圆周率是如何计算的？

3.1415926...是什么？

圆周率π是一个十分重要的数，也是一个很神奇的数。从古希腊时代开始，由于科学研究和工程技术的需要，圆周率的计算就一直没有停止过。直到今天，圆周率依然是检验计算机计算能力的方法之一。日本某个无聊的出版社居然出了一本一百万位的圆周率的书《円周率1000000桁表》，全书只有一个数字：π。

你知道人们最开始是如何计算圆周率的吗？看完这篇文章，你就有所了解了。

阿基米德π≈3.14

公元前300年左右，古希腊数学家欧几里德在著作《几何原本》里将几何的基础简化成几个公理。其中一条公理是：过一点以某个长度为半径可以做一个圆。根据相似性可知：任何一个圆的周长与直径的比都是一个常数，把这个常数称为圆周率π。

如果使用一根软绳测量圆的周长，再除以圆的直径，只能得到圆周率大约等于3的结果，更加精确的结果只能依赖计算。

第一个把π计算到3.14的人是古希腊的阿基米德。

我们都知道阿基米德的名言：给我一个支点，我可以撬起地球。阿基米德第一个发现了杠杆原理和浮力定律，是一位物理学家。但是同时，他也是一位数学家。公元前212年，罗马士兵进攻叙拉古国，城破之后阿基米德被罗马士兵杀死。传说他临死时被罗马士兵逼到一个海滩，还在海滩上画圆，并且对士兵说：“你先不要杀我，我不能给后世留下一个不完善的几何问题。”

阿基米德计算圆周率的方法是双侧逼近：使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长。正多边形的边数越多，多边形周长就越接近圆的边长。

阿基米德最终计算到正96边形，并得出π约等于3.14的结果。阿基米德死后，古希腊遭到罗马士兵摧残，叙拉古国灭亡，古希腊文明衰落，西方圆周率的计算从此沉寂了一千多年。

刘徽和祖冲之π≈3.1415926

阿基米德死后五百年，中国处于魏晋时期，著名数学家刘徽将圆周率推演到小数点之后四位。他在著作《九章算术注》中详细阐述了自己的计算方法。

刘徽的算法与阿基米德基本相同，但是刘徽提出了圆的内接正N边形边长与内接正2N边形边长之间的递推公式，并且计算到了圆的内接正3072边形，得到π的值大约是3.1416。

又过了两百年，中国数学家祖冲之横空出世。

祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位，指出

3.1415926<�π<3.1415927

这个结果直到一千多年后才被西方超越。

但遗憾的是，“缀术”的计算方法已经失传。华罗庚等科学家认为：祖冲之的方法仍然是割圆法。

但是如果要得到这个精度，需要分割到24576边形，从正六边形出发，还需要迭代刘徽的公式12次。而且在每次迭代的过程中，必须保证足够多的有效数字，否则就会影响到最后的结果。祖冲之通过什么神奇的方法保证了计算的准确？至今仍是一个谜。

看到这里，也许有的同学已经跃跃欲试了，我们能不能仿照阿基米德和刘徽的方法自己计算一下圆周率呢？

割圆法到底是什么？

其实这个问题也没那么难，我们不妨也来简单推导一下：首先做一个半径为1的圆。

• 设圆的内接正N边形的边长为LN，如图中AB所示；

• 将正N边形变为正2N边形，边长L2N如图中BD所示；

• 在三角形BCD中列勾股定理：

其中，AB=LN，OD=1

• OC又可以在三角形OCB中利用勾股定理计算：

• 根据以上的由此可以得到递推式：

• 当N=6时，圆的内接正六边形边长刚好与圆的半径相等L6=1，用这个正多边形近似圆的周长，可以得到圆周率

• 再根据递推公式，可以得到12边形的边长

• 用这个正多边形近似圆的周长，可以得到

按照这个方法一直计算下去，就可以得到更加精确的结果了。

当然，时至今日，人们已经发明出各种各样计算π的方法。比如，欧拉就提出过使用级数方法计算π的值：

这种方法要比使用割圆术快得多，也方便得多。

话说，你能背下来多少位的π呢？我能背下来小数点后22位，这是因为小时候看过的一个故事：

有位教书先生，整日里不务正业，就喜欢到山上找庙里的和尚喝酒。他每次临行前留给学生的作业都一样：背诵圆周率。开始的时候，每个学生都苦不堪言。后来，有一位聪明的学生灵机一动，想出妙法，把圆周率的内容与眼前的情景联系起来，编了一段顺口溜：

山巅一寺一壶酒（3.14159）尔乐苦煞吾（26535）把酒吃（897）酒杀尔（932）杀不死（384）乐尔乐（626）