考虑点P沿单位圆以单位速度逆时针旋转,并在t = 0时从x轴上的点P0开始。因此,当旋转弧的长度为t时,∠P(0)OP = t,
根据正弦和余弦的定义,位移向量等于
速度向量由位置向量的导数给出:
另一方面,由于|v| = 1(根据假设),图中阴影部分的两个直角三角形具有全等的斜边(长度为1)。此外,由于v⊥O P,两个三角形的所有对应边都是垂直的,因此对应的角是全等的。得到阴影部分的两个直角三角形全等,因此
与前一个方程比较我们就得出了正弦和余弦函数的导数
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