“朗兰兹纲领”能否实现数学的大统一？这两大“猜想”至关重要

“数论”是极为美妙的，曾被高斯称为“数学中的皇冠”，而那些存在于“数论”中的那些美妙难题，人们则誉之为“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。人们在“数论”的研究过程中，往往意外地发现新的数学成果，比如在“费马猜想”的解决过程，其意外的收获远远大于其本身的价值，被称为“会下金蛋”的鹅。“费马猜想”的解决，给“朗兰兹纲领”实现“数学的大统一”提供了有力的佐证。人们认为另一个同等重要但至令悬而未决的“黎曼猜想”依然得借助“朗兰兹纲领”的理论才能解决。那么反过来，这两大猜想的解决，也将极大地推动“朗兰兹纲领”实现数学大统一的步伐。这到底是怎么回事呢？还得从美妙的“数论”说起。

“数论”是“整数的理论”的简称，听起来虽然高大上，但是它在我们小学一年级时就开始接触了，它就是我们常说的“算术”，其主要研究“整数”的性质，而“整数”的基本元素是“素数”，所以“数论”的本质是对“素数”性质的研究。这是因为，数学的基本构件就是“素数”，就如“生物学”的“基因”，“化学”的“元素”。

早在公元前300年，古希腊数学家欧几里德就证明了有无穷多个“素数”，公元前250年，古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找“素数”的“埃拉托斯特尼筛法”，这个方法看起来很笨拙，但是“埃拉托色尼筛法”被数学家沿用了两千多年。

“素数”虽然是如此的重要，但是由于它远离人们的日常生活，虽然人类对“数论”的研究已有几千年的历史，却似乎并没有发现它有什么用处。尽管数学家们对“数论”研究的热情从来没有中断过，但进展却十分缓慢，从早期到中期跨越了1000—2000年，在长达接近2000年的漫长岁月里，“数论”的研究几乎是一片空白。

直到1637年，当时还是业余数学爱好者的费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

可能连费马本人都没想到，就是这样一句话，再次掀起了人们对“数论”研究的浪潮。人们将费马的这段话称之为“费马猜想”，概括起来就是这样的：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

“费马猜想”吸引了很多人的注意，不仅令当时的一些著名的数学家趋之若鹜，就连很多数学爱好者也都为之着迷。更为有趣的是：一位为情所困的年轻数学爱好者因为被这美妙的“猜想”所吸引，原本打算殉情的他居然放弃了自杀，不但重获新生，而且从此奋发图强，成为了富甲一方的大富豪，这个年轻人就是德国实业家沃尔夫斯凯尔。

原来，早在1847年时，拉梅和柯西先后宣布自己证明了“费马大定理”，但人们很快发现拉梅和柯西的证明都是错的。这个消息刊登在一本数学杂志上，在沃尔夫斯凯尔决意在自杀的那个晚上，沃尔夫斯凯尔不经意间在这本杂志上读到了这个消息。

这则有趣的消息令沃尔夫斯凯尔极为好奇，情不自禁地拿起笔和纸，开始演算起来，不知不觉天已经大亮，设定自杀的时间早就过了，也就打消了自杀的念头，重新振作起来。

1908年，这位富豪去世前设下巨奖，用来奖励能够证明“费马猜想”的人，以谢救命之恩。同年，哥廷根皇家科学协会公布“沃尔夫斯凯尔奖”的获奖规则：凡在2007年9月13日前解决费马大定理者，将获得10万马克奖励。

从此以后，世界上每年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，其中包括一些当时著名的大数学家，但全部都是错的。

1984年，德国数学家弗雷再一次“数论研讨会”上认为，如果“弗雷命题”能够被证明，有助于证明“费马大定理”。

1986年里贝特教授完成了“弗雷命题”的证明，同年，英国数学家怀尔斯在此基础上精心梳理有关领域的基本理论。

1993年6月在剑桥牛顿学院举行的一次学术会议上，人们认为只要将“莫德尔猜想”、“弗雷命题”和“谷山—志村猜想”联合起来就可说明“费马大定理成立”。

1993年6月23日，怀尔斯声称证明了“费马猜想”，这个消息刚从剑桥牛顿学院传出之后，马上被世界媒体铺天盖地般报道了该喜讯。

但是怀尔斯的证明很快被查出了严重的缺陷，再经过8个月的努力，修补了漏洞。1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯费马大定理的完整证明邮件向世界数学界公开发布，至此费马大定理经过三百多年的前赴后继，终于完美得证。有趣的是，那位为情所困的大富豪所设立的“沃尔夫斯凯尔奖”还在有效期内，巨奖终被怀尔斯揽入怀中。

“费马猜想”的问题被解决了，但是“数论”的发展依然充满了挑战，“数论”的研究归根结底就是对“素数”的研究，而寻找“素数”的“通项公式”是人们孜孜以求的目标，数学家们曾为此提出过很多的数学“猜想”，其中最为引人注目的便是“黎曼猜想”。

早在1859年，黎曼向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文，这就是著名的“黎曼猜想”。

“黎曼猜想”研究“素数”的分布，就是发现了质数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的“函数”之中，这个“函数”就是“黎曼ζ函数”，其中一系列“特殊的点”被称为“黎曼ζ函数”的“非平凡零点”。

黎曼在研究“ζ函数”时，发现了“复变函数”的“解析性质”和“素数分布”之间的深刻联系， 由此将“数论”领进了“分析”的领域。

“黎曼猜想”自诞生以来，就像横亘在数学家们面前、至今都无法跨越的山峰。如今已有超过一千条“数学命题”是以“黎曼猜想”的成立为前提的。如果“黎曼猜想”被证明，这些“数学命题”都将荣升为“定理”，“数论”的发展，将迎来生机勃勃的春天。

在今天“黎曼猜想”与“费马大定理”已经成为“广义相对论”和“量子力学”融合的“m理论”的“几何拓扑”载体，如果“黎曼猜想”得证，作为物理学最为前沿的学科“M理论”将得到更为稳健的发展。

“费马猜想”和“黎曼猜想”的问世及其漫长的解决征程，吹响了数学大统一的号角。在此之前，“代数”和“几何”在各自的轨道上互不相干地发展着。然而怀尔斯在解决“费马猜想”的时候，却将“代数”和“几何”结合起来，形成了新的“代数几何”观点。无独有偶，越南数学家吴宝珠也是通过引入“代数几何”的方法，证明了“朗兰兹纲领自守形式”中的“基本引理”，获得了国际数学界大奖——菲尔茨奖，被美国《时代》周刊列为年度十大科学发现之一。

“朗兰兹纲领”是数学中一系列影响深远的构想，该构想认为“数论”、“代数几何”和“群表示论”是密切相关的，因而“朗兰兹纲领”被认为是最有希望实现数学大统一的“构想”。

在今天，“朗兰兹纲领”实现数学大统一的构想还有很长的路要走。然而，再远的征程，都终将逾越！