微积分的意义是什么？

微积分的现实应用

微积分在现实生活中的应用极广，要列出微积分的所有应用，就像列出世界上所有需要使用螺丝刀的东西一样不切实际。

在简单的计算层面上，微积分的应用包括求曲线长度、曲面和复杂形状的面积、物体的体积、最大值和最小值，以及质心。

结合力学定律，微积分告诉我们如何求出太空中火箭的轨迹、可能产生地震的俯冲带的岩石中的应力、地震发生时建筑物将如何振动、汽车在悬架上如何上下弹跳、细菌感染扩散所需的时间、手术伤口愈合的方式，以及大风中悬索桥受的力。

其中许多应用源于牛顿定律的核心思想：它们是用微分方程表述的自然模型。这些方程涉及未知函数的导数，需要源自微积分的技巧来求解。

像螺丝刀一样，微积分只是工程师和科学家的工具包中一件不可或缺的工具。就现代世界的贡献而言，没有哪个数学技术比得上微积分。

微分和积分的意义

微积分是微分和积分的合称。

小学所学的图形面积、体积的计算，实际上是与积分世界相连通的。积分并不是高中教材中突然半路杀出的“程咬金”，初等教育中相关内容的学习，已经为迈入积分世界做了充分的热身。

而对于微分，大部分人都感觉不是很熟悉。说起微分，就会提到“切线斜率”“瞬时速度”“加速度”，这些内容怎么理解都很难懂。这些东西我们无法直接用眼睛看到，很难直观上去把握。

从历史上来看，积分比微分要更早出现。

积分法的起源是“测量图形的大小”。古时候图形长度、面积、 体积的计算方法，通过口传心授得以流传，经过历代人的智慧的锤炼，进而发展成为现在的积分法。探寻积分法诞生的历史，大致可以追溯到公元前 1800 年左右。公元前 200 年的阿基米德时代，在计算抛物线和直线围成的图形面积问题上，已经出现了与现在积分法十分相似的“穷举法”。

积分的历史，还真是悠久。到了 12 世纪，印度的婆什迦罗二世提出了积分法的“前身” 方法。进入 17 世纪，牛顿综合了微分法和积分法，尝试从万有引力理论来推导天体的运动规律。

总之，从积分出现到微分诞生，至少有长达 1300 年的间隔。积分之所以会较早出现，是因为人类需要把握那些可见的东西，例如计算物体的面积、体积等。初等教育中的图形计算，通常只针对长方形、圆形等规规矩矩的图形。而现实情况中，这些知识往往难以直接去应用。

说起来，我们为什么要去计算积分呢？积分法存在的意义，在于测量长度、面积和体积。说来惭愧，我们手中能够方便计算面积、 体积的工具，可以说是非常贫乏。这是因为，现实世界中存在的物质，并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反，那些规则的形状可以说只是例外或理想化的情况。所以，对人类而言，测量现实情况中各种复杂图形大小的技术非常必要。

日本小学的家政课会讲授乌冬面、土豆块等简易料理的烹饪方法。之所以特地在学校中讲授这些内容，是因为这些都是烹饪中的基础方法。实际上我们自己做菜时，多会在商店中购买成品的乌冬面，也基本不会频繁烹制土豆块。但是，如果掌握了这些基础烹饪方法的话，就能够烹制出更多复杂的菜品。例如，乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中，从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。

如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性料理。多亏有了积分法，人类才能够计算各种图形的面积和体积。使用积分，无论是多么奇怪的形状，只要下功夫就能够计算出结果，这真是巨大的进步。将思考应用于实际，用自己的力量去推导面积、体积，这才是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。

日本高中的教科书中，微分内容设置在积分之前。大概是因为这种课程设计，微积分学不好的同学大多都是在微分上受挫。擅长微分的同学几乎不会学不好积分。微分比积分更难形象化。在积分的章节中，出现了圆的面积及球、圆锥、旋转椭圆体的面积、体积，这些都是易于去感知理解的。与此相反，微分在理解上并不是很容易。要说为什么微分难以理解，这是因为微分是“比值”。

如果说积分是加法，那么微分就是除法。小学最初学习的是加法，之后学习减法、乘法，最后学习除法。之所以按照这个顺序学习运算，是因为难度会越来越大。在直观上理解除法，是相对比较困难的。“比值”这种“除法世界”的东西虽然不易于理解，但在“捕捉变化”时，却是非常有用的“神兵利器”。

培养微积分思维方式

对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且最受挫折的一门课程了。对于理科和工科的大学生来说，微积分的学习将贯穿他们大部分专业课程。它奠定了我们对变量变化规律的理解，对于解决实际问题有重要作用。掌握微积分，你就掌握了理解和描述许多专业知识的工具。微积分是许多高等数学知识的基础。如果微积分没有打好基础，会发现学习多元微积分、向量分析等课程会很吃力。

微积分思维方式值得我们培养，可以提高我们的逻辑思维能力。微积分讲究把变量变化过程分成无数小段，通过研究每个小段的变化规律来把握整体变化趋势。这种思维方式非常有价值，不仅可以应用到数学问题，实际上在我们分析和解决许多复杂问题时，都可以借鉴这种细致和全面的思考方式。微积分课经常会出现概念的引入、公式的推导等过程。这需要我们摒弃已有的经验思维，只通过严谨的逻辑思考来获得结论。长期下来可以锻炼我们的逻辑思维能力。这也是数学学习的最根本价值。

掌握微积分还可以帮助我们理解许多自然现象。例如我们通过微积分中的导数与积分来描述速度与位移、加速度与速度的关系。许多物理学现象的本质就隐藏在这些数学关系背后。学习微积分，可以帮助我们建立起精确理解这些现象的能力。

微积分的学习 学习微积分的途径和方式非常之多。图灵就有非常多的书籍，不仅仅有帮助入门的科普读物，更有结合大学考试的相关教材。

上文转自图灵教育，[遇见]已获转发授权。