牛顿是如何发现二项级数的？

　　重新思考问题和寻找规律，指引牛顿找到了曲线和无穷和之间的联系。

　　撰文 | Steven Strogarz

　　编译 | 冶无情

　　审核 | 暮大河

　　Isaac Newton（艾萨克·牛顿）并不以慷慨大方著称，并且他对对手的蔑视也堪称传奇。但他在一封给他的竞争对手Gottfried Leibniz（戈特弗里德莱布尼茨）的信中—现在被称为后书信（Epistola Posterior），牛顿表现出怀旧和近乎友好的态度。在信中，他讲述了他学生时代的一个故事，当时他刚刚开始学习数学。他讲述了他是如何通过猜测和检查的过程，将曲线下的面积与无限和等同起来的重大发现。他在信中的推理非常迷人且易于理解，它让我想起了小孩子喜欢玩的看数字猜规律游戏。

　　这一切都始于年轻的牛顿阅读John Wallis（约翰·沃利斯）的《无限算术》（Arithmetica Infinitorum），这是一部17世纪数学的开创性著作。沃利斯使用了一种新颖的归纳方法来确定π的值，而牛顿想设计类似的方法。他从寻找可调宽度x的“圆形段”面积问题开始。曲线定义为:

　　即单位圆在水平轴从0到x之上的区域。这里x可以是从0到1的任意数字，其中1是圆的半径。牛顿很清楚单位圆的面积是π，所以当x = 1时，曲线下的面积为单位圆的四分之一，即π/4。但对于其他x值，我们一无所知。

　　如果牛顿能找到一种方法来确定每个可能值x下的曲线面积，这可能会给他提供一种前所未有的逼近π的方法，这原本是他的宏大计划。但在此过程中，他发现了更好的事情：一种用无限多由x的次幂构成的项，来替换复杂曲线的方法。

　　牛顿的第一步是通过类比推理。他没有直接针对圆形线段的面积，而是研究了由以下曲线界定的类似线段的面积：

　　牛顿知道这些曲线在整数次幂下的面积（例如0/2=0, 2/2=1）会更容易计算，因为整数次幂在代数形式上会更简单，例如，

　　数的延续到无穷而消失。”

　　“If a problem is too hard, change it.

　　If it seems too specific, generalize it.”

　　不用那么在意于细节，我们在这里学到了一些解决问题的方法。如果一个问题太难了，那就改变这个问题。如果它看起来太具体，那就抽象概括它。这两者牛顿都做到了，并得到了比他最初寻求的更重要并且更有力的结果。

　　牛顿并没有执着于着四分之一圆。他考虑着一个更一般的形状，一个宽度为任意值x的圆形部分. 而不是只盯着x=1，他允许x从0到1变化。这揭示了他的数列中系数的二项式特征——帕斯卡三角形中数字的意外出现及其概括——这让牛顿看到了沃利斯和其他人错过的规律。看到这些规律后，牛顿获得了更广泛和更普遍地发展幂级数理论所需的洞察力。

　　在他后来的工作中，牛顿的幂级数给了他一把用于微积分的“瑞士军刀”。有了它们，他可以做积分，求代数方程的根，计算正弦、余弦和对数的值。正如他所说，“在幂级数的帮助下，我几乎可以说，我可以分析解决所有问题。”

　　“Changing a problem is not cheating. It’s creative. And it may be the key to something greater.”

　　改变问题不是作弊。这是一种创意。并且它很可能是解决更重要问题的关键。

　　编译来源：

　　https://www.quantamagazine.org/how-isaac-newton-discovered-the-binomial-power-series-20220831/