开普勒告诉你，雪花为何有6瓣

要理解为何自然界创造出如此丰富多样的形状，数学是关键所在。

17 世纪伟大的科学家伽利略曾经写道：

在掌握其语言、熟悉其文字之前，我们是无法读出宇宙奥秘的。宇宙是用数学语言写成的，其字母是三角形、圆形及其他几何图形，缺乏对这一切的了解，人类便无法读懂其中的一词一句，只能在黑暗的迷宫中彷徨摸索。

自然界有各种稀奇古怪美妙绝伦的形状：从六角星的雪花到螺旋形的 DNA，从放射状对称的钻石到一片树叶的复杂形状等。为什么气泡会呈现出完美球形？为何人体内会出现像肺脏这般无比繁杂的形状？宇宙是什么形状的？要理解为何自然界创造出如此丰富多样的形状，数学是关键所在。同时，数学也赋予了我们强大的能力，既能创建新形状，又可以确认何时不再有新形状出现。

而对形状感兴趣的也并非只有数学家，建筑师、工程师、科学家、艺术家都期望了解自然界的形状之谜。但他们全要仰赖数学中的几何学问。古希腊哲学家柏拉图在门上贴着一个告示，上面写道：“不懂几何者禁止入内。”

雪花为何有 6 瓣？

17 世纪的天文学家和数学家约翰尼斯·开普勒是最早尝试为该问题给出数学解答的人之一。他通过观察石榴的内部才明白了雪花为什么会有 6 瓣。石榴籽一开始都是球形的。正如所有水果商贩都知道的那样，摆放球形水果最节省空间的方式就是把它们摆成一层一层的六边形。这样，层与层之间会彼此契合在一起，每颗水果下面一层都有 3 颗水果托着它。合在一起，这四颗水果则构成了一个四面体的 4 个角。

于是，开普勒就推测这是最节省空间的一种堆积方式。换言之，这种安排使得球与球之间的空间最小。但是，我们如何确定不存在别的什么特别复杂的排列方式，它比眼下这种六边形排列方式更节省空间呢。这一日后被称为开普勒猜想的合理怀疑，令世世代代的数学家们趋之若鹜。但相关证据却直到 20 世纪末数学家的聪明才智和计算机的力量结合以后才最终浮现出来。

再回过头来看石榴。随着石榴的生长，石榴籽开始相互挤压，其形状也从最初的球形慢慢变为能占满全部空间的形状。任何一颗位于中心的石榴籽周围都紧贴另外 12 颗石榴籽，随着彼此之间的互相挤压，石榴籽的形状就变成了十二面体。此时，你可能会认为石榴籽形状是由 12 个五边形组成的十二面体，但是这样的十二面体是无法完美地堆放起来的，无法占满所有可用的空间。唯一一种能够完美堆放的柏拉图立体就是立方体。与此相反，石榴籽的十二个表面实际上是一种风筝形状，这类形状被称为菱形十二面体，这也是自然界中常见的形状之一。石榴石水晶也拥有 12 个风筝形状表面。事实上，石榴石（garnet）这个英文词就来自拉丁语中的“石榴”一词，因为石榴籽同样也拥有 12个细小的风筝形状的表面。

对于石榴籽风筝形状表面的分析激励开普勒着手研究像这样的稍微不那么对称的风筝形状表面所能构成的各种可能的对称形状。回顾历史，柏拉图所研究的是由一种完美对称的表面所构成的形状，阿基米德更进一步地分析了由两种或更多种对称表面所构成的形状。开普勒的研究则催生了一个致力于对柏拉图和阿基米德的思想进行扩充的全新事业。如今，世界上已经有卡塔兰立体、星形正多面体、约翰逊多面体、晃动多面体和环带多面体，以及许多更加离奇古怪的立体结构。

开普勒认为，球体堆放模式核心的六边形与雪花有六瓣的问题是相关联的。他的这些分析就是他编著的一本书的主题。作为新年礼物，他将此书献给一位名叫马特乌斯·华彻的皇家外交官——这个举动饱含心机，科学家们总免不了为寻找科研经费而到处奔波。开普勒认为，随着球形雨滴在云中凝结，它们就会像石榴籽一样堆积起来。这个想法虽然很好，但日后却被证明是错误的。雪花有六瓣的真正原因是它与水分子结构相关，这一点要等到 1912 年 X 光结晶学的诞生才能被揭晓出来。

1 个水分子由 1 个氧原子和 2 个氢原子构成。当水分子聚合在一起构成晶体后，每个氧原子就会与相邻的氧原子共享 2 个氢原子，同时又从其他水分子那里借来另外 2 个氢原子。因此，在冰的晶体中 1 个氧原子会连接 4 个氢原子。在球棍模型中，由 4 个球代表的 4 个氢原子围绕着 1个氧原子，这样的形状要确保每个氢原子尽可能远离另外 3 个氢原子。为满足这一要求，数学上的解法是把每个氢原子摆放在正四面体（由 4个三角形所组成的柏拉图立体）4 个顶点的位置，并将氧原子放置在正四面体中心位置。

像这样呈现出的晶体结构与水果摊上橘子的摆放方式有异曲同工之处。在水果摊上，3 个橘子托着一个橘子，构成一个四面体。但是，如果你观察每一层的橘子，你就会发现到处都是六边形。冰晶中所呈现出的六边形则是构成雪花形状的关键所在。所以，开普勒的直觉是对的，橘子的堆放和六瓣雪花之间的确存在着关联，但是，若不能探究雪花的原子结构，我们就看不到六边形藏匿的位置。随着雪花逐渐成型，水分子依附在六边形的 6 个顶点上，从而形成雪花的六朵花瓣。正是在这一从分子向大雪花转变的过程中，每一朵雪花个体得以凸显出来。不过，虽然在水的结晶过程中，对称是核心所在，但是，控制每一片雪花变化的则只能是另外一种重要的数学形状——分形体。

（文章转自公众号图灵新知）

[英] Marcus du Sautoy | 著

程玺 | 译

图灵 | 人民邮电出版社

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