密铺的魅力

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

长期以来，设计师和艺术家对覆盖表面的马赛克感兴趣。然而最近，数学家们将注意力转向了这种视觉呈现，并发现它们是有趣的问题的迷人来源，其中许多问题仍未解决。

荷兰艺术家埃舍尔 (1898-1972)经常将平面的规则分割描述为“我所获得的最丰富的灵感来源”[1]。在马约利卡瓷砖、镶嵌木材、砌砖、雕刻灰泥、石头路面、缝制拼布或印花织物中展示的联锁形状对许多人来说具有特殊的魅力，远远超过这些图案提供的美感。镶嵌可以作为一个范例：它完全是视觉化的(也许看起来纯粹是设计的起源)，但作为数学问题的来源，它却异常丰富。这些问题对那些(像埃舍尔一样)设计复杂而不寻常的镶嵌工艺的人来说，都有一定的意义。其他问题探索镶嵌的可能性的限制，研究镶嵌的结构，旨在产生分类的方法或将镶嵌与自然的物理结构或虚拟的数学结构联系起来。

数学家试图了解瓷砖如何铺砌表面——不仅是欧几里得平面，还包括双曲平面和三维物体的表面，如球体、圆环(甜甜圈)或莫比乌斯带[2]。他们还研究在我们的三维世界中不可能完全表示的表面上的瓷砖，比如克莱因瓶或更高维度的表面。瓷砖的问题不仅仅局限于表面——还有很多奇妙的问题，比如三维的“瓷砖”(如多面体)如何填充空间，或者更高维度的空间如何填充瓷砖。

这些问题大部分都很难，而且大部分都没有解决，但是人们正在努力解决。如果我们把自己限制在关于给欧几里得平面密铺的问题上，这个主题仍然是非常丰富的，而且还远远没有完成。在这篇文章中，我将强调一些不同种类的数学问题，这些问题可能与欧几里得平面的密铺有关。有些问题得到了充分的回答，有些问题只得到部分回答，有些问题根本没有得到回答。尽管数学家和科学家已经研究了这些问题(现在仍然如此)，但许多问题对于那些很少或没有受过正式数学训练的人来说是容易理解的。尝试各种可能性可以带来很多乐趣，甚至可能导致重大发现。

密铺是平面上没有间隙或重叠的闭合形状的覆盖；另外两个同义术语是镶嵌和拼花。当然，真正的瓷砖在相邻的瓷砖之间有一个很小的空间，里面填满了水泥、胶水或者只是普通的泥土；从数学上来说，这个空间被视为瓷砖的厚重轮廓，它们(至少在理论上)完美地组合在一起。将各种形状组合起来填充一个区域是一项令人愉快的挑战——玩彩色多边形或完成拼图游戏都是给出形状的例子，我们希望它们至少以一种方式组合在一起。众所周知，为儿童探索镶嵌而制作的简单多边形可以以许多不同的方式组合在一起；拼图玩具的形状肯定能拼在一起，因为它们同时被一个模具切割，模具的切割边缘勾勒出一个与完成的拼图大小相等的矩形。

但是，如果我们面前摆着一盒瓷砖，却不能保证它们能拼在一起，那该怎么办呢？我们能预测一个区域是否可以用它们密铺吗？[3]如果我们允许无限数量的瓷砖副本，我们是否可以预测我们是否可以用它们来密铺整个平面？当然，如果没有一个块可以彼此紧密贴合(例如圆盘，或者具有与它们的突起不匹配的凹痕的拼块)，则很容易确定拼块不会贴合在一起以填充一个区域。但是如果有很多边“吻合”，我们能决定吗？这些关于密铺的基本问题有一个简单(尽管可能不令人满意)的答案：没有测试或算法可以显示任意一组拼块是否会密铺一个等于它们的总面积的区域(或者整个平面，如果它们的总面积是无限的)。即使集合中的所有瓷砖都是单个形状的副本，答案也是一样的；这仅仅意味着密铺是不可预测的。这是魅力的一部分。数学家(和工匠)知道有各种各样的形状可以密铺平面，所以他们提出了关于具有特殊性质的密铺和镶嵌的问题[4]。这些问题的答案可能会非常有用。

最简单的镶嵌是所有拼块都是一个单一形状的副本。这些被称为单面镶嵌的镶嵌已被数学家们彻底研究过，但仍有许多未解之谜。当我们讨论单面镶嵌时，我们可以问许多关于其副本填充平面的单个形状(“原瓷砖”)的问题。也许最简单的密铺形状是凸多边形，所以我们先问哪些凸多边形可以密铺平面。(在更精确的数学用语中，我们问哪些凸多边形可以是单面镶嵌中的原瓷砖。)很容易证明，任何三角形都可以密铺平面，任何四边形(甚至非凸的)也可以。但是只有某些凸五边形可以(例如，规则五边形不能)，而某些六边形可以。还可以证明，没有具有七个或更多边的凸多边形可以密铺平面[5]。确切地发现哪些凸六边形可以密铺平面(确切地说有三种类型；它们由它们侧面的条件和它们的角度来描述)归功于K. Reinhardt，他在1918年的论文包含了这个问题的解决方案。可以密铺平面的凸五边形的发现是一个跨越多年的传奇，涉及数学家莱因哈特(1918年)和r .克什纳(1968年)的发现，以及“业余爱好者”理查德·詹姆斯(1975年)、马乔里·赖斯(1976- 1980年)和研究生罗尔夫·斯坦(1985年)的发现(见图1)。尽管在传奇故事中至少有三次声称镶嵌平面的五边形列表是完整的(后来发现了更多)，但还没有确切的证据证明已知的14种类型都是可能的[6]。马丁·加德纳的文章“凸多边形镶嵌”[7]很好地概述了这个故事，文章“赞美业余爱好者”[8]讲述了赖斯在《科学美国人》的加德纳专栏中读到这个问题后如何追求这个问题的故事。这篇文章不仅证明了她的毅力，也证明了她在调查这个问题时的独创性。

图1：马乔里·赖斯发现的凸五边形镶嵌。每个五边形都与其镜像相连，然而交换它们的反射并不是整个镶嵌的对称。

一个形状能否密铺平面的问题与一个形状如何密铺平面的问题密不可分。几乎所有的数学问题(以及设计问题)都涉及到用一个单一的形状来镶嵌，必须考虑到一个瓷砖围绕它自己的可能方式。在最简单的可能镶嵌的情况下，只有一种方法可以包围瓷砖，并且这是全等的碎片可以继续贴合在一起以镶嵌整个平面的唯一方法。这种瓷砖易于生产，可能是那些想要简单且完全可预测的填充平面工作的人最想要的(图2)。但是，当全等的碎片有不止一种方式组合在一起时，拼接的可能性就变得非常有趣，并提出了许多问题。如果一个瓷砖的副本可以填充平面的一个局部(甚至是一个非常大的局部)，那么这个瓷砖可以继续填充平面吗？如果整个平面可以被一个瓷砖的副本填满，那么这个瓷砖是唯一的吗？如果不是，那块瓷砖有多少种不同的镶嵌方法？虽然有时这些问题可以回答，但对于某些瓷砖来说，它们可能极难回答；没有通用的算法或测试可以应用于任何瓷砖[9]。

图2：这些瓷砖的边缘只能以一种方式贴合在一起；这决定了平面的唯一密铺。请注意，瓷砖的两侧对称在整个瓷砖中引入了反射对称。黑白相间的颜色产生了相反的图案。

由五个正方形组成的十字是一种简单的瓷砖，可以填充任意大小的平面，但基本上只有一种方法来填充整个平面。如果仅仅一个十字被错误地放置，密铺就不能完成(图3)。发现一块有独特镶嵌的瓷砖会带来特别的快乐——特别是如果这块瓷砖有许多“错误的开始”,在这些错误的开始中，瓷砖填充了一个补丁，然后就不能添加额外的碎片了。罗杰·彭罗斯设计了一些具有简单形状的巧妙瓷砖(使用正六边形的部分边界),这样单个瓷砖的复制品可以以无数种方式“适合”,但只有一种方法可以用它们完全铺满整个平面。1962年，他向埃舍尔展示了一盒这种瓷砖的木制剪纸(图4 ),并向他挑战如何解决这个难题。埃舍尔不仅解决了这个难题(找到了贴瓷砖的独特方法，这样图案就可以继续填充平面)，而且他还制作了自己的版本，基于彭罗斯的几何图形制作了一个“幽灵”，并为互锁的生物绘制了一幅彩图[10]。

图3：本质上，只有一种方法可以通过这个十字拼块来密铺整个平面：显示白色十字的连续排列，或者这种排列的镜像。如果只有一个瓷砖放置错误(阴影十字)，瓷砖不能继续填充平面。虽然每个十字瓷砖有四个反射对称轴，但在平面瓷砖中没有反射对称性。

对于特定的瓷砖，简单地尝试将它们的副本组合在一起可能会产生一个瓷砖，但这种方法很少能够深入了解大型瓷砖类的属性。对于数学家来说，很自然地会试图发现瓷砖的约束，尽可能精确地描述各种类型或类别的瓷砖，以满足特定的属性和微调定义，以排除异常的例外，似乎是普遍正确的。可能令人惊讶的是，平面上的任何“普通”拼块都必须遵守几何约束，无论这些拼块是相同的、不同的还是完全不同的。一个这样的约束是，对于凸多边形平面的任何密铺，必须至少有一个密铺有6个或更少的顶点。事实上，即使拼块不是凸多边形，通常也会有一个更强的条件：拼块必须包含无限个最多6个顶点的拼块(拼块的一个顶点是三个或更多的拼块相交的点)[11]。这里值得注意的是，尽管人们可能认为平面瓷砖的约束很容易导致类似的三维空间密铺的约束，但实际情况并非如此。尽管拼接平面的凸多面体最多只能有6个顶点，但凸多面体能够填充空间的面数上限是未知的。Peter Engel在1981年发现了一个带有38个面的凸填充空间，它保持着目前最多面的记录，但没有证据表明这是可能的最大的面数[12]。

另一个约束,适用于任何有限瓷砖的一块平面是欧拉定理,说v + t = e + 1, v是顶点的数量的瓷砖,瓷砖的数量,和e是瓷砖的边的数量。(边是两个贴图的公共边界的一部分，连接两个相邻的顶点。)在适当的假设下，可以将此约束扩展到整个平面的密铺，通过对密铺的一个小块形成v/t和e/t的比值，然后取随着小块变大而覆盖整个平面的极限[13]。

为了能够描述和分类大类镶嵌，数学家们自然会将问题限制在具有特殊结构和有序性的镶嵌上。晶体内部结构的数学模型是原子排列在周期性晶格中，所以(直到最近)几乎所有对镶嵌的数学研究都局限于那些周期性的。在周期镶嵌中，总有一个镶嵌的极小拼块通过在两个不同的方向上反复平移来填充整个镶嵌。(可以先用拼块填充一个无限长的带，然后平移带来填充平面。)

为了找出有多少不同种类的周期性镶嵌，研究人员集中在这些镶嵌的整体顺序上。数学家使用保持形状的平面几何变换——等距——来描述这种整体秩序。这些变换是平移、旋转、反射和滑移反射。为了分析一个特定的周期性镶嵌，数学家们试图了解是哪种等距变换了镶嵌，从而使它精确地叠加在自身上。每个这样的几何变换称为镶嵌的对称性；镶嵌的所有对称的集合称为镶嵌的对称群。对称群不仅是几何变换的集合，而且具有代数结构。镶嵌的周期性严重限制了除平移以外的对称的可能性；只有17种不同类型的周期性镶嵌对称群。按对称群分类提供了一种方便而直接的方法来对周期性镶嵌进行分类。对称群也提供了一种生成周期性镶嵌(以及周期性图案)的方法，因为每个群都是由少数等距生成的。如果在平面上画出任何不对称的图形，并且产生17个组之一的等距线重复作用于该图形，将产生具有规定对称组的周期性设计[14]。这意味着可以编写计算机程序，自动生成指定的17种类型中任何一种的周期性镶嵌或图案[15]。

通过对称群对镶嵌进行分类的问题在于，它没有给出关于镶嵌形状的任何信息，没有给出关于所有镶嵌是相同形状还是几种不同形状的任何信息，也没有给出关于一个单独的镶嵌如何被其他镶嵌包围的任何信息。在这种分类下，测试两个周期性镶嵌是否“相同”,就像在每个镶嵌上放置相同的结构线——结构线显示整个镶嵌的反射轴、旋转中心和滑动轴。如果掩模(如有必要，在两个方向上分别缩放)符合两者，则它们是相同的。我们没有学到关于瓷砖设计的视觉信息，只知道它的对称性。

当我们考虑所有全等分瓷砖的密铺时，按对称群分类似乎特别不够。当密铺中的所有拼块都是单个形状的副本时，拼块的部分边缘必须匹配，因此可以向拼块的连续边缘分配匹配签名，该签名描述这些边缘如何与围绕它的拼块的边缘匹配。仅仅知道如何包围一块瓷砖很少足以确定整个瓷砖(参见图3和图4中的十字瓷砖和彭罗斯瓷砖)。但是对于具有特殊属性的周期性密铺而言，每个密铺都被其副本以相同的方式包围，该签名足以确定整个密铺。埃舍尔称这种周期性密铺是“规则的”；数学家称它们为“等面体”或“密铺传递”。1977年，布兰科·格伦鲍姆(Branko Grunbaum)和G·C·谢泼德(G.C.Shephard)回答了有多少种不同的等面体瓷砖类型的问题-81种截然不同的类型。这些数学家为等面体密铺引入了“邻接符号”的概念。为了产生该符号，一个拼块的边缘连续地用字母标记，然后依次列出与第一拼块周围的拼块的共享边缘相对应的字母。有趣的是，早些时候，数学家H·希施(H.Heesch)和平面艺术家埃舍尔(Escher)各自(独立)开发了其中一些瓷砖的分类系统，基于描述每一块瓷砖是如何通过等距线与周围瓷砖相关的“本地签名”。这些等轴测线不仅提供了有关瓷砖如何适配的信息，而且还约束了瓷砖边缘允许的形状。图5展示了埃舍尔的一种蜥蜴等面体镶嵌，并说明了埃舍尔、希施、格里因鲍姆和谢泼德是如何描述它的[16]。埃舍尔自己的示意图(其中一个标有钩子的平行四边形代表一只蜥蜴)将半转中心显示为小圆，并通过钩子的方向指示给定的瓷砖是如何被其他瓷砖包围的。每个蜥蜴瓷砖都有四个顶点，由瓷砖轮廓中的黑点标记。Heesch对瓷砖的标记显示，两条边通过平移(T)匹配，两条边是中心对称的(C)-这两条边的中点绕半圈使边与其自身匹配。Grfinbaum和Shephard的邻接符号显示了连续标记(a，b，c，d)的有向边如何与具有相同标记的相邻瓷砖的边相匹配；+表示相同的方向。

图4：罗杰·彭罗斯设计的一种拼块，它只能向一个方向密铺平面。拼块及其镜像(阴影)形成一个单元，可以重复旋转60 °,以填充雪花形状；这12个小块可以通过平移来填充平面。这种镶嵌是非等面体的，因为没有一种镶嵌的对称性可以将瓷砖映射到它的镜像。

图5：埃舍尔，第75号对称图，印度墨水，铅笔，黑白颜料，223x206毫米，1949年。(左上)一幅埃舍尔的蜥蜴等面体密铺。密铺中的每只蜥蜴都以相同的方式包围；这提供了一个确定密铺的签名。描述这个签名的三种方式--埃舍尔的(左下)、希施的(中下)和古林鲍姆和谢泼德的(右下)。

这种对局部（而非全局）结构的描述，对于希望设计出能填满平面的等面体密铺的工匠来说是很自然的。通过阅读Heesch图表中的编码形状，或者Grfinbaum和Shephard在他们的书《Tilings and Patterns》中的等面体密铺图，人们可以轻松地创造出原始的等面体密铺。一个特别简单的方法是康威准则，它产生的拼块仅仅通过对一些顶点和一些拼块边缘的中心施加180°的旋转就可以填满平面。康威标准拼块的边界有六个连续标记的顶点（A、B、C、D、E、F），并满足以下条件：从A到B的边与从E到D的边通过平移相匹配，其余的边BC、CD、EF和FA是中心对称的。一些顶点可以重合；至少需要三个不同的顶点。图5中埃舍尔的蜥蜴符合这个步骤；另一个符合标准的拼块显示在图6中[17]。J.Baracs和N.Chourot在蒙特利尔大学开发了一个名为Mosedit的计算机程序，根据Grunbaum和Shephard的分类，协助创建等面体的密铺。用户选择一个拼块类型，然后可以设计一个该类型的原始形状，由计算机程序强制拼块的轮廓服从必要的约束。

图6：康威标准拼块可以通过连续180°旋转来填充平面。这里显示的瓷砖正好有四条中心对称的边；与图5中的埃舍尔的蜥蜴相比，另一个例子具有通过平移匹配的两条边连接的两条中心对称的边。

在埃舍尔的基于每个瓷砖与其相邻副本的关系的规则镶嵌分类中，他没有考虑反射对称性；这可能是因为他的生物形状的拼块很少有直边，可以让它们反射到相邻的瓷砖上。然而，他的几个镶嵌具有反射对称性，这是通过使用双侧对称的拼块(如鱼、天使或蝙蝠)引入的。图2中的密铺显示了这种诱发的反射对称性。这就提出了一个有趣的问题:什么时候单个拼块的对称性必然会在等面镶嵌中引入类似的对称性。当然不总是这样:图3中的十字拼块有四个反射轴，它们在四重旋转中心相交，然而具有这种十字的独特平面瓷砖没有反射对称性(它有四重旋转对称性)。交叉瓷砖是超对称瓷砖的一个例子-它拥有额外的对称性，这是任何瓷砖镶嵌所没有的。埃舍尔的一些鸟和鱼是超对称的或接近超对称的；他在他的画中注意到这一点，说它们“明显是对称的”。不对称镶嵌何时在等面镶嵌中引入对称性(何时不引入对称性)是一个悬而未决的问题。事实上，超对称瓷砖存在于哪种等面类型的问题和对于给定的等面类型瓷砖什么样的额外对称是可能的问题都还没有答案[18]。

很容易通过单个瓷砖产生非等面体镶嵌(即使像三角形这样简单的东西也可以)，也就是说，不是每个瓷砖都以完全相同的方式包围。但是有没有只能以非等面体的方式填充平面的瓷砖？1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了一系列重要的数学问题，其中一个问题是他认为答案可能是否定的[19]。然而答案是肯定的；Heesch在1935年提供了这种瓷砖的第一个例子。这些是非凸多边形，有互锁的齿。图4中的彭罗斯瓷砖是这种瓷砖的另一个例子——这种瓷砖只有在形状被瓷砖的小块包围的情况下才能填充平面，在整个瓷砖中重复无限次。然而，这种重复不是周期性的，不是通过重复平移而消除的(见图7)。试图理解这种镶嵌是如何产生的——某些形状如何与匹配规则一起只能非周期性地镶嵌——只是该领域中具有挑战性的问题之一[21]。

图7：(左)彭罗斯风筝和飞镖拼块可以通过剖分(右上)角度为72°和144°的单个菱形获得；瓷砖的长边与短边之比就是黄金数T = (1 +√5)/2。两个单幅图块的顶点被着色，如图所示；只允许相同颜色的顶点匹配。虽然有无限多的镶嵌遵循这些规则，但每一个都是非周期性的。这里的图纸是由Stan Wagon使用计算机软件程序Mathematica [33]绘制的。

另一个最近有很多研究的领域是关于彩色瓷砖——瓷砖的颜色可以作为信息的代码，或者通过对比使单个瓷砖可被识别，或者纯粹是为了讨好设计。正如对称组可以用来对瓷砖进行分类一样，它们也可以用来对瓷砖的对称颜色进行分类。这些分类法被晶体学家使用，也可以用来对彩色周期性设计进行分类，特别是经常遇到的双色“互换”设计，其中同一图案出现在黑色和白色中，例如图2和图5中的图案[22]。埃舍尔做了很多这样的双色密铺图案；它们是他许多版画中的主要装置，在这些版画中，同一图案（在两种颜色中交替重复）既是图案又是背景。然而，对称群似乎并不是一个完全足够的工具来描述和分类彩色密铺图。在某些瓷砖中，有许多颜色排列非常有序的例子，但通过对称组的分类却完全没有认识到这种有序性。在这个特殊的领域，我们要寻求新的思路，以理解两种有序性的整合可能性：瓷砖的排列和颜色的排列。

虽然我所讨论的大多数问题都是关于单个瓷砖的镶嵌，但是对不止一种瓷砖的镶嵌也很感兴趣。数学家们提出的关于等面镶嵌的同类分类和对称问题也可以应用于两种或多种类型的镶嵌。其中一些问题(例如有多少个“两个等面体”镶嵌)最近已经得到了解答，但仍有更多未解决的问题。埃舍尔的原始方法是通过两种不同的瓷砖来创建镶嵌，这两种瓷砖在形状和颜色上形成对比[23]，埃舍尔对如何通过他称为“过渡”的过程从给定的镶嵌中获得新镶嵌的研究最近才发表[24]。毫无疑问，数学家们会发现他的工作提出的新问题。

瓷砖问题是那些喜欢解决问题和谜题的人最喜欢的领域，在许多关于“娱乐”数学的文章和书籍中都可以找到。这些问题大多没有直接的解决方案，那些有高等数学背景的人在解决这些问题时不一定有优势。由全等正方形的边缘匹配而成的特殊瓷砖（如图3中的十字瓷砖）被称为多米诺。这种类型的瓷砖会引来一些问题，例如。其中哪些可以拼成平面？其中哪些可以拼成长方形？一组特定的多米诺形状（比如所有由五个正方形组成的形状）能不能拼成一个长方形？一个图形的复制品能否拼成一个更大但相似的图形？对于通过匹配全等边三角形或全等正六边形而形成的拼块，也可以提出类似的问题[25]。所罗门·戈隆（Solomon Golomb）将能够填满与该拼块形状相同的更大区域的单一拼块称为“重复拼块”；寻找重复拼块（不仅仅是在多面体中）是一个令人愉快的挑战[26]（图8.）。这个问题也可以用相反的方式提出来。给定一个特定的瓷砖，有没有可能把它分解成与给定瓷砖形状相似的全等的碎片？重复密铺有一个有趣的结果：它提供了一个与重复平移的周期性过程完全不同的密铺平面的过程。约翰·康威称之为“膨胀”，这个过程从一个单一的形状开始，用它的有限数量的副本来填充一个相似但更大的形状，然后用这些更大的形状重复这个过程——随着这个过程无限地继续下去，拼块必须增长以填充整个平面。这种过程可以描述一种已知的非周期性拼块填充平面的方法，而这正是证明其非周期性的关键[27]。

图8：两个“爬行动物”，每个都能够填充一个相似的形状，其比例是原始瓷砖的两倍。

从历史上看，设计师和工匠们对瓷砖的兴趣似乎从未间断过。似乎没有哪个时期的拼块没有被用于功利性和装饰性；各种文化在拼块的设计中自由地借用他人的想法并发展自己的特殊风格。然而，直到最近，数学家们对这一主题的兴趣还不大。除了少数值得注意的例外（如约翰内斯·开普勒），数学家们忽视了这个问题，或将其归入轻浮或娱乐的数学范畴。在19世纪末，晶体学结构和分类的问题使一些数学界的人注意到密铺问题，但在本世纪上半叶，只有少数数学家在追求密铺的数学问题。

今天，数学中的“密铺产业”有一个惊人的增长。这个课题所带来的各种各样的困难和数学上的有趣问题已经被格林鲍姆、谢泼德、康威和彭罗斯等研究者带到了数学界的注意中。现在，许多数学家和科学家在看似不相关的研究领域发现，其他问题往往可以转化为密铺问题，因此新的活力和洞察力丰富了这个课题。而且，瓷砖的令人惊讶的应用比比皆是。Dirichlet或“Voronoi”拼块可以说明或帮助解决（数据、物资、粒子或人）的分布问题[28]；非周期性拼块被研究为与新发现的“类晶体”相类似；拼块被研究为理解自然界的结构和创造建筑结构；拼块可用于教学，直观地说明抽象的代数概念[29]。瓷砖被用来 "自动”生成群组[30]；考古学家可以利用瓷砖的对称性分类来理解文化风格[31]；瓷砖被用来理解、简化或创建电路和其他连接；瓷砖提供了一种图形方式来说明“不可解性”的困难逻辑问题[32]。当然，密铺也是一种乐趣，是一种永无止境的创造性消遣的来源。今天，许多数学家可能会认同埃舍尔的想法，认为密铺是有史以来最丰富的灵感来源。

参考文献

1. M. C. Escher, The Graphic Work of M. C. Escher (New York: Ballantine Books, 1967) p. 9.

2. For an explanation of how some interesting nonplanar surfaces can be tiled, see Marjorie Senechal, "Escher Designs on Surfaces", in H. S. M. Coxeter, M. Emmer, R. Penrose and M. Teuber, eds., M. C. Escher: Art and Science (Amsterdam: North Holland, 1986) pp. 97-122; in the same book, see also Douglas Dunham, "Creating Hyperbolic Escher Patterns", pp. 241-248.

3. Mathematicians use the word tileas both noun and verb,just as in common usage: "I tiled my kitchen floor with square tiles."

4. For the most comprehensive source of information on all aspects of tiling,see Branko Gruinbaum and G. C. Shephard, Tilings and Patterns (New York: Freeman, 1987).

5. Ivan Niven, "Convex Polygons which Cannot Tile the Plane", American Mathematical Monthly 85, No. 10, 785-792 (1978).

6. Doris Schattschneider, 'Tiling the Plane with Congruent Pentagons", Mathematics Magazine 51, No. 1, 29-44 (1978). See also Mathematics Magazine 58, No. 5 (1985) p. 308 and cover.

7. Martin Gardner, "Tiling with Convex Polygons," in Time Travel and Other Mathematical Bewildermnnents (New York: Freeman, 1988) pp. 163-176.

8. Doris Schattschneider, "In Praise of Amateurs", in David Klarner, ed., The Mathematical Gardner (New York: Wadsworth, 1981) pp. 140-166.

9. See Grunbaum and Shephard [4] section 1.5.

10. Roger Penrose, "Escher and the Visual Representation of Mathematical Ideas", in Coxeter et al. [2] pp. 143-157.

11. See Griinbaum and Shephard [4] sections 3.2 and 3.10.

12. Ludwig Danzer, Branko Grunbaum and G. C. Shephard, "Does Every Type of Polyhedron Tile Three-Space?", Structural Topology 8 (1983) pp. 3-14.

13. See Grfnbaum and Shephard [4] chapter 3.

14. Doris Schattschneider, "In Black and White: How to Create Perfectly Colored Symmetric Patterns", Computers and Mathematics with Applications 12B, Nos 3/4, 673-695 (1986); Also published in Istvan Hargittai, ed., Symmetry: Unifying Human Understanding (New York: Pergamon, 1986) pp. 673-695.

15. Several such programs are described in the Software Review section of this issue.

16. For their classification of isohedral tilings, see Griinbaum and Shephard [4] chapter 6. For Heesch's classification system, see Heinrich Heesch and Otto Kienzle, Fldchenschluss. System derFormen liickenlos aneinanderschliessender Flachteile (Berlin: Springer, 1963). For the story of Escher's development of his own theory of tiling and classification system, see Doris Schattschneider, Visions of Symmetry: Notebooks, Periodic Drawings and Related Work of M. C. Escher (New York: Freeman, 1990). This volume includes color photos of Escher's symmetry drawings, and also a reproduction of Heesch's classification chart.

17. Doris Schattschneider, "Will it Tile? Try the Conway Criterion!", Mathematics Magazine 53, No. 4, 224-233 (1980).

18. Branko Griinbaum, "Mathematical Challenges in Escher's Geometry", in Coxeter et al. [2] pp. 53-68.

19. See Felix E. Browder, ed., MathematicalDevelopments Arisingfrom the Hilbert Problems, 3rd Ed. (Providence, RI: American Mathematical Society, 1979).

20. See Schattschneider [6].

21. Martin Gardner, "Penrose Tiling", and "Penrose Tiling II", in Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (New York: Freeman, 1989) pp. 1-29; and Griinbaum and Shephard [4] chapter 10.

22. For detailed information on the symmetry analysis of two-color patterns, see Dorothy Washburn and Donald Crowe, Symmetries of Culture: Theories and Practice of Plane Pattern Analysis (Seattle, WA: Univ. of Washington Press, 1988). This volume contains many examples of patterns from archeological sources.

23. Escher's tilings by two tiles that contrast in form and in color (such as birds and fish) invite animation. The movie M. C. Escher: Symmetry and Space explores this. See Michele Emmer, "Movies on M. C. Escher and their Mathematical Appeal", in Coxeter et al. [2] pp. 249-262.

24. See Schattschneider [16].

25. See Martin Gardner, 'Tiling with Polyominoes, Polyiamonds and Polyhexes", in Gardner [7] pp. 177-187.

26. See Gruinbaum and Shephard [4] section 10.1.

27. This process is demonstrated with several pairs of tiles discovered by Penrose, and with a pair of triangle tiles discovered by Raphael Robinson, as described in Grfinbaum and Shepard [4] section 10.3.

28. For definitions and illustrations of these tilings, see Marjorie Senechal, Crystalline Symmetries: An Informal Mathematical Introduction (Bristol: Adam Hilger, 1990) section 3.3. For references to literature on applications, see Grunbaum and Shephard [4] pp. 265-266.

29. Marjorie Senechal, "The Algebraic Escher," Structural Topology 15 (1988) pp. 31-42.

30. William Thurston, "Conway's Tiling Groups", American Mathematical Monthly 97 (1990) pp. 757-773.

31. See Washburn and Crowe [23].

32. See Griinbaum and Shepard [4] chapter 11.

33. This tiling is a portion of one that appears in Stan Wagon, Mathematica in Action (New York: Freeman, 1991).

34. Doris Schattschneider, The Fascination of Tiling.

青山不改，绿水长流，在下告退。

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