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1985年高考数学附加题,求切线截距的最小值,高三学生直言真简单

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在经历了1984年让不少考生崩溃的“地狱”般难度的高考数学考试后,1985年高考数学试卷的难度有了明显的降低,算是恢复到了正常的难度水平。那么本文就和大家分享一下这道1985年高考理工农医类数学试卷的附加题。

当年这套试卷共有八道大题,满分120分。其中,第一大题为选择题,包括5道小题,每小题3分;第二大题同样包括5道小题,直接写出答案即可,相当于填空题,每小题4分;第三到八题为解答题,分值为12到15分不等。本文和大家分享的这道附加题为第九大题,分值为10分,但是此题的分数不计入总分,而现在不少高三学生看过题目后直言真简单。那么,接下来一起来看一下这道附加题。

题目如上图。

分析:要在曲线上求一点使得过该点的切线在y轴上的截距最小,那么可以设出该点的坐标,进而表示出过该点的切线方程。但是切线方程怎么表示呢?这时就需要用到导数的几何意义了。

导数的几何意义:曲线上某一点的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

所以,通过求导就可以得到过该点切线的斜率,而知道直线的斜率和一点,就可以用点斜式表示出直线的方程,从而表示出切线的截距,再进一步求出截距的最小值。

解答:设P(x0,y0),则有0≤x0≤2。接下来对曲线求导,得到y'=3x^2-12x+11,从而得到过点P的切线的斜率为k=3(x0)^2-12x0+11,则切线的方程为:y-y0=k(x-x0)。整理后得到:

y=[3(x0)^2-12x0+11]x-2(x0)^3+6(x0)^2-6。

到了这一步,我们就表示出了过点P的切线方程,从而可以得到切线在y轴上的截距为:t=-2(x0)^3+6(x0)^2-6。所以,接下来只需要求出t在x0∈[0,2]上的最小值即可。

t是一个三次函数,所以可以采用求导的方法求解最值。先对t进行求导并变形,得到t'=-6x0(x0-2)。很明显,当0<x0<2时,t'>0,也就是说t在这个区间上是单调递增函数,那么当x0=0时,t取得最小值,代入后可以算出最小值就等于-6。

从现在高中数学的学习情况来看,这道题确实不难,就是考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的最值等知识,而且考查的难度也远低于如今的高考。当然,本题还有一个需要注意的点就是不要将截距和距离混为一谈。截距不是距离,距离都是正数,而截距可正可负,比如曲线在y轴上的截距,指的是曲线与y轴交点的纵坐标。

这道题就和大家分享到这里,你觉得这道题简单吗?

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