对称性和守恒律

作者｜胡竭末

编辑｜Trader Joe's

简介

对称性在现代物理理论中非常重要，一般来说一个理论对称性越多，就越方便我们处理。

更进一步，诺特定理(Noether's theorem)给出了（连续）对称性和守恒量之间的关系。

这是一个非常非常强大的定理。

本文的主要目的就是简要的介绍对称性和守恒律之间的关系。

埃米·诺特（图片来自维基百科）

整体对称性和诺特定理

我们首先来看最清晰也最简单的情形–––整体对称性。

设一个经典体系有拉式量 ，则作用量为

运动方程为

如果有一个整体变换

满足

那么我们就说这是一个整体对称变换。

对于连续的整体对称变换，我们可以取一个无穷小变换

满足

那么很显然我们有

假如有这么一个函数（微分形式） ，满足在边界上为0的边界条件。

那么我们由斯托克斯定理(Stokes' theorem)可知

这告诉我们 ，可以写为

可以看到以上的推导要求的是对称变换，但并没有要求满足运动方程。

现在如果我们要求一个无穷小变换保持运动方程，但并不要求保持作用量不变，这会发生什么呢？如下

因为我们已经要求满足运动方程了，所以上式第二行的第一项就为0，所以得

现在如果我们要求既满足对称变换，又满足运动方程，那么根据前式的对比可知

其中

所以 就是一个守恒量，这就是诺特定理（有时候也叫做诺特第一定理）。

对于场论中的诺特定理推导是十分类似的，设

其中

为拉式密度，则

其中

总结一下，诺特定理告诉我们任何一个连续对称性有相应的守恒量。

图片来源 https://insidetheperimeter.ca/noethers-theorem-kindergarten-phd/

特别指出的是，这里的对称性是针对有动力效应(dynamical)的变量而言的，对于属于背景（background）的量则没有以上的结果。

规范对称性(gauge symmetry)在现代物理理论中非常重要。

然而虽然我们把它叫做"对称性"，但比较现代的观点是把它看成一种"冗余"，它告诉我们描述不同物理的是一族数学上的等价类。

一个具体的例子为：在麦克斯韦理论中，如果电磁4-势 为某个物理解，那么对于任何 ， 描述的是与 代表的同一个物理解。

我们首先来看一个玩具模型，考虑一个作用量

对于这个理论，存在这样一个对称性保持作用量不变

这个对称性对于 完全没有任何要求，这和我们上一节提到的整体对称性有区别。

对于整体对称性而言，函数 是被确定的，并没有这种任意性。

正因为对没有要求，所以每点处的可以不同，因此区别于整体对称性，我们把这种对称叫做规范对称。

运用运动方程，我们可得

我们发现这两个运动方程不是独立的，运动方程不能完全确定解的形式！

接下来如果我们直接利用诺特定理，你会发现

也就是说

规范对称性的守恒荷等于0!

这个结论不仅适用于我们这个玩具模型，而且是普遍结论 。

我们不在这儿证明，但给出一点论述。

如果规范对称性带有可观测的荷，那么规范对称性就不再是一种冗余，而是代表了实际物理，因此守恒荷恒为0是很自然的结论。

为了能更好的看清规范对称性，我们现在转到哈密顿形式中去。

做勒让德变换(Legendre transformation)，得

哈密顿量为

作用量则为

运用运动方程，我们会发现

这是个很不平凡的结论，它告诉我们 （在满足运动方程的情况下）恒为0。

该怎么理解这种情况呢？

我们发现如果变量 在拉式量中没有导数项 ，那么就不存在它的共轭动量 ，绝大多数我们熟知规范理论的哈密顿形式可以写成

的形式，从而可得

回忆一下高数中的拉格朗日乘子法(Lagrange multiplier)，你会发现这跟我们这里的情形完全一样。

因此，我们把 看成是一个乘子，而把 看成是一个约束（在这个玩具模型中，约束即为 ）！因此我们可以说没有共轭动量的量通常是一个乘子。

本文并不打算继续叙述规范对称性和约束的关系，感兴趣的读者可以参考文献 。

我们继续导出其他两个运动方程

再一次，我们发现这三个运动方程并不独立，因此不能完全确定解的形式。

对于具有规范对称性的理论，通常运动方程无法完全确定解的结果是规范冗余带来的。

因为运动方程描述的是物理的结果，而如今我们引入了冗余的"非物理"的信息，自然这部分多余的信息无法被运动方程确定，一般来说我们还需要额外的规范固定条件来确定最终的解。

小结

我们已经知道了整体对称性和规范对称性的不同。

作为一个例子，我们简单的对狭义相对论和广义相对论中的能量做个小论。

在狭义相对论中，时空具有时间平移不变性，这是一个整体对称性，因此我们可以借助这个对称性定义能量。

但在广义相对论中通常我们没有时间平移不变性，所以不能像狭义相对论那样定义能量。

由于等效原理，广义相对论有一个局域的微分同胚不变性，自然就可以有一个局域的时间平移不变性，这种不变性可以对应一个规范对称性，规范对称性对应的诺特荷恒为0，似乎是没有物理意义的。

但根据我们第二节的描述，我们应该把这种情况看成是一种约束条件，由此广相中的"能量"会有更复杂和丰富的内涵。

本文简单的介绍了经典理论中的对称性和诺特定理，我们得到结论

• 
  

  连续的整体对称性可导出守恒律。

  
  

• 
  

  规范对称性表达了一种冗余，通常会伴随某种约束。

  
  

对于量子化后的情况，本文按下不表。

参考文献

[1] M. Bañados and I. Reyes, A short review on noether’s theorems, gauge symmetries and boundary terms, International Journal of Modern Physics D 25 (2016) 1630021.

[2] A. Deriglazov, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism (2010).

本文转载自《yubr》微信公众号