庞加莱猜想与疯子数学家

　　数学家是天生的，而不是造就的。

　　——庞加莱

　　2019 年，一次数学考试中出现了这样一道题。

　　一位名叫亨利·庞加莱的法国数学家每天都吃面包，并经常光顾一家面包店。面包师声称，他卖给顾客的面包的平均质量是1000 g，上下浮动 50 g。庞加莱动了一个念头，决定对这家面包店的面包进行质量监控。于是他每天都来这家店里买面包，对面包称重并记录下质量。如果面包师有偷工减料的行为，庞加莱就要举报给质检部门，而面包师只能接受处罚并改正错误。

　　01

　　庞加莱与面包圈

　　题目中的这位较真的法国数学家亨利·庞加莱到底是谁？可惜，很多学生往往对课本和考题之外的“窗外事”不闻不问，对国外近现代数学家和数学成就也十分陌生。知晓庞加莱这个名字的人也许不多，其实，庞加莱是近代数学史上一位伟大的数学家，他提出过著名的“庞加莱猜想”，而这个猜想就与面包圈有关系。1904 年，庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的、封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”

　　我们试着解释一下：一个封闭的三维流形是一个没有边界的三维空间；单连通指的是，这个空间中的每条封闭曲线都可以连续地收缩成一点，或者说，在一个封闭的三维空间中，假如每条封闭曲线都能收缩成一点，那么这个空间就一定是一个三维球面。

　　即使经过这样的解释，这段话对很多读者来说还是很难理解。

　　于是，有人打了个形象的比方，或许可以帮助大家理解。过去，大多数人认为地球是平坦的，但也有人不相信这一点。1519 年，麦哲伦带领船队从欧洲出发，一路西行。在三年后，船队回到了出发地。于是，他用这种方法证明了地球是圆的。但又有人说，船队转了一圈回来，就能说明地球是圆的吗？那不一定吧。如果地球是“面包圈”形的（图 1），那么麦哲伦也可能在转一圈后回到出发地啊。后来，人类飞出了地球，从太空中观看，才确认地球的确是球形的。

　　那么，浩瀚的宇宙又是什么形状呢？人类目前没有本事飞出宇宙再回头看，于是，有人提出一个思想实验：在一颗子弹的尾部捆上一根足够长的绳子，把子弹射向太空。子弹环绕宇宙一圈后回到地球，而绳子也就围绕宇宙转了一圈，形成一个绳圈。然后，我们用手拉着绳圈的两头使劲往回扯。如果宇宙是球形的，那么这个绳圈最终会收回地球——根据庞加莱猜想，如果绳圈可以收回地球，则宇宙一定是球形的。但如果宇宙是“面包圈”形的，那么绳圈会被中间的孔洞挡住，无法收回。

　　02

　　千禧难题

　　庞加莱猜想诞生近百年，一直没有进展，成了一个著名的难题。之前说过，数学界有好多难题。比如在 1900 年，希尔伯特提出的23 个问题指引了 20 世纪数学的发展方向，成为 20 世纪众多数学家的奋斗目标。如今，这些问题中的大部分得到了解决。而庞加莱猜想提出的时间是 1900 年之后，所以没有跻身这 23 个问题。

　　庞加莱提出这个猜想后，一度自认为已经证明了它。但没过多久，证明中就暴露了问题。后来，不少数学家都研究过这个问题，但都铩羽而归。希腊有一位数学家叫帕帕奇拉克普罗斯，大家都亲切地叫他“帕帕”，他在 1964 年获得维布伦奖。然而，这位聪明的拓扑学家最终倒在了证明庞加莱猜想的过程中。直到1976 年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想。临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，但朋友只翻了几页，就发现了其中的错误。但这位朋友没有吭声，让帕帕安静地离去了。

　　虽然问题没有解决，但是，有好几位数学家因为研究庞加莱猜想而获得了菲尔兹奖。庞加莱猜想可真是一只能“下金蛋的母鸡”啊！

　　千禧之年来临之际，世上已经没有一个像希尔伯特这样的全能数学家来提出重要而有导向性的数学难题了。这时，美国克雷数学研究所集思广益，从众多数学家那里征集建议，提出了七大问题，并为每个问题设立了一百万美元的奖金，以此鼓励大家解决难题。在这些被称为“七大千禧年难题”的问题之中，就有庞加莱猜想。

　　03

　　“数学怪人”佩雷尔曼横空出世

　　众多数学家奋斗近百年也没能解决庞加莱猜想，但就在 21 世纪开始不久的 2003 年，它被一个“怪人”撬动了——俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明了这一猜想的三维情形。2006 年，数学界最终确认佩雷尔曼证明了庞加莱猜想。

　　佩雷尔曼仅在网络上发表了自己的研究成果，并没有将之写成正规的论文，发表在学术杂志上。人们想：数学界又出了个疯子。一个举世瞩目的难题，就这么被三篇放在网上的简短论文解决了？

　　佩雷尔曼写的论文极其简略，同行们审读之后，一时无法确定其证明正确与否。于是，数学家们开始阅读、解释并补全了他的证明。经过三年的努力，朱熹平、曹怀东发表了 592 页的长文，田刚、摩根发表了 473 页的长文，克莱因、洛特发表了 194 页的长文。这些论文的结论就是：这位老兄的结论竟然是正确的！证明的解释和补充都如此艰辛，可证明本身被佩雷尔曼用三言两语就解决了。佩雷尔曼，你真酷！

　　同样是简短扼要、难以读懂的论文，佩雷尔曼最终有人赏识，而伽罗瓦和阿贝尔当年却多么不幸——他们生前竟无人读懂他们的论文。

　　2003 年，在发表了重大研究成果之后不久，这位大胡子学者就从人们的视野中消失了。佩雷尔曼拒绝了克雷数学研究所奖励他的一百万美元，甚至拒绝了菲尔兹奖。别人梦寐以求的荣誉和奖金，他却不以为意，大有视名利为粪土的傲气。

　　2005 年，正当事业顺风顺水的时候，佩雷尔曼突然从所在的研究所辞职，留下一份没有写明任何理由的辞职信。他说自己“对数学不再感兴趣，也无意再涉足该领域”。他几乎切断了与外界的所有联系，再一次像幽灵一样消失了。据说，佩雷尔曼平时不愿意和任何人来往，吃住条件十分简单，甚至可以说寒酸。如此知名的一个数学家却过着像乞丐一般的生活，你说这人怪不怪？所以，佩雷尔曼才有了“数学怪人”的称号。庞加莱猜想解决了，但解决庞加莱猜想的佩雷尔曼在何方？有人说，这是一个新的猜想。

　　顺便说一句，除了庞加莱猜想外，七大千禧年难题中的其余六个问题还没有解决。亲爱的读者，你们想试试吗？

　　上文转自图灵新知，作者陈永明，[遇见数学]已获转发许可。