*J*dt^3 + 1/2*A*dt^2 + (A*T(2) + A^2/(2*J))*dt ...
+ 1/2*A*T(2)^2 + A^2/(2*J)*T(2) + A^3/(6*J^2);
elseif ( t > T(1)+T(2)+T(3) && t <= T(1)+T(2)+T(3)+T(4) )
dt = t - T(1) - T(2) - T(3);
s = V*dt ...
+ (-1/6*J*T(3)^3) + 1/2*A*T(3)^2 + (A*T(2) + A^2/(2*J))*T(3) + 1/2*A*T(2)^2 + A^2/(2*J)*T(2) + A^3/(6*J^2);
elseif ( t > T(1)+T(2)+T(3)+T(4) && t <= T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5) )
t_temp = Tf - t;
dt = t_temp - T(1) - T(2);
s = -1/6*J*dt^3 + 1/2*A*dt^2 + (A*T(2) + A^2/(2*J))*dt ...
+ 1/2*A*T(2)^2 + A^2/(2*J)*T(2) + A^3/(6*J^2);
s = 1 - s;
elseif ( t > T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5) && t <= T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5)+T(6) )
t_temp = Tf - t;
dt = t_temp - T(1);
s = 1/2 * A * dt^2 + A^2/(2*J) * dt + A^3/(6*J^2);
s = 1 - s;
elseif ( t > T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5)+T(6) && t <= T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5)+T(6)+T(7) + 1e5 )
t_temp = Tf - t;
s = 1/6 * J * t_temp^3;
s = 1 - s;
end

end


测试的代码如下：TEST

%%
N = 500;

ThetaStart = 0; %起始位置
ThetaEnd = 90; %最终位置
VTheta = 90; %1 速度
ATheta = 135; %1.5 加速度
Tf = 1.8; % 总行程时间

v = VTheta/(ThetaEnd - ThetaStart);
a = ATheta/(ThetaEnd - ThetaStart);
v = abs(v);
a = abs(a);

Theta = zeros(1,N);
s = zeros(1,N);
sd = zeros(1,N);
sdd = zeros(1,N);

[TF,V,A,J,T] = SCurvePara(Tf, v, a);
display(J, 'J:');
display(TF,'Tf:');
display(V,'v:');
display(A, 'da:');

display(TF-Tf,'dTf:');
display(V-v,'dv:');
display(A-a, 'da:');

t=linspace(0,TF,N);
dt = t(2) - t(1);
for i = 1:N
if i == N
a = a;
end
s(i) = SCurveScaling(t(i),V,A,J,T,TF);
Theta(i) = ThetaStart + s(i) * (ThetaEnd - ThetaStart);
if i>1
sd(i-1) = (s(i) - s(i-1)) / dt;
end
if i>2
sdd(i-2) = (sd(i-1) - sd(i-2)) / dt;
end
end

subplot(3,1,1);
legend('Theta');
xlabel('t');
subplot(3,1,1);
plot(t,s)
legend('位移');
xlabel('t');
title('位置曲线');

subplot(3,1,2);
plot(t,sd);
legend('速度');
xlabel('t');
title('速度曲线');

subplot(3,1,3);
plot(t,sdd);
legend('加速度');
xlabel('t');
title('加速度曲线');

最后再看一下T形和S形速度曲线规划的效果对比：

5 总结

本文只对7段的S曲线规划做了详细的推导和介绍，matlab中的程序对于4段和5段都有做实现，很多是在理想情况下进行推导的，初始速度默认为0，终止速度也为0，并且假设加减速区域相互对称。最终运行结果符合预期效果。

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