2011年高考数学真题，解析几何题，高三学生说是送分题

大家好！本文和大家分享一道2011年高考数学真题。这道题是2011年高考全国1卷理科数学的第20题，虽然这是一道解析几何题，但是本题的难度并不大，很多高三学生看过题目后都说是送分题。接下来我们一起来看一下这道学生眼中的送分题。

先看第一小问：求轨迹方程。

求轨迹方程常用的方法有三种：直接法、定义法、代入法。

直接法：是指直接根据题干中的条件得到关于x、y的关系式，从而得到点的轨迹方程。

定义法：是指通过题干中的描述，判断出点的轨迹的曲线类型，然后再根据具体的曲线类型求解。

代入法：又叫相关点法，也就是找到所求点与已知点之间的关系，然后用所求点的坐标表示出已知点的坐标，再代入已知点所在曲线的方程中，化简后即可得到所求点的轨迹方程。

回到题目。显然，本题可以用直接法求曲线C的方程。

设M(x,y)，由于向量MB平行于向量OA，且点B在直线y=-3上，所以点B的坐标为(x,-3)。从而可以求出向量MA、向量MB、向量AB和向量BA的坐标。

接下来，根据向量数量积的计算，可以得到-x^2+2+2y=-6-2y，化简后得到y=x^2/4-2。

上面的解题过程是直接将题干中的数量积进行计算，当然我们也可以先处理再计算。

先将题干中向量数量积关系式中等号右边的移到左边，然后根据向量的运算法则，可以得到(MA+MB)·AB=0(用黑体表示向量)，再代入坐标，即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0，所以-x^2+8+4y=0，整理得y=x^2/4-2。

再看第二小问：求最值。

要求点O到直线l的距离的最小值，那么首先要求出直线l的方程。由于直线l是曲线C过点P的切线，所以可以想到利用导数的几何意义来求切线方程，即曲线C在点P处的切线斜率就是对应的导数值。

设点P的坐标为(a,b)。因为y=x^2/4-2，所以y'=x/2，那么直线l的斜率就是：k=a/2，由点斜式方程就可以表示出直线l的方程为：y-b=a(x-a)/2，整理得：ax-2y+2b-a^2=0。

由点到直线的距离公式可以求出点O到直线l的距离为：d=|2b-a^2|/√(a^2+4)。由点P在曲线C上，可得b=a^2/4-2，代入d中，整理得到d=[√(a^2+4)+4/√(a^2+4)]/2，然后由基本不等式可得：d≥2。根据基本不等式取等的条件可知，当a=0时，d=2。

这道题的难度确实不算大，对于成绩较好的同学来说得满分也不是难事。你觉得呢？