西湖大学吴从军评述：对称性视角下的原子物理教学

撰文 | 吴从军（西湖大学）

浙江大学物理学院王凯老师赠我一本他近期的大作——《原子物理讲义——从对称性到原子能级》（与李锐波、周振宇合作）。虽然我们的研究方向有所不同，但是同受对称性原理的熏陶，又同在大学物理教学的第一线，我们经常交流心得。这本教材让我觉得耳目一新。全书从对称性这个视角，对原子物理教学进行了新的尝试和探索。

我先对原子及原子物理学做简要地回顾。

原子的概念源于古希腊时代的原子论，后来逐渐发展成为近代物理学和化学的基础。《费曼(Feynman)物理学讲义》第一卷第一章开宗明义，形象化地阐述了原子概念的重要性：假设未来有场大灾难，人类所有的知识都将失传，只有一个机会留下一句话寄语未来的人类，要求包含尽可能多的信息，费曼认为最佳的选择就是“物质由原子构成”。

到了19世纪末期，物理研究已经深入到了原子的内部结构。1897年，J. J. 汤姆森（Thomson）发现阴极射线的本质是电子流；1909年, E. 卢瑟福（Rutherford）用α粒子轰击金箔，发现少量α粒子被反弹回来，也就是发生了大角度散射，并据此提出了原子的有核模型。但是经典电磁理论断言该模型并不稳定，绕原子核运动的电子将辐射电磁波，不断损失能量，最终会落在原子核上。实验事实和经典理论的冲突，引发了对原子稳定性的深入研究，这是原子物理学早期的焦点问题。

对原子稳定性和原子光谱的研究催生了量子论。实验上观测到分立的原子光谱线系，由此玻尔（Bohr）提出了定态和原子跃迁的概念。站在巨人的肩膀上，海森伯(Heisenberg)石破天惊地建立了量子力学的第一种现代意义上的表达形式—矩阵力学。随后薛定谔(Schrödinger)以微分方程的形式建立了量子力学的另一种表达形式——波动力学。量子力学的建立，给现代物理学打下基石。

电子填充原子壳层的模式揭示了其费米子本质，即电子服从泡利(Pauli)不相容原理，并具有自旋。这样深刻的原理，如果不是在原子这样简单系统中，那是很难能被总结出来的。电子的费米性是索莫非（Sommerfeld）的金属量子理论的出发点，原子物理学极大地促进了凝聚态物理学的发展，功不可没。

对原子光谱的精密研究是相对论量子力学和量子场论的驱动力。原子光谱的精细结构是自旋轨道耦合的结果，促进了狄拉克（Dirac）方程的提出。兰姆(Lamb)位移和电子反常磁矩的实验则更加精密，是量子电动力学的研究焦点。施温格（Schwinger）、费曼、朝永振一郎（Tomonaga）发展了重整化理论，圆满地解决了理论计算中出现的发散困难。现代的重整化理论计算和实验测量，可以达到超过10位有效数字的符合程度，令人叹为观止。这是量子场论里程碑式的成绩，也是人类理性之花。

原子物理学是大学普通物理教学的主要内容之一，一般安排在经典物理课程（即力学、热力学、电磁学）之后。从知识结构的逻辑来说，原子物理是基于量子力学的。但是学生们在学习原子物理前仅仅学习过经典物理的知识，这是物理教学中常常遇到的困难。

有鉴于此，大部分国内外教材采取了半经典方法，即玻尔-索莫非（Bohr-Sommerfeld）量子化，再夹杂着电子云、自旋等量子概念，来解释原子物理现象。其优点是结合了历史的发展过程以及学生的实际知识水平，其物理图像很清晰。

但是，这种教学方式也有明显的缺点：知识的系统显得零散和拼凑，像个大杂烩。例如，氢原子能级的简并度这样基础的问题，教师无法讲清楚其本质，只能告诉学生以后量子力学课上再学。再例如，自旋轨道耦合这样比较深刻的问题，也很难解释清楚。

鉴于原子物理学早已成熟，王凯老师觉得可以试图从公理化的角度，来重新审视原子物理的教学。它的特点就是按照问题的逻辑结构来搭建知识层次，从而做到简洁明了。在本质上说，这是以原子物理现象为素材，直接进行现代量子力学的教学。

但是，这又将面临一个新的挑战，传统的量子力学教学依赖于微分方程和特殊函数，例如求解氢原子能级需要处理合流超几何方程等。数学上的复杂性会喧宾夺主，从而分散了学生对物理本质的关注。

王凯老师的教学策略是采取代数方法来讲解量子力学。这种处理方式是基于对称性原理的：原子具有三维空间的转动对称性，即SO(3)对称性，特别是氢原子还具有更高的SO(4)对称性，它们是体现对称性最好的体系之一。这样的讲解方式更容易为学生所接受。

人类发自内心地欣赏对称性的历史由来已久。古希腊人证明了仅存在五种正凸多面体——柏拉图 (Plato) 多面体。伽利略（Galileo）提出相对性原理，表明时空的均匀性、各向同性、不同惯性系之间的等价性。相对论性的洛伦兹（Lorentz）对称性是一种基本的时空对称性。不仅是电磁相互作用，而且所有的物理定律均满足该对称性。

研究对称性的数学语言是群论，在1830—1840年代由伽罗华（Galois）和柯西（Cauchy）建立。群论的第一个物理学应用是用空间群对晶体的分类，由申夫利斯（Schönflies）和费多罗夫（Fedorov）完成。群的概念也被推广到连续群，即李群(Lie group)。旋转对称群SO(3)群就是一个李群，它的李代数(Lie algebra)对应于角动量。

对称性在现代物理学中，堪称为指导原则之一。它指导物理学家从物理现象的复杂性中提炼出了自然法则的简单性。诺特(Nother)证明了每个连续的对称性都导致一个守恒量：时空平移、旋转对称性导致能动量、角动量守恒，电磁规范对称性导致电荷守恒等。在高能物理中，标准模型中的基本粒子和相互作用都是被基本的规范对称性所确定的。杨振宁有一句名言：“Symmetry dictates interaction (对称性决定相互作用)”。

将对称性应用于量子力学是由魏尔(Weyl)和维格纳（Wigner）开始的。哈密顿量的同一个能级的全体本征态构成对称群的表示空间。对称群的生成元和哈密顿量相互对易，从而是守恒量。这些原则在分析原子光谱和光学跃迁的选择定则方面，非常成功。

这本《原子物理讲义》正是沿着以上的思路娓娓道来。其结构如下：

前三章是基础知识的铺垫。第一章导论简要介绍了原子物理的基本现象。在第二章中，介绍了分析力学的基本概念，引入经典拉格朗日、哈密顿量，并结合正则变换引入对称性、诺特定理和守恒量等概念。这些为后面的正则量子化做准备。第三章是群论基础，从对称性变换引入对称群的概念，非常直观。从空间转动的角度引入SO(3)群以及与其同态的SU(2)群。

第四章是量子力学基础。本章通过与经典波动理论的类比，引入薛定谔方程、态空间、正则量子化。相比较于正规的量子力学教学，这部分的内容麻雀虽小，倒也五脏俱全。重要的是，现代量子力学的基本观念已经齐备了。

第五章是角动量理论。本章采用标准的李代数方面构造了转动群的表示。用物理的语言说，就是从角动量的对易关系，构造了角动量的本征函数。本章还讲述了角动量合成以及Clebsch-Gordon分解，这些将为理解原子物理奠定了对称性的知识储备。

第六章讲述氢原子的能级，这是本书的核心章节，采用基于SO(4)对称性的代数解法。除了角动量守恒外，氢原子还具有隐藏的守恒量Runge-Lenz矢量，其三个分量和角动量在一起构成了SO(4)群的生成元。在经典开普勒（Kepler）问题中，该矢量具有鲜明的物理意义，导致了经典轨道的封闭性。其模长是椭圆轨道的偏心率，其方向对应于半长轴的指向。1926年，W.泡利（Pauli）采用该矢量和矩阵力学，历史上第一次得到了氢原子的能谱。本章也包含了氢原子能级的微分方程解法，供学有余力的同学选修。

第七、八章是相对论量子力学初步，讲述电子自旋和狄拉克方程等。这里引入了洛伦兹群，从狄拉克方程的洛伦茨协变性导出电子自旋，然后根据狄拉克方程的低能近似导出自旋轨道耦合效应。在此基础上，采用微扰论，解释了能级的相对论修正，Thomas耦合等。

第九章讲述多电子原子。采用变分法讲述了He原子，并初步介绍了全同粒子的概念。

当然，本书公理化的表述形式，并不代表半经典方法不重要。事实上，半经典方法不论在历史上，还是在日常的研究工作中，都起着至关重要的作用。它是架起经典物理和量子力学的纽带，让学生获得直觉的重要手段。这些可以通过阅读其他经典著作来弥补。

综上所述，本书是作者在原子物理教学方面的一次大胆而有益的尝试。它不是从半经典物理出发，而是直接从现代量子力学的角度来解释原子物理现象。学生们可以快速获得巨大的认知提升。本书适合热爱现代物理的同学，为他们进一步学习量子力学和量子场论奠定基础。

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《原子物理讲义——从对称性到原子能级》

王凯 李锐波 周振宇 编著

ISBN：978-7-03-075841-5

出版时间：2023年7月

定价：59.00元

内容简介：本书的设计初衷是为以微积分、线性代数为基础的原子物理课程提供教材，避免数学物理方法必须作为前置课程导致的课程时间安排上的冲突. 全书以变换群和对称性为视角，从经典力学出发，逐步构建起能描述量子系统的动力学理论，将这套代数方法应用于求解氢原子问题，并在相对论性理论框架下拓展讨论了自旋、原子光谱精细结构和自旋统计定理的物理起源等. 作者希望向低年级的本科生介绍对称性与群论在物理学研究中的独特作用.

读者对象：本书适用于普通高等学校物理学专业本科生及研究生，可作为原子物理课程教材，也可作为量子力学等相关课程的补充参考书.

1.以原子物理为对象，介绍对称性原理在物理学中的应用 。

2.以线性代数为基础，介绍群论基本思想和方法

3.重点介绍了量子力学的代数方法 。

4.从群论基础出发，介绍相对论量子力学和量子场论基础知识，解释自旋起源、自旋统计定理等基本原理。

王凯

浙江大学物理学院教授，威斯康辛大学麦迪逊分校博士，长期从事理论物理研究，特别是粒子物理核物理及高能量密度物理，发表论文四十余篇引用两千余次，自2016年起担任浙江大学拔尖人才项目“原子物理学”课程主讲教师。

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