压轴题研题活动第53场2021年宿迁第28题

精彩点评一

《一题一世界 一法一感悟》

“一花一世界，一叶一菩提”，一花而见春,一叶而知秋,细微之物,往往是大千世界的缩影。同样,一道好的数学题中蕴含着丰富而深刻的数学思想方法,从一道题中充分反思,就可以获得思维方法,领悟数学思想,这也是解题的真正价值所在。而秦老师的讲解就让我体会到了这种价值，下面我从三个方面具体谈谈我的收获：

一、解法多变，纵横开阖：

此题第2问给出条件∠CAQ=∠CBA + 45°，秦老师充分考虑了两角的位置（形）、两角的和（数）及45°特殊角在此处的作用，首先运用了常规的倒角对其进行处理；然后又利用和差关系，构造∠CBA与45°和相等的角或者将∠CAQ拆分成与∠CBA相等的角，这都是为了将一个角等于两个角的和转化一个角与另一个角相等，构造方式有直接分隔、构造等腰直角三角形、平行相似、共角相似、四点共圆、圆内接四边形等。不经意间，这一小问的讲解已经从七年级角的加减跨越到了九年级的圆和相似了，整个过程涉及初中几何大部分的知识点。解法中既有将90°平分构造45°，又有直接构造45°；既有在∠CBA这里直接构造的，又有在∠CBA的等角∠ACO处构造的；既有构造圆，又有构造相似的等等，感觉在秦老师这里各种解法信手拈来，极简的构图都能变化出丰富的色彩。

二、教法有方 贵在得法：

要想上好一节课，就要在备课上花功夫，虽然教无定法但教必有法。其中几何解题中对基本图形特征及其规律、通性通法、拓展延伸的研究会将学生引入深层次思维的境界。

结合学生在解题中暴露出的问题秦老师又倒逼回数学课堂，学生“怎样想”、“怎么做”都反映出数学课堂的问题，课堂是否真正做到以学生为中心，如何做到以学生为中心。秦老师也给出了答案，让学生去经历、去感知，切忌越俎代庖，如何根据学生现有认知水平设计让学生去体验的教学环节成了我们每一位老师需要反复思考的问题。

三、学法指导 触类旁通：

多种解法的研讨只是我们预设的学生会采用的方法，而“一题多解”的研讨让学生学会从不同角度思考和联想,对一个问题形成多种解决方案,并辨析各种方法的优劣，从而形成解决问题的能力。通过一道题的多种解法，锻炼了学生思维的灵敏性，找到了各个知识点的内在联系；通过对解法的归纳，使学生能够透过现象看本质，找到各种题目各种解法适用的空间，从而达到做一道通一类的效果。

一题一世界,一法一感悟, 一道题的讲解向我们展示了一个全新的视野，让我们对此题的解法、教法、学法感悟颇多。秦老师的讲解再次向我们印证了日常教学、中考复习不必题海战术，精讲精练，必能做到做一题通一片。

精彩点评二

认真学习了秦琴老师对2021年江苏省宿迁市第28题的解题教学，让我收获颇丰。

此题是将二次函数和三角形知识相结合，作为代几综合压轴题，考察知识点较多，综合性强。数形结合思想贯穿解题始终，并包含了化归和分类讨论等重要思想。秦琴老师立足解题教学， 从学和教两个角度娓娓道来，引人入胜，发人深省。

问题（1）求二次函数的解析式，入口较宽，主要考察了二次函数的表达方式以及相对应的求解方法。秦琴老师站在学生的角度，根据题目所给条件，启迪学生思考，对学生的解题心理进行了细致剖析，阐述了学生最可能采用的方法，并探究了其它三种解题方法，使学生做一道会一类，达到了举一反三、触类旁通的效果，使得学生敢于做数学，有利于增强学生解决数学问题的成就感，有利于培养学好数学的自信心。

问题（2）求P点纵坐标，首先从观察图形开始，从P点位置和角的位置与数量关系出发，由数到式，由式到形。找到问题的关键：如何发现45度？如何用好45度？也就找到了解答此题的钥匙。围绕“题眼”，通过角的计算、代换、设元导角、构造等方法，对∠BAP进行表达或转化。秦老师从学生容易想到的方法和学生不容易想到的方法进行预设，对学生学情进行了分析。秦老师引导学生首先从角的位置观察，寻找角的数量关系，从而得到解题的两种通性通法；接着从要求解的结论入手，利用逆向思维寻找解题的条件并进行构造，依次构造了平行，垂线，平行相似，共角相似，外角，圆内接四边形，四点共圆，解题方法达到九种之多！找到学生意想不到的方法，启发学生思考，使学生的思维充分联想和发散，将一道题挖深挖透，将题目的价值发挥到最大，足见秦老师强大的解题能力和扎实的教学功底。

问题(3)求线段PH的长度，首先分析线段PH的生成，确定解题方向为直接求和间接转化。而由∆PHF为等腰三角形，自然而然进行分类讨论。该题解法一采用的是两点间的距离公式，同时秦老师也指出，此方法计算量大，对学生的计算能力要求较高，部分学生会望而却步。秦老师对学生的计算水平和解题心理把握十分准确，进而分析了“以形化形，由形到数”，从而利用函数解析式构建方程组，大大降低了计算量；而重构等腰三角形建立方程对学生有一定的挑战，需要学生对基本图形比较熟悉，能够从复杂的图形中准确提炼基本图形，对学生看图识图的能力有较高要求。秦老师在教学中始终注重培养学生的数学思维，始终注重基本图形的拓展延伸，十分值得我学习。

秦老师的解题教学，准确把握了学生的解题心理，引导学生动脑，动手，并通过学生得分数据和典型错误汇总对学情进一步分析，真正体现了以学定教，进而引出教师如何做好解题教学，使学生思维得到锻炼，能力得到提升，素养得到落实，真正实现教学相长。

精彩点评三

2022年3月8日，夷陵区秦琴老师以江苏省宿迁市2021年中考数学第28题为例，阐述她对中考压轴题解题教学的理解和思考，深受启发。由于压轴题的“难度”与“综合度”，学生常常做不出来，思想上先“怕”，行动上做一点就放弃或者干脆空白是常事，这一直是“学”的难点；老师更不好教，不仅要自己做顺做透，还要思考着怎样引导学生“动”起来，动脑筋、动手、动笔，这也是“教”的难点。

宿迁中考，120分钟，满分150分，有8道选择，10道填空，8分解答题4道，10分解答题4道，几何压轴题和函数压轴题各一道，各12分。本题就是最后一道，考查二次函数综合能力。第一问偏向代数，考查学生代入特殊点的坐标求二次函数解析式，秦老师从顶点式、交点式、一般式讲到根与系数的关系，用四种解法对二次函数基础知识进行了一次简要的系统复习。正因为第一问比较简单，所以学生易入手，有兴趣做下去的学生就多。这是压轴题教学要考虑的覆盖面。一问四解，秦老师从开头就调动了学生的兴趣。

第二问的难度集中在“∠CAQ=∠CBA+45°”这个特殊的条件上，学生在考场上怎样处理？老师怎样引导学生思考？秦老师从“角的转换”讲到“构造垂线、平行线”，再到“构造相似形”、“构造外角”，最后通过“圆内接四边形”、“四点共圆”法也可以解决这个问题，九种解法，九个思路，秦老师阐述了“式”、“数”、“形”的相互转化，“坐标”、“解析式”、“方程（组）”、|“点与图形”的相互转化，把函数压轴题中几何与代数的相互转化研究得十分透彻。宿迁市的命题人在这一问上以几何逻辑推理切入，考虑了坡度，也兼顾了区分度，十分巧妙。

第三问重点考查几何“等腰三角形”腰与底边的讨论，以及代数解方程计算，这是常规考点，繁而不偏。学生可以先将点P的坐标用参数表示，再与BC的解析式组合，容易用参数表示点H的坐标；而直线AP的解析式与直线BC的解析式联立，也可以求出点F坐标的参数表示。这时，对熟悉“两点间距离公式”的学生来说，难点就是解方程了。参考答案也是这个思路。秦老师以这一问为例深入地研究了“形数转换”的教学，从直接用公式讲到“间接转换”，用“相似三角形转换”、“平行线转换”、“三角转换”等不同的思路令这道压轴题的综合复习效果得到充分发挥。

仔细聆听，动笔演练，再认真思考，就会十分受益。谢谢秦老师！

个人感言

如何把一个题讲通讲透，实际上许多老师并没有深入思考过这个问题？就如2021年江苏宿迁的28题，最开始选题时主要是觉得此题常规，第二问第一次做，我也只做了三种方法，第三问因计算量太大没有完成。当我静下心来再看这个题时，发现此题并不是我想的那么简单，再加上通过调研学生，发现第一问的得分率只有0.6，第二问的得分率只有0.18，第三问的得分率只有0.03时，我的脑海里便冒出了这样的疑问：为什么看似常规的老题，学生常做却常错？我们的教学到底是哪里出了问题了？今后的教学工作中我们要注意些什么问题呢？所以把一个题讲通讲透，才是我们一线老师应该真正反思的问题。

此题是一个典型的二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，聚焦数学核心思想，考查学生运算、建模、逻辑推理、直观想象等综合运用知识解决问题的能力。每一问的方法都很多，入口很宽，但实际上在平时的教学中老师们往往只讲了最简单的几种方法，并没有深入思考，没有帮助学生理清各种方法之间的内在联系，或者说自己都没有弄清楚到底可以有几种方法，仅仅只满足于这类题型让学生做了，我讲了，至于学生听懂了没有，又重新整理了没有，整理了几种方法，许多的老师并没有去深究。这样的解题教学都是很失败的课堂教学。所以我的反思主要是围绕三个点来进行：一是我们为什么要关注解题教学？它的作用到底是什么？作为教师应该怎么做？二是在平时的教学中我们应该怎样深度教学把握问题思路，把控问题解法，把舵问题发展，培养学生思维的多样性，真正落实的核心素养 三是如何让老师和学生在题目千千万的题海中实现减负增效。

每一次研题对我来说都是一次成长。研题中收获的不仅仅是对此对此类题型的梳理归纳，更多的是一种向内的自我反省，反省自己的教学中存在的问题，需要改进的地方，注意的地方，今后在课堂上如何更有效进行教学。特别感谢张钦博士、叶先玖老师、黄毅老师、唐斌老师给予我的指导和帮助，让我从中收获太多！

秦琴老师简介

秦琴，宜昌市夷陵区实验中学教师，宜昌市数学学科工作室成员，夷陵区黄新名师工作室成员。长年担任班主任工作和数学教学工作，热爱数学教学，热爱学生，曾获夷陵区政府表彰为“优秀教师”，被教育局表彰为“优秀教师”“优秀班主任”“三八红旗手”。