从信息论、赌博到投资的一段传奇

1956年，物理学家约翰-凯利（John Larry Kelly），在《贝尔技术期刊》上，发了一篇题为“信息比例新解（A New Interpretation Of Information Rate）”的论文。

在这篇论文中，凯利提出了一个如何处理信息传输中信号和噪音的公式，这就是后来大名鼎鼎的“凯利公式(Kelly Formula)”：

其中：

f为信号发射端每次发送信号占总信息量的比率；

p为接收端接收到有效信号占总信息量的比率；

q为接收端接收到噪音信号占总信息量的比率，q=1-p；

b为特定介质在信息传输过程中的信噪比（信号与噪声的比值）。

这篇论文，看上去科学严谨又高大上，但实际上完全不是那么回事儿——

因为，这个公式是凯利在研究一个赌博游戏时琢磨出来的。

当时有一档电视答题节目正在热播，名叫《64000美元的问题》，因为节目火爆，就有人赌哪位选手能获胜。赌徒们能够提前获取一部分选手的信息，但这些信息有限而且可能有误，赌徒需要在不完全信息下进行下注。

凯利了解到这个赌局之后，就开始琢磨，如何利用有限的信息来参与赌博，才能在保证永远不输完的情况下，实现“利润最大化”？

经过反复的推导，凯利总结出来了如下公式：

其中的f，为计算出来的赌金最优投资比例，b 为赔率，即期望盈利/预计亏损，p 为成功概率，q 为失败概率即 1-p。

举个例子，假设一个抛硬币猜正反的简单赌局，每局赌注1元，猜中了得2元，猜错了输掉1元，也就是赔率b=2，胜率p=0.5，代入公式后算得f=0.25——也就是说，在这样一个简单抛硬币赌局中，如果能够无限次重复，每次投入所持有本金的25%，可以在永远不输光本金的前提下实现收益的最大化。

从这个公式里可以得出来两个推论：

1）除非胜率是100%，否则任何赌局都不能all in；

2）f为正值的赌局才值得参与，f为0或负值的游戏，重复参与的人必输无疑。

别人的一个赌博游戏，凯利能总结出如此简洁的数学公式，由此可见凯利之聪明。凯利此人不仅长得帅，聪明，还特别有趣。在加入贝尔实验室之前，他是美国海军的飞行员，加入贝尔实验室之后，他还加入了枪械俱乐部，又和妻子组队打桥牌锦标赛，还给敞篷车装上弹射座椅……

不过，在当时的贝尔实验室：

凯利的帅，只能排第二位；

凯利的聪明，也只能排第二位；

凯利的有趣好玩，还是只能排第二位。

以上三项，都稳排在第一位的那个家伙，叫香农（Claude Elwood Shannon）。

很多人可能没听说过这个人。但其实，香农是当代信息论的开山鼻祖。他的硕士论文以及后来发表在《贝尔技术期刊》上的两篇论文，确立了当代通信编码的基本原理，他用数学公式来描述通信定理，为信息论和数字通信奠定了基础。正是沿着他的思路，才有了今天的互联网世界。

某种程度上说，现在的我们，能够在互联网上自由地即时聊天、打电话、听音乐、看电影等等，其实都应该感谢他。

话说凯利总结出这个公式后，就拿给香农看，香农建议他写成文章。起初，题目是“信息理论与赌博”，但贝尔实验室的东家AT&T担心，大众可能认为实验室在拿着研究资金搞非法赌博，所以在发表时名字特意改成了“信息比新解”。

凯利公式发表后，一直没有激起什么特别的浪花，直到被一个叫爱德华-索普（Edward O.Thorp）的家伙给看到。

索普这人，从小就是个数学计算神童，28岁就在著名的麻省理工学院当了数学讲师。但他从小就喜欢研究赌博，一直想要找到一种方式，通过大量的数据计算，来预测轮盘赌中弹珠最后的大致位置。

1960年，索普大致完成了自己的猜想，他想将论文发表在美国科学院院刊上，但这个刊物规定，必须由科学院院士推荐或署名才行。于是，索普就找到了当时麻省理工唯一的国家科学院院士——香农。

香农一直都是个老顽童，索普的这种主意很快就打动了他，他同意推荐论文发表，然后，按照索普的理论，两个人一起制造了一个简易的计算器，到各个轮盘赌上去小试身手。结果发现，因为各种计算误差，赌博成果一直都差强人意。

这个时候，香农忽然想起来凯利公式，就把这篇论文，推荐给了索普，索普一眼就看了出来，这个公式可以应用到当时各大赌场盛行的21点赌博游戏中——该游戏由2到6个人玩，使用除大小王之外的52张扑克牌，游戏者的目标，是使手中的牌的点数之和不超过21点且尽量大。

为了验证凯利公式和“数牌法”在实际中的效果，索普于是约了一个专业赌徒，拿着1万美元的本钱，到附近的两个小赌场里小试身手，结果，仅一个周末里，就狂赚1.1万美元。

确认策略有效后，索普联合香农，设计了史上第一个便携式“计算器”。接下来，一旦没钱花了或者手痒难耐的时候，索普就和香农及夫人在周末坐上飞机，飞往拉斯维加斯，在赌场里大玩21点，挣一大把钱后走人。

由于索普在赌场中屡屡获胜，不久就被各大赌场列为“不受欢迎的人”。为了能继续赢下去，索普使用了化妆术，后来干脆雇佣别人代替他本人去赌博，但赌场也越来越警惕。

索普的名声在赌博业里传开了，很多人都想学这种方法。索普干脆从挖金子改行卖铲子，于是在1962年写了一本书： 《战胜庄家：21点中的获胜策略》（Beatthe Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One），详细披露了自己是如何在赌场中赚钱的。

这本书迅速登上纽约时报畅销书排行榜，销量高达70万册，比索普本人化妆去辛苦赌博挣钱多多了，这也证明了一个真理：卖铲子比挖金子赚钱。

那我们来看看，索普到底是怎么在21点的赌博中挣钱的呢？

其实很简单，记牌！

因为21点是扑克牌游戏，而每一副牌中某花色或点数的总量是一定的，每一轮赌博过后，发牌员手中的牌数就会减少。通过记下已经出现的牌，索普就能计算发牌员手中有什么样的牌，然后根据这些牌的花色、点数估算出现不同情况的概率，进而用凯利公式来计算下注比例。形势有利的时候就下大赌注，形势不利的时候就下小赌注。

那个时代赌场也很“笨”，一般只用1-2副牌，而且发牌员常常将牌发完之后才洗牌，导致记牌并非难事。索普公布了自己的办法之后，赌场就学精了，每次用6-8副牌，而且发牌不到1/3就重新洗牌，而且禁止携带电脑和数牌的电子设备进场，基本就堵上了这个漏洞。

索普的书畅销了之后，凯利公式开始变得世人皆知，甚至有人称之为“财富公式”。

到了1969年，一个年轻的纽约证券经纪人里根找到了索普，希望和索普一起成立一个对冲基金，将索普的理念和方法完全商业化。索普可以继续做他的研究，并作为基金经理下交易指令，而里根帮助他做产品销售，客户维护，完成交易执行以及其他所有的琐事。

从1969年成立，到1988年因诉讼而意外停业，索普的基金20年年化收益率19.1%。虽然在投资大师里貌似不算惊人，但如果你查看该基金净值会发现，近20年的跨度下，该基金居然没有一年亏损，共计230个月，只有3个月有回撤，且回撤幅度全部小于1%——这，大概是有史以来“最完美的投资曲线”。

实际上，索普的基金，是美国第一只完全的中性策略基金，仅基于数学计算的概率和市场的定价失误进行投资，即使在1987年的美股暴跌中，索普的基金也基本保持稳定，到年末，甚至还赚了大钱。

随着参与到华尔街的“大赌博”中来，索普见了许多投资界人士，其中有一个，叫巴菲特。那个时候他还不是股神，但两人交流之后惺惺相惜，索普甚至预言，巴菲特会成为美国最富有的人。多年之后的巴菲特，的确实现了索普的预言。

索普认为，巴菲特是真正的投资大师，所以他把自己相当一部分财富，入股了巴菲特的公司，成为巴菲特的早期股东之一，这些股份一直持有到现在。

1994年，索普重新成立了一家对冲基金，这个基金业绩更好，可惜到2002年他也主动解散——外部原因来说，是对冲基金数量激增，交易机会减少，但更重要的原因，是索普对赚钱的兴趣降低了，他觉得和家人在一起，才是更好的时光。

索普对名声也并不在意，后来震动了整个投资界Black-Scholes期权定价模型，其实索普自己早已推导出来，但他的选择是自己默默挣钱。后来，这个公式的两位作者布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes），还特意在论文里感谢索普的贡献。

索普对此很平静：“我从未考虑过我的荣誉，因为我不是从事经济学和金融行业研究的人，这个问题附带的重大意义并不在我的思考范围。”

相比于索普研究的个人化和隐私化，BS期权定价模型让每个投资者都可以预测期权价格，它的提出彻底颠覆了以往的金融运行体系，华尔街的量化投资时代正式到来了。到了后来，麻省理工教授罗伯特-默顿（Robert Merton）采用随机微积分将公式进一步完善，他和斯科尔斯共同获得了1997年的诺贝尔经济学奖。

所以，某种程度上说，索普是当今所有量化投资的鼻祖。

实际上，当前金融市场上叱咤风云的知名对冲基金经理，几乎都在使用凯利公式进行投资，这其中包括比尔-格罗斯（Bill Gross，债券投资之王）、詹姆斯-西蒙斯（James Simons，文艺复兴公司名誉主席、世界级的数学家）和投机之王乔治-索罗斯（George Soros）等人。

特别值得一提的是，索普不再做对冲基金后，偶尔会做一些基金管理咨询的事情，结果他就发现，伯纳德-麦道夫的证券投资公司大有问题，劝朋友把钱撤出来。果不其然，2008年的时候，这一美国历史上最大的“庞氏骗局”被揭露，诈骗金额超过600亿美元。

索普写了一本自传《A Man For All Markets》，这里的All Markets，意思是，他涉及了几乎所有的交易市场，从赌场到华尔街，OTC期权、可转债、股票、期货等……

另外，如今在美国量化对冲基金领域鼎鼎大名的TGS基金，据说就是索普的三个徒弟一起创办的，而TGS中的“T”，就是Thorp的名字。