1993年高考数学压轴题，求椭圆标准方程，这题不会考本科有点悬了

高考数学压轴题是一套试卷中难度系数最大的一道题目，但是并不是所有的压轴题难度都很大，特别是现在回过头去看以前的压轴题，也许难度真的就不大了。本文就和大家分享一道1993年北京、湖北等地高考文史类数学卷的压轴题，对于现在的学生来说，如果这道题都不会，那么要考本科就有点悬了。

题目见上图，这是一道考查椭圆标准方程的题目。

由于题目要求所求的椭圆是以点M、N为焦点的，那么可以以MN所在直线为x轴，以线段MN的垂直平分线为y轴，并分别以向右和向上为正方向来建立平面直角坐标系。

我们不妨设椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1，焦点坐标为M(-c,0)、N(c,0)，点P的坐标为(s,t)。接下来介绍三种方法求解椭圆的标准方程。

解法一：

由图可知，∠PMN和∠MNP的正切值可以用点的坐标表示出来，tan∠PMN为P、M两点的纵坐标之差比上横坐标之差，即tan∠PMN=t/(s+c)=1/2。同理，tan∠MNP=-tan∠PNx=-t/(s-c)=-2。

又因△PMN的面积可以表示为|MN|与点P的纵坐标之积的一半，且|MN|=2c，所以ct=1。联立上面得到的三个关于s、t、c的方程，构成一个方程组，可以解出s、t、c的值。

又因为点P在椭圆上，则点P的横纵坐标满足椭圆的方程，代入即可得到一个关于a、b的方程。另外，在椭圆中，a^2=b^2+c^2，这样就可以求出a、b的值，从而得到椭圆的标准方程。

解法二：

因为tan∠PMN=1/2，tan∠MNP=-2，所以PM、PN所在直线的斜率分别为1/2和2，则根据点斜式可得直线PM、PN的方程分别为y=(x+c)/2和y=(x-c)/2，联立两个方程即可求出点P的坐标为(5c/3,4c/3)。

接下来，用c表示出△PMN的面积，即4c^2/3=1，解得c=√3/2。此时，可以用解法一继续求解，这儿再和大家分享另外一个方法。

求出c的值后，即知道了点P、M、N的坐标，所以可以根据两点间的距离公式求出线段PM、PN的长度，然后根据椭圆的定义可知：2a=|PM|+|PN|，这样就可以直接求出a的值了。再由b^2=a^2-c^2求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。

解法三：

在△PMN中，∠P=π-(∠PMN+∠MNP)，所以tanP=tan[π-(∠PMN+∠MNP)]=-tan(∠PMN+∠MNP)，然后根据两角和的正切公式求出tanP。又∠P为锐角，所以可以得到sinP和cosP的值。

接下来根据三角形面积公式，即△PMN的面积等于(|PM|·|PN|sinP)/2=1，求出|PM||PN|的值。再根据余弦定理，可以得到a、c的关系式，从而求出b^2=3。接着根据正弦定理，可以再得到一个a和c的关系式，从而进一步求出a的值，最后求出椭圆的标准方程。

整体来看，这道题的难度不大，考查就是椭圆的概念及标准方程，这是高中数学必须要掌握的知识。