循环群、二面体群、饰带群、墙纸群：如何用对称性分析装饰图案？

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

任何地方都不需要很高的数学知识，因为大部分的陈述都会有插图而不是证明。

——H.J. Woods(1935)

1 介绍

正如前文所述，一些研究者提出了用产生任何此类图案的四个基本几何运动来描述重复图案。自从这些最初的论文发表以来，潜在的用户对这种方法充满了热情，但由于必要的几何概念不是传统人类学或艺术培训的一部分，所以在进行分析时遇到了困难。

对此，科学家开发了明确的对称性分析程序。我们相信这些流程图将加速对称性分析方法的采用。流程图通过一系列的问题引导用户对图案进行完整的描述，每个问题只要对几何学的几个原理有基本的了解就可以轻松回答。本章的目的是对这些几何原理做一些解释。

我们首先将简要地描述我们所关注的各种图形：平面上的图形。这些是表面上的图形，至少在概念上可以被压扁成一个平面。许多装饰物，如纺织品、瓷砖、装饰墙和容器的平面，本身就是平面的；它们的装饰物已经是平面上的图形。

我们将简要地讨论一些被装饰物体几乎是圆柱形或球形的情况。圆柱体是最简单的情况（除了平面本身），因为它的装饰可以在不变形的情况下展开到一个平面上。 事实上，对于一些物体，如用于制作花纹酥饼的雕花擀面杖，或圆柱形印章，这就是它们的实际用途。图2.1显示了通过展开一个来自墨西哥的圆柱形邮票而得到的带状图案。 图5.106、5.109、5.123、5.127、5.129、5.157、5.184、5.186和5.197显示了许多其他圆柱形图案的例子，通过这种展开过程，它们很容易转化为平面上的实际图案。

图2.1

一个几乎是圆柱形的圆锥体也可以用同样的方法处理。(在球体的情况下，图案单位相对于球体的大小可能足够小，以至于它可以被认为是一个平面图案（就像城市地图画在一张平面纸上一样，尽管这个城市实际上位于球形的地球上）。

圆锥体和球体上的图案很多时候是围绕物体的带子。这些带子也可以被展开到平面上，只有适度的失真。图4.32、4.35、4.45、4.61、4.76和4.122中可以看到这种条带的例子。

最后，在球形的碗上，经常有圆形的设计，在碗的顶部、前面或底部的中心。图2.2中的Baluba小碗上就有这种一般类型的例子，但却是方形的，而不是圆形的。 这些通常被视为 "有限设计"，尽管经过一些变形，有些可以展开成为带状设计。

图2.2

我们将假设要研究的图形实际上位于一个平面内。(事实上，本书或任何其他书籍中的所有插图都必须是最初可能出现在更复杂表面上的图形的平面表示）。然后我们将通过平面几何的简单工具，即刚性运动来分析这些平面图形。我们所说的刚体运动是指平面对自身的距离保全变换。从原理上讲，这意味着平面上的点P, Q, ... - ...被分配到新的位置P', Q'...这样，任何两点P和Q之间的距离PQ总是与变换后的点之间的距离P'Q'相同。 刚性运动通常也被称为运动、对称、等值或保距变换。下一节将专门描述平面的刚性运动・・・。

2 平面的对称：四种基本刚性运动

我们将把以下事实作为我们的出发点（在附录1中证明）：平面的每一个刚性运动，无论多么复杂，都是四个基本刚性运动中的一个。

1.反射（在平面内的一条线上）。

2.平移

3.旋转（围绕平面内的一个点）。

4.滑移反射

本书所述的图案分析所需的唯一工具是识别这四种运动中的每一种，并注意其在特定图案中的出现（或不出现）。下文第2.2.1节对这些运动进行了简要描述。

作为对这四种基本刚性运动进行更正式讨论的第一步，想象一个平面图形F，例如图2.3a的三角形，画在一张纸上。然后在该三角形上铺上一张透明的纸，并画出它的精确拷贝，即F*。现在，对于图中所示的特定三角形，没有办法移动透明纸，然后替换它，使F和F*完全吻合，除非把它放回原处。这是另一种说法，这个三角形没有对称性，或者说是不对称的。

图2.3a 不对称的三角形

然而，如果三角形是一个等边三角形ABC，如图2.3b所示，那么当我们描绘副本A*B*C*时，有几种方法可以替换它，使它与ABC重合，例如，我们可以将透明板旋转120 °(三分之一整圈),使A*位于B上，B*位于C上，C*位于A上，这表明等边三角形具有旋转对称性，或允许旋转120°。一个同义的表达是三角形在旋转120°下是不变的。

图2.3b

在等边三角形的情况下，三角形也可以自身翻转，这样A*仍然位于A上，但B*位于C上，C*位于B上。这表明三角形也承认直线L上的反射，直线L是边BC的垂直平分线(图2.3c)。在等边三角形的情况下，还有两条这样的反射对称线，即AB边和AC边的垂直平分线。这里我们再说一遍，三角形在这三条垂直平分线中的任何一条上的反射下都是不变的。

图2.3c 等边三角形的对称轴L

在某些无限图形中，例如图2.3d中由无限行等距三角形组成的图形，当描摹的副本由整个无限图形组成时，通过将T*移动到Tb，T *移动到T2等，将有可能使副本与原件相匹配(无需切纸)。这表明原来的一排三角形具有平移对称性，因为将整个图形向左移动一个三角形的运动称为平移。当然，我们也可以将每个三角形向左移动两个或更多个三角形。我们再说一遍，三角形的无限行在任何这样的平移下都是不变的。

图2.3d 平移对称的图案

请注意，透明纸实验表明，没有一个有限的图形允许平移，因为没有平移可以移动一个有限的图形，使其与自身重合。在本书中，单词pattern将仅用于指代(潜在的)无限数字。

如果一个平面图形包含四个平面等距中的一个或多个，则称它对称。例如，在这个一般意义上，图2.3d中的三角形的无限带是对称的，因为有一个平移，将每个三角形移动到下一个三角形上。这是一个更一般的概念，而不是普遍理解的仅指两侧对称(参见Brainerd 1942)。也就是说，在流行的用法中，一个平面图形只有当它允许反射时才被认为是对称的。我们将在下一节中对此进行更多的讨论。首先，我们转向对平面的四种刚性运动中每一种的更详细的描述。

2.1反射

线L上或穿过线L的反射(为了强调，也称为线反射或镜面反射)将每个点P移动到点P '上，该点P '是通过画一条垂直于L的线并在L的另一侧将其延伸相同的距离而获得的。(如果P在镜像线上，则P' = P，即z P是一个固定点。)形象化的一个好方法是画点P，Q，.。。在一张纸上画出L线(飞机)。然后沿着L折叠这张纸，在P，Q，.。。位于l的另一边。这些新的点，P '，Q '，。。是P，Q，在L中的镜像，..如图2.4所示。因此，任何可以“对折”使得一半与另一半完全重合的图形都有一个反射，而折叠线就是该反射的镜像线。

图2.4 镜像对称

将平面上的每一点取为直线L上的镜像的等距线称为直线L上的反射线。直线L称为反射镜或反射轴。记住镜像线上的点根本不移动:它们是这种等距的固定点。图2.5a中的三角形通过线l中的反射相关联。图2.5b中的San Ildefonso Pueblo图案的上半部分和下半部分通过穿过条带中间的水平线中的反射以相同的方式相关联。在我们的插图中，我们用实线表示镜面反射轴。(虚线是滑移反射轴，将在下面的2.4节中讨论。)

图2.5a 中央水平线是对称轴

图2.5b

在带状(或条状)图案中，任何反射轴都必须沿着带的轴，如图2.5a和2.5b所示，或者垂直于该轴，如图2.5c和2.5d所示。注意，对于带，最多只能有一条“水平”反射线，但可能有许多“垂直”反射线。事实上，在一个允许平移的无限带中，正如在图2.5的所有那些图中一样，必然会有无限多条垂直反射线(如果有的话)。在图2.5c和2.5d中只标出了两条反射线；平移将每条垂直反射线移动到另一条反射线。

图2.5c 垂直线是对称轴

图2.5d

在二维图案中，两条相交镜像线的存在意味着围绕它们的交点存在旋转(旋转角度是两条线相交角度的两倍)(这在附录1中有更详细的讨论)。)比如图2.6a，一个中国的窗棂，有直角(90°)的镜像线；因此，围绕它们的交点有一个半圈(180°)。在图2.6b的日本图样中，镜像线以60°角相交；因此，围绕它们的交点旋转了120°

图2.6a，一个中国的窗棂，有直角(90°)的镜像线

图2.6b日本图样

在附录1中表明，反射是构成所有刚体运动的基础，也就是说，每一个刚体运动(平面的)都是应用一个、两个或三个反射的结果。两次反射的产物是平移和旋转，将在下面的2.2和2.3节中讨论。

一个允许有反射平面图形通常被认为是左右对称的。事实上，在许多论述中(如本书1.4.2节所讨论的),这是唯一一种被认可的对称。然而，我们将对称一词用于其更一般的意义上如果一个平面图形允许四种刚性运动中的任何一种(或多种)运动，就说它是对称的例如，一个希腊十字架是对称的，因为它允许反射。但是纳粹党所用的十字记号也是对称的，因为它允许绕其中心旋转90度(或180度或270度)。纳粹党所用的十字记号没有(镜像)对称性，因此对称性较低(即z允许较少的刚性运动),但仍保持与希腊十字相同的旋转对称性。

2.2平移

平面的平移只是沿着某一条线L(或任何与之平行的线)位移或移动某一距离d。因此，向量v(长度为d，方向平行于L)完全定义了平移。更具体地，如果向量的尾部位于点P、Q、的每一个处，并且每个向量的头部被标记为P′、Q′、P，Q′到P′、Q′的平面的刚性运动是向量v的平移(或者等效地，L方向上的距离d)。图2.7a示出了一种三角形图案，它(当解释为无限带时)允许平移，但不允许其他等距变换最小平移，即从三角形A到三角形B，从三角形B到三角形C，等等。在图2.7a中显示为矢量v。在图2.7b中，最小平移向量是w。

图2.7a 按照向量v平移

图2.7b 陶瓷设计

当然，允许某个向量v平移的图案也允许2v、3v等平移，以及相反方向的平移，即-v、-2v、-3v等平移。再次参考图2.7a，这意味着如果某个平移(v)将每个三角形向右移动一步，那么当这个平移应用两次时，产生2v的新平移，每个三角形向右移动两步。同样，平移-3v，将每个三角形向左移动三步。

注意，在平移下没有固定的点，每个点移动完全相同的距离d。

2.3旋转

旋转只有一个固定点，旋转的中心当我们知道它的中心，旋转的角度和它的方向，顺时针或逆时针，旋转就完全确定了。逆时针方向通常被认为是正方向很明显，旋转是有限(即有界)图形允许的唯一对称(除了反射)。图2.8a显示了一个简单的有限设计(两个钩子，A和B ),其唯一的对称是双重(即 180 °)旋转。图2.8b显示了科契蒂普韦布洛的双重有限陶瓷设计。图2.8c不具有旋转对称性；它没有旋转中心点。

图2.8a 二重旋转（18°旋转），有限设计

图2.8b 陶瓷设计

图2.8c 叶状元素

同样明显的是，一个带图案可以接受的唯一旋转是半圈(180度旋转)。与垂直反射的情况一样，如果一个带图案(允许平移)允许一个这样的旋转，它就允许无限多个这样的旋转，因为每个平移将任何旋转中心移动到一个新的旋转中心。图2.9a示出了通过平移重复图2.8a的钩子以形成带状图案。在图2.9b中使用三角形显示了完全相同的对称性。该图案允许围绕P和Q等点进行两次旋转。注意，围绕P或Q旋转180°以外的任何角度(或180°的倍数)都会使条带偏离其原始位置一个角度；因此，带钩或三角形不可能匹配其原始位置。这就是为什么能带图案只允许双重旋转，而不允许其他旋转图2.9c显示了一个San Ildefonso Pueblo图案，其对称性与前面两个例子完全相同。

图2.9a 二重旋转，一维设计

图2.9b 绕点P和Q的二重旋转

图2.9c 陶瓷设计

一个值得注意的事实(“晶体学限制*”)是平面中二维重复图案所允许的唯一可能的旋转是半圈、三圈、四圈和六圈(分别为180、120、90和60度)。史蒂文斯给出了一个简单的证明(1980:380-81)。图2.10a说明了“钩子”的排列，使得整个(无限)图形可以旋转180度(“两倍”)。这种钩子可以以不同的二维重复图案排列，以允许120 °(三倍)旋转、90 °(四倍)旋转和60 °(六倍)旋转，但是不允许例如无限重复图案的五倍或八倍旋转。图2.10b显示了在密西西比传统分支上雕刻的二维双重旋转图案我们在图2.10a和2.10b上绘制了平移向量，以显示它们如何通过平移移动。

图2.10a 二重旋转，二维图案

图2.10b 陶瓷设计

2.4滑移反射

滑移反射可以简单地描述为平移(“滑移”)，然后在平行于平移方向的直线上进行反射。可以先进行反射，然后进行滑移，得到相同的结果。在实践中，这些是最难识别和确定的动作。

一个典型的例子是行走时两只脚交替左右左右运动所产生的典型的人类步道，如图2.11a所示。在图2.11b、2.11c和2.11d中，这被分解为滑移和反射。原始位置如图2.11b所示。在向量v滑移后，中间位置由图2.11c中的虚线三角形表示。(请注意，每个实心三角形A、B、C等都右移了v，变成了虚线三角形A‘、B’、C等。)。最后，滑移反射由虚线L上的反射完成。整个滑移反射的结果如图2.11d所示，其中A已移动到A“(=B)，B移到B”(=Q，依此类推，从而使原始图案与其自身重合。图2.1 1e展示了一个圣伊尔德丰索普韦布洛陶瓷设计，其唯一的对称性(除了平移)是滑移反射。我们使用虚线，如图2.11所示，用于滑移反射的轴(即反射线)。

图2.11a 人类的足迹就是滑移反射的例子

图2.11b 滑移反射的原始位置

图2.11c 滑移反射的中间位置

图2.11d 完整的滑移反射

图2.11e 陶瓷设计

一个图形所承认的任何刚体运动都是该图形的对称。本书中的图案分类是根据图形所承认的对称性进行的分类，分类的过程称为对称性分析。

3 设计，重复图案，维度

我们现在能够更准确地定义设计、图案和维度的含义。我们已经使用并将继续使用“图形”这个术语来描述任何图画、绘画、点集等。也就是说，在平面中,“图形”一词并不具有任何特定的含义。然而，这本书关注的是具有某种对称性的图形。我们将术语设计应用于这些特殊的图形，因此设计是一种特殊的图形，它允许至少一个(非平凡的)等距图圆是设计的一个例子，因为它具有旋转和反射对称性。

我们为那些具有平移对称性的设计保留术语图案(或重复图案),没有一个有界的图形，如圆形或玫瑰形，是图案，即使它可能具有反射或旋转对称性。一个图案必须在概念上延伸到无穷远；否则它不可能具有平移对称性。图案可能根本没有其他对称性，如图2.3d所示，但由于其平移对称性，它必然会无限延伸，如带状图案或壁纸图案因此，在这种层次结构中，图案是一种特殊的设计，而设计是一种特殊的图形。

我们可以用本章前面的插图来阐明这个层次:图2.8c是一个“图形”，但不是一个设计或图案，因为它根本没有对称性。图2.8b显示了一个“设计”(当然也是一个图形)，它不是一个图案，因为它没有平移对称性。图2.9c是一个“图案”(也是一个图形和一个设计)，因为它具有向左和向右的平移对称性，想象为在两个方向上无限延伸。被认为向各个方向无限延伸的二维图形，如图2.6所示，也是“图形”

本章中的许多例子说明了颜色和复杂的运动类别，这些将在第3、4和5章中详细讨论。读者在阅读完这些章节后，可能希望参考这些细节和例外情况。

如果一个设计不允许任何平移，那么它被称为有限设计(例如，见图2.8b)。请注意，一些“有限”设计，如光线向四面八方无限延伸的太阳，可能是无限的如果它们没有任何平移对称性，我们仍然称它们为有限设计.

如果一个设计只允许一个方向的平移(和它的“相反方向*”)，这个设计被称为手形、条形、中楣形或一维图案(例如，见图2.9)。

如果一个平面图形允许在两个或两个以上的方向上平移，它就是一个空间图形(例如，见图2.10)。(在Crunbaum和Shephard 1987以及一些技术数学文献中，这些也称为周期图案。)

我们在这里强调，给定四个运动，对于一维条带，只有七个单色类是可能的，对于二维图案，只有十七个单色类是可能的。仅七类能带图案存在的证明见附录2仅十七类二维图案存在的证明见Martin 1982(第11章)和Schwarzenberger 1980(第1章)。

请注意，一维和二维图案必然是无限的，因为它们允许距离d的平移意味着它们允许距离2d、3d等的平移。也就是说，他们承认无限数量的平移，因此在程度上不可能是有限的。

当然，我们称之为纺织品或罐子上的一维或二维设计。实际上并不是无限的。这种图案终止于布的边缘或完全环绕容器在大多数情况下，从某种意义上来说这种图案是无限的是非常昂贵的:一些基本图形的重复足以使图案如何扩展以填充整个无限带或整个平面变得显而易见建筑物墙上的普通砌砖是我们都同意的“无限、二维”图案的一个很好的例子。

然而，也有不那么昂贵的情况，我们需要建立一些通用的“最小重复”规则来决定一个图形是否真的是重复图案。我们首先注意到，在每一个重复的图案中，都有一些基本单位(“基本区域”或“基序”)，它们的重复，通过一定的等距，产生了整个图案。我们一般的规则是，一个一维图案至少要有原始的基本单元和一个通过平移得到的副本。旋转或反射是不够的(“平移”实际上是旋转的环形带是有限的还是一维的，这个问题在第6章讨论。)一个二维图案至少要有原来的基本单元，一个通过平移得到的副本，以及这两个通过第二个方向平移得到的副本。也就是说，必须至少有两行，每行至少两个单位长这些规则对于碎片材料的分类特别有用，例如考古学家发现的人工制品上的设计。

例如，如果调查者知道特定时期的装饰材料是带状的，那么他可以合理地假设这个设计系统中有两个平移单元的碎片是更长的一维条带的一部分。

图2.12显示了来自美国西南部的四个陶瓷碎片，选择它们来说明这一规则的各个方面。碎片a和b都只有一个单位或一组单位，通过两次(180°)旋转联系在一起，因此被归类为有限设计，即使它们似乎位于条带设计领域。如果在每种情况下，第二个三角形都是通过平移(而不是旋转)从第一个三角形获得的，我们将称其为一维·。

图2.12a 陶瓷碎片上的有限图案

图2.12b 陶瓷碎片上的有限图案

相反，碎片c通过平移包含三角形的重复，因此符合一维图案。碎片d显示了二维棋盘图案的片段。在这种情况下，即使调查者不知道包含棋盘的较大图形的形状，但其中的该图案可以被分类为二维图案，因为通过平移，在两个方向的每个方向上都有两个以上的基本单位(一起是黑白正方形)的副本。下面是更多的例子。

图2.12c 陶瓷碎片上的一维设计

图2.12d 陶瓷碎片上的二维设计

在一维图案中，单元沿一条轴线向两个方向无限延伸图2.13中的San Ildefonso Pueblo陶瓷设计是一维图案的一个明显例子

图2.13 陶瓷上的一维设计

在二维图案中，单元向许多方向无限延伸。图2.14a和2.14b是两个这样的二维布局的示意图。注意，如图2.14b(和图5.67、5.68、5.123)所示，平移方向(其中一些用箭头表示)不必彼此成直角。二维图案通常出现在墙纸、瓷砖、纺织品和其他介质上，其中大部分区域被图案重复覆盖图2.15显示了一个实际的San Ildefonso陶瓷设计，它是一个二维图案。注意，它与图2.13中的例子非常相似，只是在几个方向上的平移不同。

图2.14a 二维设计

图2.14b 二维设计

图2.15 二维设计

我们已经规定，二维图案在两个方向上必须至少有两行，这一规则的一个几乎最小的例子是在纳瓦霍酋长毯子上看到的(图2.16 ),其中只有一个重复的单元是可见的完整单元，然而，沿着边缘的图案单元的截断强烈暗示着水平方向有三行，垂直方向有三行。在新几内亚东北部马当地区的石灰容器上很容易满足最小两行规则，如图2.17所示。基本单元有三个水平行和四个垂直行。最后，我们展示了一个在Cashinuahua吊床上截断的二维图案(图2.18)。仅存在这种图案的两个水平行。

图2.16 篮子上的二维图案

图2.17 容器上的二维图案

图2.18 被子的二维图案

4 简要回顾

从上面的讨论可以清楚地看出，对称分类与单元的形状无关，而是与沿着轴或围绕一点移动图案的运动有关。这些运动可以被认为是设计的产生。对称运动描述了每个设计的零件的具体配置对称并不描述零件，而是描述它们如何组合和排列以形成图案。它只涉及设计的一个方面——结构。从这些方面来看，对称性分类在程序上与类型学或其他分类方法有着根本的不同。

此外，因为相同的单元可能通过不同的运动产生不同的图案，所以对称分类的结果明显不同于将设计元素或类型的出现情况制成表格的研究结果。例如，为了说明的目的，我们修改了San II-defonso陶瓷设计(图2.19a ),以显示我们将了解到的在带状线中心的连续弧形单元的pma2结构。该弧形线具有垂直反射和双重旋转对称。然而，如果弧形挤压上能带线，如图2.19b所示，则对称性变为pm11，只有垂直反射。最近的研究表明，这些结构差异可能具有深远的文化影响(参见Washburn 1983， Van Estcrik 1981，Ascher和Ascher 1981)。

图2.19a pma2设计

图2.19b pm11陶瓷设计

我们强调，为了获得最大的信息量，图案应该以两种方式分类:第一，描述基本底层结构的对称性；第二，用所有添加的修饰来描述完整设计的对称性一些图案将具有与最终设计相同的结构对称性；其他的将有不同的结构和最终设计的对称性当这些不同时，精心制作或者保持或者减少对称性。为了阐明这一点，我们在这里考察一些情况。

例如，San Ildefonso Pueblo陶瓷图案(图2.20)显示了p112图案，该图案从结构到完全精细的设计都没有改变对称性。直角三角形两边的平行线不会改变p112对称性。类似地，在图2.21中的San Ildefonso设计中，条带被细分为平行四边形，并添加了带花的三角形。一条平行四边形的对称性是p112，三角形和花朵排列的对称性仍然是p112，所以从设计领域到完整的设计都没有对称性降低。

图2.20 p112陶瓷设计

图2.21 p112陶瓷设计

然而，有些图案的设计场与完整设计的设计场具有不同的对称性。例如，在图2.22中的San Ildefonso设计中，中间的锯齿形图案将两条带状线之间的空间构造成pma2对称。如果所有的条纹都是黑色的，在条纹线上添加吊坠也不会改变对称性。然而，由于白色小椭圆仅插入上排，整个设计的对称性降低到pm11。

图2.22 pm11陶瓷设计

同样，在图2.23中的San Ildefonso图案中，我们看到了一个首先由具有pmm2对称性的矩形面板设计域划界的图案。随后，通过在每组图案中添加仅具有旋转对称性的图案，消除了镜像对称性，从而形成了p112图案。

图2.23 p112陶瓷设计

5单色设计和图案的符号

在这一节中，我们讨论有限设计的符号；对于七个单色的一维图案；对于17个单色的二维图案。(这些图案的相应双色版本的符号将在第3.4节中讨论。)

5.1有限设计的符号表示法

我们记得有限设计是那些不允许平移(因此也不允许滑移反射)的设计。因此，有限设计只能具有反射和/或旋转对称性。列奥纳多·达·芬奇已经知道了这种设计(参见。第1.2节)归入两个无限类Cn和Dn，其中n是某个整数。

cn型设计(c代表“循环”)是具有n重旋转对称，但没有镜像对称的设计。图2.24显示了一些例子。请注意，c1是一个完全没有对称性的有限图形的名称——既没有反射也没有旋转。

dn型设计(d代表“二面体”)具有反射对称性和n重旋转对称性。图2.25显示了一些例子。请注意，d1是设计的名称，具有双边对称性，但没有其他对称性。更一般地，dn正好有n条不同的镜面反射线。

5.2单色一维图案的符号

对于七个一维单色图案，我们使用普遍接受的四符号表示法，形式为pxyz。每个符号都以p开头。第二个、第三个和第四个符号分别描述垂直反射、水平反射或滑移反射以及半圆反射，如下所示:

如果有垂直反射x是m(对于“镜子”)；否则x为1

如果有水平反射，y是m；如果有滑移反射但没有水平反射，y就是a；否则y为1

如果有半转，z为2；否则z为1

还有一种缩写的双符号符号，有时用于七种一维图案。这种缩写是通过删除第一个和第四个符号并用x代替a从四符号符号符号获得的(有一个例外:符号p112变成了12)。

或者，我们可以将双符号符号描述如下:

如果有垂直反射，第一个符号是m；否则为1。

如果有水平反射，第二个符号是m；否则，如果有滑移反射(但没有水平反射),则为g；如果有半转反射(但没有反射或滑移反射),则为2；否则为1

这种双符号记数法是由塞内查尔(1975)提出的。第3.4.2节描述了Coxeter对双色条纹图案的扩展

图2.26显示了七个单色饰带及其名称，包括完整版和缩略版。

图2.26 7种单色一维图案

5.3单色二维图案的符号

对于17个单色二维图形，我们的符号是X射线晶体学国际表格第1卷(Henry和Lonsdale 1952)中采用的缩写形式。因此，在我们解释符号之前，先简短讨论符号所基于的图案的某些特殊特征。使用我们的流程图识别图案时不需要这种解释，但在此包括这种解释是为了对符号的来源有所了解。我们的讨论紧紧跟随Schatt Schneider 1978，更多细节可参考该书只对识别图案的实际问题感兴趣的读者可以跳过本节的其余部分。第4.1节给出了使用流程图识别17种单色二维图案的完整描述。

与每个二维图案相关联的是一个点阵，该点阵的点是通过取图案的任意一点以及通过应用图案的平移从该点可获得的所有点而获得的。一个平行四边形，其顶点是格点，但在其内部或其边上不包含其他格点，它具有这样的性质:图案的平移完全覆盖了该平行四边形的非重叠(除了边上)副本的平面。这种平行四边形有时被称为图案的基本单元，但决不总是，图案以简单的方式建立在这种基本单元上，在这种情况下，基本单元很容易被看到。然而，通常情况下，原始细胞不容易被看到，因此在本书中，我们将图案本身的分析建立在图案的运动上，而不是原始细胞上。

为了便于记记，通常为每个图案选择一个特定的基本单元它在它的顶点有最高阶的旋转，它的左侧被称为x轴有五种类型的基本单元，它们的名字来源于相应的格子:平行四边形、矩形、菱形、正方形、六边形(六边形格子中的单元是由两个等边三角形组成的菱形)图2.27显示了五个格子，每个格子都有其通常选择的基本单元。

图2.27 二维图案的五种原始晶格

完整的结晶学符号由四个符号组成，这四个符号标识了传统选择的晶胞、最高旋转顺序和两个方向的对称轴。在两种情况下，晶格是菱形的，如图2.27中虚线所示，选择一个中心单元，其大小是原始单元的两倍。因此，对于这两种情况，符号的第一个符号是c，而不是p。

完整的国际四符号符号如下所示:

1.字母p或c表示原始的或居中的单元

2.整数n表示旋转的最高阶。

3 第三个符号表示垂直于x轴的对称轴:m(镜面)表示反射轴，g表示滑移反射而不是反射，1表示不对称

4.第四个符号表示与x轴成角度a的对称轴，其中如果n(第二个符号)是1或2，则a = 180 °,如果n = 4，则a = 45 °,如果n = 3或6，则a = 60 °。此时符号m、g和1如(3)中那样解释。第三个或第四个位置没有符号意味着图案不允许反射或滑移反射。

我们通常使用国际公认的这种四符号符号的缩写形式。表2.1列出了这两种形式。

表2.1 单色二维图案的表示法

图2.28显示了17种单色尺寸图案的示例。

图2.28 17种单色二维图案

青山不改，绿水长流，在下告退。

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