尺规作图与古希腊三大作图问题

1 尺规作图

初学几何，最令同学们感兴趣的就是尺规作图。尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。

只用直尺、圆规可以完成许多作图问题，比如我们在中学时就已熟知的：作已知线段的垂直平分线。

以及作已知角的角平分线。

稍复杂一点的：作圆内接正六边形。

在所有这些问题中，直尺的功能仅仅是作为一个画直线的工具，而不能用以测量或标示出距离。只用直尺和圆规作图的传统要回溯到古希腊时期，希腊人认为直线和圆是最基本的图形，而直尺和圆规使它们具体化，所以便选择只用这两种工具作图。

尺规作图有五项“公法”：

• （1）根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。

• （2）以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。

• （3）确定两个已经作出的相交直线的交点。

• （4）确定已经作出的相交的圆和直线的交点。

• （5）确定已经作出的相交的两个圆的交点。

“合法”的尺规作图，便是用直尺、圆规有限次运用上述五项基本的“公法”进行作图，从而解决很多复杂的作图问题。

2 古希腊三大作图问题

古希腊人研究尺规作图，提出了三个著名的尺规作图作图问题：

• 
  

  倍立方体：给定立方体的一边，求作另一立方体（的边），使后者体积是前者体积的两倍。

  
  

• 
  

  三等分角：三等分任意一个角。

  
  

• 
  

  化圆为方：作一正方形使其与给定的圆面积相等。

  
  

问题的提出是自然的，因为这些是古希腊人在解决了一些作图题之后的引伸：

• 
  

  以正方形对角线为一边的正方形有两倍于前者的面积，便理所当然地提出相应的倍立方体问题；

  
  

• 
  

  可以作角平分线，即可以二等分任意角，自然地就想继续搞三等分；

  
  

• 
  

  化圆为方是古希腊人在求作一定形状的图形使之与给定图形等面积这类问题中的一个典型问题。

  
  

古希腊三大作图问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看起来十分简单，但实际上有着非常深刻的内涵。在探索这三个问题的过程中就隐含了近代代数学的思想，直到19世纪，这三个作图题的不可能性才被证实，这时相距问题的第一次提出已经过去了2000多年。

那么，为什么古希腊三大作图问题只用直尺和圆规来求解是不可能的呢？今天大小吴就和大家聊聊这其中的玄机。

3 基本几何作图

首先我们要明确一点：讨论尺规作图问题其实就是在讨论代数问题，因为用尺规作图画出几何图形的过程从某种意义上来说就是作出了某些数量。

为什么这么说呢？举一个很简单的例子，如果给定一单位长度的线段 ，我们用尺规作图能做些什么呢？

首先，我们可以在一条射线上顺次截取线段 ，从而作出所有的（你想作出的）正整数长度的线段。

这就是说，所有的（正）整数都是可作的。

用尺规作图作与已知角相等的角也是可以办到的，原理是全等三角形：

利用画相等的角，我们就可以继续作出过一点且平行于已知直线的平行线，原理是同位角相等，两直线平行。

既然平行线是可作的，那么我们可以继续作图得到诸如 之类的数（之前已说明正整数都是可作的，这里的 为任意正整数）。

具体做法是：在直线上标出 ，过 任意作第二条直线，在这直线上标出线段 ，再作 .

联结 和 且过 画一条直线平行于 ，交 于 .由相似三角形性质易知

如法炮制，我们可以画出 ，这里 是任意一个正整数。

由于有理数总能写成 的形式，所以根据刚刚的讨论可知，所有的（正）有理数也都是可作的。

并且，如下图所示，有理数的加、减、乘、除也都可以用尺规作图实现。

这真是一件非常神奇的事！从已知的单位线段出发，连续应用这些简单作图（即重复地应用加、减、乘、除），我们能作出任意一个有理数——以这种方式得到的所有量构成了一个叫做数域的集合，使得这集合中若干个数经过任意的有理运算后仍然是这个集合中的一个数（回忆一下中学时反复操练的有理数混合运算题，不管题目有多复杂，最后的答案仍然是一个有理数）。

因此，有理数对于有理运算是“封闭”的，即任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）——仍然是一个有理数。如果一个数集关于这四种有理运算封闭，则称其为一个数域。

讨论完这些，我们再介绍一种全新的作图方法——求平方根，它使得我们冲破了“有理数域”的束缚。如果给定一个线段 ，则可以按照如图的方法作出半圆和垂线段。

根据射影定理，有

即

这就是说，我们可以利用尺规作出新的无理数，例如 ，然后再通过“有理”作图，作出所有形如

的数，这里的 都是有理数，比如可以作出 .

更进一步地，可以利用乘法和除法作出形如

以及

的数，这些数总可以写成 的形式，因为 都是有理数（特别地， 不可能为0，因为若它等于0，则 ，这和 是无理数矛盾）。

上面的讨论表明，所有形如 的数仍然形成一个数域，这个域比有理数域大，但它显然又比全体实数构成的数域小，我们称有理数域为 ，形如 的数构成的数域为 ，这个做法叫做扩域。

刚刚验证过， 这个“扩充的域”中的每一个数都是可作图的，现在我们可以继续扩充作图的范围，比如用 中的一个数，取

求它的平方根，注意到，这个数仍然是可作图的

用 便可以得到所有形如

的数，注意，现在这里的 可以是 中任意一个数！即 是形如 的。

组成的数域是更大的一个数域，记为 ，这样我们就把数域继续扩充了。

我们可以继续这样的操作，不停地扩域，在 次加进平方根后，最终得到一个可作图的数域.可作图的数是且仅仅是那些能用这样一系列扩域达到的数，也称为规矩数。这里 的取值是无关紧要的，因为这仅仅取决于作图的复杂程度。

由于规矩数都是通过有限次开平方根和有理运算得到的，因此 中的数一般都是有理系数 次方程的根，比如考虑 中的数

就有

即

即

这是一个有理系数的四次方程。

所以，规矩数必然满足整系数方程

这就说明规矩数都是代数数，又由于代数数还包含形如 的复数，比如 的复根

我们可以进一步得到如下的包含关系。

6 为什么古希腊三大作图问题不可解？

有了上面的知识基础，我们便可以理解为什么古希腊三大作图问题是不可解的了。

首先考虑倍立方体问题，如果给定立方体的边长是单位长度1，那么现在就是要作出体积是2的立方体，也就是要求出立方体的边长 ，使得

显然，这个数是 ，这个无理数不是规矩数，因为它不是通过有限次开平方根得到的。因此，倍立方体不可尺规作图。

再来看三等分角问题，先假定在单位圆中作出角，那么这个问题等价的代数问题就是如何由已知一个角的余弦值 ，求未知量 的问题。应用三倍角公式，可得

即

这个方程最高次数是3，它的根在一般情况下不是规矩数，但是也有一些特殊情况，比如说，若 ，则 ，则原式可因式分解得到

解得

说明我们可以尺规作图三等分一个平角，只要作出长 的线段即可。但是当 时，原方程化为

这个三次方程的根不是一个规矩数，故尺规三等分 角是不可作的，因此，三等分任意角无法通过尺规作图完成。

最后来看化圆为方问题，取半径为单位长度的圆，其面积是 ，要使正方形面积和圆一样，那么这个问题就等价于作出长为 的线段，这也是不可能的，因为 首先就是一个超越数，因此 不可能用尺规作图作出。

我们可以对上图的分类补充如下。

7 天才伽罗瓦

在数学史上有一位超级天才——法国数学家伽罗瓦。他15岁开始系统学习数学，18岁便提出现代数学中的分支学科——群论。伽罗瓦用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论。他解决了古希腊三大尺规作图问题的两个问题：“三等分任意角”和“倍立方体”。

从1831年5月后，伽罗瓦两度因法国大革命而参与政治活动后入狱。据说1832年3月他在狱中结识一个医生的女儿并陷入狂恋，因为这段感情，他陷入一场决斗，自知必死的伽罗瓦在决斗前夜将他的所有数学成果狂笔疾书纪录下来，并时不时在一旁写下“我没有时间……”，第二天他果然在决斗中身亡，死时年仅21岁。

参考文献：[1]（美）R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社，2012.[2]（美）M.克莱因.古今数学思想（第一册）[M].张理京，张锦炎译.上海科学技术出版社，1979.

来源：大小吴的数学课堂

编辑：谦

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