密铺——贴砖的艺术４：一种万能的密铺构造法

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前文回顾：

探秘埃舍尔那些鲜为人知的手稿（前传）：17种平面对称群

密铺——贴砖的艺术1：贴砖——伊斯兰工匠的艺术活

密铺——贴砖的艺术2：万象之始——正多边形的密铺

密铺——贴砖的艺术3：引入非正多边形，完美衔接怪胎

"平面规则分割是我挖掘出来的最丰富的灵感之泉，它至今也没有枯竭。"

——莫里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）

读完前三节的读者想必发现了一个问题，构造底层密铺的多边形似乎是有限的，而且相互之间的组合也总是一成不变。例如，正八边形总是跟正方形组合在一起，正十边形总是跟正五边形组合在一起，正十二边形总是跟正六边形、正三角形组合在一起……而且像正十一边形、正十三边形这种怪胎中的怪胎，从来就没出现过。不要着急，本节介绍一种万能的密铺构造法，为你解决心中疑惑。事实上，正是这种万能的密铺构造技术，让伊斯兰工匠们构造出了如九角星和十一角星、十一角星和十三角星等不寻常的组合，以及像二十四角星、三十八角星这种不寻常的图案。

先从一个简单的例子开始，正常情况下，十二角星和五角星是很难组合在一起的，这个例子就是一次简单的尝试。图3.4.1a-b展示了用万能密铺构造法设计正十二边形和五边形的密铺的过程。

第一步是构造"半径阵列"。所谓"半径阵列"即构成主星的多边形的半径和垂线。此例中构成的主星的多边形是正十二边形，因此就要从一点引出24条线，相邻直线的夹角为360°/24=15°。可以看到，正十二边形的12条半径和12条垂线构成了辐射状的样子。将三个这样的半径阵列放置在正三角形的三个顶点上，就构成了密铺图案的重复单元。关于重复单元的概念请见前一节的讲述，一般选取菱形、矩形、正三角形这些特殊图形为佳。显然，每个"半径阵列"中必然有若干条半径线与相邻阵列的半径相交，这些交点便是绘制后续设计的关键参考点。

第二步是在重复单元中构造多边形用于填充空白。图a以正三角形的中心和旁边绿色半径的交点作为顶点，构建出五边形作为补白。五边形画好之后，利用五边形的一条边就可以确定正十二边形的大小。相邻的两个正十二边形中间的空白可由桶状六边形填补。图b选取正三角形中绿色半径线的交点作为圆心，以圆心到周围半径线的距离为半径作圆，由此在重复单元中作出三个五边形。正十二边形的大小依然由五边形的一条边决定。可以看出，图a和图b中的五边形皆非正五边形，但都是对称图形。一般而言，它们越接近理想的正五边形，添加图案线之后生成的几何图案的质量往往就越好。反之，它们越不规则，创建成功图案的可能性就越小。值得注意的是，虽然重复单元中中分隔主多边形的五边形、六边形，以及其他多边形并不规则，但重复单元角上主多边形永远是规则的。

第三步，擦去半径阵列，完成密铺设计。这步不用解释。

图3.4.1

图3.4.2a-b是在以上两种密铺构造中添加30°锐角型图案线的效果。十二角星和五角星毫无违和感地融合到了一起。虽然五角星有不同程度的变形，但仍然是整齐的对称图案。如果添加其他类型和角度的图案线，同样会得到极具美感的设计，读者可以自行尝试。

图3.4.2

由此可见，由同一个半径阵列能够生成多种基础多边形密铺，这就是我将此法称为"万能密铺构造法"的原因。我们甚至可以在中央的重复单元中添加很多个拼块，构成非常复杂的密铺。但是，复杂并不意味着美观。太多的拼块会让主星的地位不再突显，给人一种喧宾夺主之感，因此在设计中并不常见。

在伊斯兰图案中，常有两种角数比较多的星星组合在一起的设计。比如十二角星和九角星的组合。这种图案的底层密铺又该如何构造？此时，"万能密铺构造法"依然适用。如图3.4.3所示，主多边形（正十二边形）的半径阵列依然放在正三角形的三个顶点上，然后在三角形的中心画18条半径线，作为次多边形（正九边形）的半径阵列。同样，从三角形顶点引出的半径线同从三角形中心引出的半径线形成了很多交点，以此可以构建出近似规则的五边形。五边形画好后，正九边形和正十二边形的边也就确定了。最后通过镜像和旋转等操作即可完成密铺构造。

图3.4.3

图3.4.4是由上图中的密铺设计的图案，添加的是锐角型图案线，夹角为30°的。12个五角星环绕着十二角星，外围是九角星和半星。除了五角星略有变形之外，十二角星和九角星都是规则的。一条条图案线隐隐形成了形如正弦线一样连绵起伏的曲线，在整个图案中，可以看到很多条曲线，这种美感是在先前的例子中都未曾见到的。

图3.4.4

除了把次多边形放置在重复单元的中心之外，还可以把它放置在重复单元各条边的中点上。图3.4.5展示了创建由正十二边形和正八边形组成的密铺的过程。第一步在正三角形重复单元的顶点处放置24条半径线，确定正十二边形的位置。然后在三角形各条边的中点各放置16条半径线，确定正八边形的位置。第二步在半径线的交点处构造五边形，由此便可以确定正十二边形和正八边形的大小。接下来依靠旋转和镜像等操作就可以完成整个密铺设计。

图3.4.5

图3.4.6是由上图中的密铺设计的图案，图案线是锐角型，在正十二边形中夹角为30°，在正八边形中夹角为45°。虽然角度不同，但经过五角星和半星的过渡，整体图案并没有不协调的感觉，反倒成就了十二瓣蔷薇花与八瓣蔷薇花交相辉映的效果。

图3.4.6

我们知道，边数是质数的多边形很难画，如果是很大的质数，那就倍加难画，构造多边形密铺也不例外。万能密铺构造法赋予了构造这些怪胎图案的希望。图3.4.7a展示了将正九边形与正十一边形组合在一起的方法。这一次选用桶状六边形作为重复单元，因为它是对称图案，所以我们先完成其中的一半——等腰梯形。第一步把4组22根半径线放置在等腰梯形的四个顶点。要注意的是，这个等腰梯形不是随意画的，必须满足精确的位置关系，让顶点处的4组半径线中各有1根线交于中央的一点。此处即为正九边形的中心位置。之所以这样设计，是因为通过计算可以得出，4根半径线相交于此点形成的夹角为81.818°、81.818°、81.818°、114.545°，非常接近正九边形中心角40°的2倍和3倍。第二步在此处放置18根半径线，可以看到有4根半径线与上一步交于此点的半径线几乎重合，这也印证了我们的计算。对于如何处理这种半径线不重合的问题，此处我们用到的手法叫做"拧图"，顾名思义，就是强行让它们重合成为一条线。把正九边形的半径线进行微小的移动，就可以使之与正十二边形的半径线完全重合。由此生成的正多边形虽然不再规则，但因为误差极其微小，所以在视觉上无伤大雅。接下来又回到了熟悉的配方，熟悉的味道，构造出一个五边形，以此确定正十二边形和正九边形的大小。然后通过镜像和旋转操作完成整个设计。

图3.4.7b是将正十一边形与正十三边形组合在一起的过程。方法大体类似。这次依然将正十一边形放在等腰梯形的四个顶点，让4根半径线交于一点，4条线所夹角度自然还是81.818°、81.818°、81.818°、114.545°，近似等于正十三边形中心角27.7°的3倍和4倍。因此，拧图之后构造出的多边形依然酷似正多边形。

图3.4.7

图3.4.8a-b展示了由这两种底层密铺设计的图案。拧图手法的运用将这些怪胎图形和谐统一地重新组合起来，其中的和谐感不仅仅在于视觉的相似性，也在于构成底层密铺所基于的数学原理——有些分数近似相等，例如这两例中的5/22≈2/9≈3/13。根据这种原理，像边数为17、19、23等更大质数的多边形密铺也可以构建出来，当然，随着边数的增多，最终图案的复杂程度也必会成倍增加。

图3.4.8

至此，我们关于伊斯兰几何图案的探索终于到了尾声，但这条探索之路注定是永无止境的。如果说有一条重要的原则是这一设计传统得以长久和成功的原因，那就是创新。创新不仅属于古往今来的伊斯兰工匠和研究者，也属于领域外的人。在二十世纪的荷兰，就有一位领域外的人从伊斯兰图案之中获得启发，对密铺技术进行了独出心裁的创新，并将之提升到了新的高度。如果说伊斯兰工匠们的密铺作品好似几何图案的神圣殿堂，充满了规律和秩序，那么这位荷兰人的密铺作品则飞禽走兽、花鸟鱼虫无所不包，充满了想象和形变。虽然他的作品不入主流艺术界的法眼，但却颇受科学工作者追捧。他就是荷兰版画家莫里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）。接下来，我们走进这位"外行数学家"的密铺艺术世界。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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