空间向量及其运算，三个维度提纲挈领，让你明晓空间向量的核心

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序 言

空间向量，一直想写的一个主题，截止平面向量的撰写已经过去了2周了，就知识的能量的流淌催生这空间向量的诞生，此刻恰逢祖国73华诞，在这里，大黄祝愿我们伟大祖国繁荣昌盛，人民安居乐业，共享太平盛世！祝愿我们的学员学业有成，愿数学在你的手里如同泥丸一般，绽放出盛世华章！

回到我们的主题——空间向量；今天我们从三个维度来走起，提纲挈领，让你明晓空间向量的核心：

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知识梳理

空间向量本章涉及内容如下：

第一、空间向量及其基本运算

空间向量定义：

在空间，具有大小和方向的量叫做向量。方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或相等的向量。

向量的线性运算

空间向量数集和空间向量的加法减法类同于平面向量的法则：

三角形法则、平行四边形法则

空间向量的数量积

空间向量运算律

是不是似曾相识？

第二、空间向量坐标运算

空间两点间的距离公式：

这些依然如同平面向量的知识体系。

第三、空间向量基本定理

首先我们回顾一下平面向量基本定理：

共线向量定义：

表示空间向量的有向线段所在直线互相重合，则这些向量叫做共线向量或者平行向量。

若a∥b（b≠0）则存在入，属于实数，使得a=入b

平面向量共面基本定理

空间向量基本定理：

当P,A,B,C四点共面时，x+y+z=1；

以上就是空间向量基本知识梳理，请各位同学在头脑中积极建构。

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学法指导

前面我们就空间向量从基本概念到各项内容的梳理，大家发现和平面向量极为雷同，那么学法上我们该注意什么呢？

第一、公式的理解

1）空间向量的加减法法则是平面向量的加减法法则的推广；

2）空间向量平行的定义、共线向量定理等是平面向量知识的推广；

3）空间两点间距离公式是向量模长公式的推广；

4）空间向量基本定理和平面向量基本定理相比较，只是多了一维；再进行分解时，需要进行三个方向的分解；

第二、向量坐标运算

涉及线性运算—模长公式—夹角公式—平行垂直条件

第三、数量积公式的应用

在空间中，数量积公式主要应用于探求点的坐标、位置，证明线线垂直、线面垂直、求异面直线夹角等。

如下是相关证明依据：

通过以上，大家可以看到，我们证明线面问题的时候，必然会涉及到平面的法向量问题，我们在看几个例子，通过这些原理来透彻理解空间向量在立体几何里面的应用：

一、求线面角问题：

线面角定义：线和它在面中的射影所成的角，

示例如下：

二、求点到面的距离问题：

四、求异面直线所成角问题

五、用法向量求二面角大小问题

示例如下：

以上是空间向量数量积公式在立体几何中的应用，请大家多多品味个中意味所在，特别是个中原理。

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总结升华

针对空间向量，我们在学习的过程中，经常会遇到如下问题：

一、范围问题

空间角转化成向量夹角求解时，要注意角的范围的变化；

下表是平面内以及空间中角的范围取值，请大家切记：

二、利用向量的坐标运算证明线线平行时需要关注：

1）需要证明两个向量共线；

2）证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上；

三、建立恰当的空间直角坐标系是关键

四、求空间向量问题两种常见方法

1）向量法

选择恰当的向量作为基底，用基向量表示相关向量之后进行向量运算，再以图形为指导对有关向量进行分解

2）坐标法

建立空间直角坐标系，利用坐标运算来解决。空间向量的坐标、空间点的坐标是向量运算的基础所在

五、平面向量的多边形法则在空间中依然成立

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后 记

各位同学，写到这里，基本上空间向量我们告一段落，通过以上3个维度的剖析，希望对大家本章节的学习有所启迪。文字有点官方，但是逻辑清晰，实为大家的学习提供导引。

最后，也希望以此文献给我们伟大祖国，愿祖国永远繁荣昌盛，同学们在强大祖国的庇护之下茁壮成长，实现自己的理想，报效我们的祖国！

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