六西格玛项目测量阶段：概率与数理统计基础

一、概率论基础知识

许多决策都是在不确定的情况下做出的。例如，测量方法是否正确？过程能力能否达到要求？接收到的产品是否满足预定的合格率要求？利用概率论可以解决这一系列问题，下面来明确概率的一些基本概念。

1.随机试验和随机事件

在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验称为试验，把观察或实验的结果称为事件。广义上讲，从某一研究目的出发，对随机现象进行观察均称为随机试验，但严格意义上的随机试验应该满足三个条件：

（1）试验可以在相同的条件下重复进行。

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个。

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但试验前不能肯定这次试验会出现哪个结果。

随机事件就是随机试验中可能出现也可能不出现的事件。特别地，每次随机试验一定出现的事件称为必然事件，一定不会出现的事件称为不可能事件。

2.事件间的关系与运算

（1）事件的包含与相等。

如果事件A出现一定导致事件B出现，则称事件A包含于事件B，用记号ACB表示（见图4--6）。例如，“电话交换台一分钟内接到的电话呼叫恰为指定次数”是一个随机事件，可能是0，1，2，…。“接到呼叫2次”和“接到呼叫不超过5次”这两个事件有明显的关系，前者发生，后者一定发生，前者包含于后者，或者说后者包含了前者。如果ACB同时BCA，则称事件A与事件B相等，用记号A=B表示。

（2）事件不相容。

事件A与事件B没有共同的样本点，则称事件A与事件B不相容或称事件A与事件B是互斥事件（见图4—7）。例如，掷骰子时，出现1个点和出现2个点的结果不可能同时出现，即“出现1个点”和“出现2个点”是互斥事件。检查一批产品，“恰有1件不合格品”和“恰有2件不合格品”是互斥事件。呼叫中心的客服人员“在5分钟内接到过电话”和“在5分钟内未接到电话”是互斥事件。

（3）事件的并。

由事件A与事件B中所有样本点组成的新事件称为事件A与事件B的并，记为AUB，是逻辑上“或”的关系（见图4-8）。例如，在学校某一个班级内抽签，A=“班干部”，B=“女生”，则AUB=“班干部或女生”；在电话交换台，A=“接到呼叫1次”，B=“接到呼叫2次”，则AUB=“接到呼叫1次或2次”。

（4）事件的交。

由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与事件B的交，记为AOB或AB，是逻辑上“与”的关系（见图4-9）。例如，在一个班级内抽签，A=“班干部”，B=“女生”，则AnB=“班干部并且是女生”；在电话交换台，A=“接到呼叫多于3次”，B=“接到呼叫少于5次”，则ANB=“接到呼叫4次”。

（5）事件的差。

由在事件A中而不是在事件B中的样本点组成的新事件称为事件A对事件B的差，记为A-B（见图4-10），同理可知B-A（见图4-11）。仍以在一个班级内抽签为例，A=“班干部”，B=“女生”，则A-B=“班干部但不是女生”；B-A=“女生但不是班干部”。在电话交换台，A=“接到呼叫多于3次”，B=“接到呼叫少于5次”，则A-B=“接到呼叫多于4次”，B-A=“接到呼叫少于4次”。

（6）对立事件。

假设所有的事件构成样本空间为Q，在Q中而不在事件A中的样本点组成的事件称为事件A的对立事件，记为A（见图4—12）。例如，检查布匹时，事件A“至少有1个疵点”的对立事件A是“没有疵点”。

3．概率

概率是对一个事件发生的可能性大小的度量，表示事件A发生可能性的数值P（A）称为事件A的概率。抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”与“背面朝上”的可能性各为1/2。抛掷骰子时，“恰为6点”的可能性为1/6。概率是一个介于0～1的数，概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，事件发生的可能性越小。不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。

4.概率的性质和运算法则

概率具有以下基本性质。

性质1：对任一随机事件A，有0≤P（A）≤1。

不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即P（）=0，P（Q）=1。例如抛掷骰子时，出现任何点数的概率p都是一个大于0小于1的正数。

性质2：事件A的对立事件为A，有P（A）+P（A）=1。

例如，抛掷骰子，事件A=“出现点数3”，则A=“不出现点数3”，所以P（A)+P（A)=1，它表示抛掷骰子时，出现的点数要么是3要么不是3。

性质3：若AつB,则P(A-B)=P(A)-P(B)。

例如，抛掷骰子，事件A=“出现点数小于3”，事件B=“出现点数1”，则AつB,所以P(A-B)=P(A)-P(B)。

性质4：加法法则。

事件A与事件B的并的概率为P（AUB)=P(A）+P（B)-P（AB）。当事件A与事件B不相容时，P（AB)=O，则P（AUB)=P（A)+P（B）。

例如，抛掷骰子，事件A=“出现点数小于5”，事件B=“出现点数大于3”，则AUB=“出现点数为1~6中的任意一个数”，事件AB=“出现点数4”，所以P（AUB=P（A)+P（B)-P（AB)=4/6+3/6-1/6=1。当事件A=“出现点数小于2”，事件B=“出现点数大于5”时，事件A和事件B不相容，即P（AB)=0，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1/6+1/6=2/6

此性质可推广到多个两两互不相容的随机事件A1，A2，…，An，则P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)

性质5：乘法法则。

对任意两个事件A与B，有P（AB）=P（B|A）P（A）=P（A|B）P（B），其中P（A|B）为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，此时要求P（B)>0。

例如，投掷骰子时，事件A=“出现点数大于2”，事件B=“出现点数小于4”，则P（A)=，P（B)=。当事件A发生时，即出现点数为3,4，5或6,此时事件B也发生的条件概率为P(B|A)=1，所以P（AB)=P(B|A)P(A)=1/4×4/6=1/6。同理可得，P(AB)=P(A|B)P(B)=1×品=，即P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)=1/6。

当两个事件的发生互不影响，则称这两个事件相互独立，即P（A|B）=P（A)，P（B|A)=P（B)，此时乘法原则简化为：P（AB)=P（A)P（B)。

二、随机变量及分布

1.随机变量

因此，随机变量，即按照一定的概率取值的变量，通常用大写字母X，Y，Z等表示，而随机变量的取值通常用小写字母x，y，z等表示。随机变量通常具有以下两个特征：

（1）取值的随机性，即事先不能确定X取哪个值。

（2）取值的统计规律性，即可确定X取某个数值或X在某一区间内取值的概率。

通常我们只研究两类随机变量：离散型随机变量和连续型随机变量。

2.离散型随机变量和分布

如果随机变量X所有可取值集合只包括有限或可列个元素集合，则X为离散型随机变量。如抛硬币得到正或反面的次数、铸件上的缺陷数等都是离散型随机变量。其中：P（X=xi）=pi为离散型随机变量X的概率函数。其分布列表如下：

3.连续型随机变量和分布

如果随机变量X能在一个数值区间内取任何值，则X为连续型随机变量。如灯泡、电视机等电器的使用寿命等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，我们一般用概率密度函数来表示其分布情况。假设

其中，随机变量X小于或等于实数x的概率F（x）=P（X≤x），则有

F(x)又称为累积分布函数或分布函数，如图4-15阴影部分所示。

由于在计算面积时，直线的面积为0，即P（X=a）=0，所以有

指数分布是一种常见的连续分布，其概率密度函数为：

式中，A>0，为参数。在工程实践中，不少产品首次发生故障的时间，或发生故障后需要维修的时间都服从指数分布。

三、数学期望、均值及方差

均值（mean）、方差（variance）与标准差（standard deviation）均为描述数据分布状况的重要指标。均值用来表示分布的中心位置，反映分布的集中情况，用E（X）表示。均值的计算公式为：

很多情况下仅了解集中程度是不够的，还必须了解随机变量的离散特征。我们通常使用方差度量分布的离散程度，记方差为Var（X），其计算公式如下：

标准差σ是方差Var（X）的正平方根，与变量X具有相同的单位，也用来反映离散程度的大小，记为σ=σ（X）=Var（X）。

均值与方差具有以下性质：

（1）设X为随机变量，a与b为任意实数，则有E（aX+b）=aE（X）+b，var(ax+b)= a2var(x)的值。

（2）对任意两个随机变量X1和X2，有E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）；如果X1和X2独立，则有Var(X1土X2)=Var(X1)+Var(X2)。

四、常用的离散分布

常用的离散分布有：

●0-1分布(0-1分布).

●二项分布(二项分布).

●执行下列操作吴成祖(鱼的分布)。

●超几何分布(超几何分布).

1. 0-1分布

当每次试验中，只有两种可能的结果，例如正面朝上与背面朝上，产品合格与不合格，检验通过与不通过，目标命中与不命中，具备某特性与不具备某特性等，或是只关注试验的两种不同结果，例如手机月话费是否高于100元，布匹疵点数是否多于5个等，可以将这两种结果称为成功与失败。若成功的概率为p，则失败的概率为1-p，设随机变量X表示“试验的结果”，则X服从两点分布。若把成功记为1，失败记为0，则称X服从0-1分布，记为X~B（1，p）。

0—1分布的均值、方差与标准差分别为：

五、常用的连续分布

常见的连续分布有：

• 正态分布；

• 均匀分布；

• 指数分布；

• 对数正态分布；

• 威布尔分布。

正态分布

质量管理中最常用的连续分布是正态分布，它能够描述很多质量特性随机取值的统计规律性。正态分布的概率密度函数为：

2.均匀分布

设连续随机变量X具有概率密度函数为：

则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X～U（a,b），如图4—24所示。如果变量X在区间（a,b）上服从均匀分布，意味着X落在区间（a，b）中任意长度相同的子区间内的可能性相同。均匀分布U（a，b）的均值、方差与标准差分别为：

3.指数分布

设连续型随机变量X的概率密度函数为：

在地质勘探中，岩石的某种化学成分的对数服从正态分布，故得名对数正态分布。对数正态分布出现在很多领域，如针刺麻醉的阵痛效果、英语单词的长度、流行病的蔓延时间、某些电器的寿命、化学反应时间、绝缘材料的被击穿时间、产品维修时间，等等。

5.威布尔分布

威布尔分布在可靠性工程中广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。由于可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，所以广泛应用于各种寿命试验的数据处理。其概率密度函数为：

六、中心极限定理

假设随机变量X1和X2相互独立，且X1和X2同分布，即X1和X2具有相同的分布形状和分布参数，则称X1和X2是独立同分布的随机变量。

当Xi的分布对称时，只要n≥5近似效果就比较理想；当Xi的分布非对称时，一般n≥30近似效果才比较理想。根据中心极限定理，可用多次测量的方法对样本均值进行更精确的估计。

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