对话阿贝尔奖得主拉兹洛·洛瓦兹

大数据文摘授权转载自zzllrr小乐

作者：拉斐拉·穆拉斯（Raffaella Mulas）

译者：zzllrr小乐

拉兹洛·洛瓦兹（László Lovász，1948 -，以下简称LL）是匈牙利数学家，也是布达佩斯罗兰大学的名誉教授。他曾获得1979年SIAM波利亚奖（SIAM Pólya Prize）、1982和2012年富尔克森奖（Fulkerson Prize）、1999 年沃尔夫奖（Wolf Prize）、1999 年高德纳奖（Knuth Prize）、2001年哥德尔奖（Gödel Prize）、2006 年约翰·冯·诺依曼理论奖（John von Neumann Theory Prize）、2007年贾诺斯·波尔约创造奖（János Bolyai Creative Prize）、2008年塞切尼奖（Széchenyi Prize）、2010年京都奖（Kyoto Prize），以及最引人注目的2021年阿贝尔奖（Abel Prize），许多人认为阿贝尔奖相当于数学诺贝尔奖。他是国际数学联盟IMU和匈牙利科学院HAS的前任主席，也是保罗·埃尔德什（Paul Erdős，1913 - 1996）的主要合作者之一。

2023年6月，拉斐拉·穆拉斯（Raffaella Mulas，以下简称RM）在访问布达佩斯的阿尔弗雷德·雷尼数学所时采访了他。

RM：非常感谢您抽出时间与我见面。能够采访到我最钦佩的数学家之一，我感到无比荣幸。我想从头开始。十几岁时，您在IMO国际数学奥林匹克竞赛中获得了三枚金牌。您还在一个匈牙利电视节目中获胜，在节目中，学生待在玻璃盒子里，被要求解决数学问题。这是真的吗？

LL：是的！

RM：这是您对数学的热情开始的时候，是什么驱使您在这么年轻的时候就进入数学领域？

LL：嗯，它开始得更早一些，可能是在八年级，当时我加入了小学的数学俱乐部。我真的很喜欢研究那里提出的问题，数学俱乐部的老师，也是小学的主任，建议我们订阅一本匈牙利高中生数学杂志。该杂志创刊于1893年，我认为它是世界上最古老的杂志，至今仍在运作（据参考资料链接2，该杂志名为《Kozepiskolai Matematikai Lapok》，由Daniel Arany于1894年创刊，zzllrr小乐译注）。这是一次很棒的经历！保罗·埃尔德什（Paul Erdős）也曾为该杂志撰稿。他喜欢提出一些容易表述但难以解决的开放性问题，他总是将它们与一些历史注记一起提出。这真的非常令人鼓舞！

2022年11月，拉兹洛·洛瓦兹在莱比锡

RM：所以，当您第一次读到Erdős为这本杂志写的内容时，您还在上小学，对吧？

LL：是的，我想是的！我看的第一期是Erdős的一篇关于组合几何的文章。无论如何，数学俱乐部的老师还建议我申请Fazekas Mihály Gimnázium（法泽考什·米哈里高中，FMG），这是一所正在开设数学专业课程的高中。FMG后来因其数学课而非常有名，但它也吸引了其他领域的优秀学生。例如，当我在那里时，在一个平行的班级里，有伊娃·孔多罗西（Éva Kondorosi）：她是一名生物学家，也是欧盟委员会的首席科学顾问之一。所以，总的来说，这是一所非常好的高中。

在那里，我遇到了其他几个被招到同一个班级的年轻人，事实证明，这是一个学习数学和做数学的好社区。我在那里度过的四年真的是我生命中的美妙时刻！由于我加入时数学班是新成立的，所以大学和这个研究所（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所 Alfréd Rényi Institute of Mathematics）的数学家都对那里发生的事情非常感兴趣。他们过去常常在我们学校上一些下午的课时，我们中的一些人开始定期拜访一些教授，从他们那里得到可以阅读的新理论或可以思考的新问题。因此，我们中的许多人在高中时就开始做一些研究。

RM：哇！好吧，这一切都很顺利！现在让我们跳到前面：您的工作跨越了数学和理论计算机科学的许多领域。到目前为止，在您的职业生涯中，最激动人心的研究项目是什么？

LL：噢，我认为随着时间的推移，这种情况已经发生了变化。回想起来，我最大的项目可能是图极限理论（graph limit theory），它始于2000年代初。当我在Microsoft微软工作时，我们中的一些人开始从事这项工作，包括我的妻子Kati [Katalin Vesztergombi]、Balázs Szegedy、Vera Sós（几个月前去世，非常悲伤）、Jennifer Chayes、Christian Borgs和Lex Schrijver，你可能在阿姆斯特丹见过或将会见到他们。其他人也在不同阶段发挥了一定作用或做出了贡献。我认为这是我最大的项目。我一直很喜欢连接数学不同领域的东西，“图极限”这个名字已经表明图和极限之间存在着联系。

但我也很喜欢计算机理论，主要是在70和80年代，当时计算理论正在发展。对我来说，很明显这是一个数学理论，那是一个非常激动人心的时期。

我不确定我为此做出了多大贡献，但我对此很感兴趣，我写了论文。同样令人兴奋的是，它导致了一些新的图论（graph theory）问题。我还和蒂博尔·加莱（Tibor Gallai，1912 - 1992）一起研究它们，他是我大学期间的导师。当时没有正式的博士生导师，但他投入了大量的时间和精力来帮助我取得成功。我记得他说，“看看这两个问题：哈密顿环问题（Hamilton cycle problem）和匹配问题。匹配问题几乎在所有可能的意义上都得到了解决，哈密顿环非常类似。那它为什么这么难呢？”因此，我们中的许多人开始认为这可能是有原因的。我们开始从计算复杂性的角度来考虑它，但我们没有得到正确的方法。然后，我们试图研究柯尔莫哥洛夫复杂度（Kolmogorov complexity），看看是否有任何差异，但这也没有成功。

然后，在1972-73年，我做了我们现在所说的博士后。我去了美国，去了范德比尔特大学一年，而我的朋友彼得·加奇（Péter Gács）也对这个主题感兴趣，去了莫斯科。在那里，他与柯尔莫哥洛夫和列昂尼德·莱文（Leonid Levin）一起工作，列昂尼德·莱文是柯尔莫哥洛夫的学生，他发展了P和NP理论，与在西方的斯蒂芬·库克（Stephen Cook）和理查德·卡普（Richard Karp）发展它的方式基本相同。于是，我和彼得·加奇在国外呆了一年，当我们再次见面时，我们立即告诉对方，我们终于可以看到匹配问题和哈密顿环问题之间的区别。我们非常亢奋！在那之后，我们甚至认为我们可以证明 P 不等于 NP。我们的证明很好，但最终它不对，因为它证明了一些更弱的东西。但无论如何，我们一直专注于这个领域，我们在这里（在阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）组织了一个研讨会，我们一直在尝试研究如何用数学方式处理计算复杂性。

RM：太棒了！您的创作过程是怎样的？您的数学思想是如何形成的？

LL：我觉得在试图解决问题和尝试应用想法之间总是来回摇摆的。也许有一件事我可能比我的大多数同事更喜欢，那就是厘清一个证明。在我得到它最重要的部分之前，我不喜欢把它写下来。这有时很有用，因为它可以更好地理解情况。我举个例子：我还在上高中，对图论由于非常初等而被许多数学家瞧不上的事实不满意。我认为它应该有某种代数的一面。我重新发明了如何用一种新型的强乘法将两个图相乘，我想，“好吧，很容易检查这个乘积是否具有交换性（commutative）和结合性（associative）；但是我们有消去律（cancellation law）吗？A×C 同构于 B×C 蕴含了A同构于B吗？”我开始思考这个问题，最终，在高中毕业时，我想出了一个证明。但是它很复杂，所以我对它不满意。我还记得当我意识到，如果我不计算子图（subgraph），而是计算证明中的同态（homomorphism），那么断言就会立即出现。所以，这强化了我的想法，即你必须了解是什么推动了证明，而不仅仅是提出证明。我认为这是我一直喜欢做的事情。如果我证明了什么，我会试着去理解看待它的最好的方式是什么。

RM：这是一个很好的建议！为什么布达佩斯是历史上大多数最伟大的组合学家和离散数学家（包括您自己）的故乡？这儿的水里有（灵性的）东西吗？

LL：哈哈！嗯，有各种各样的解释。有一件事，我认为非常重要，我必须回到很久以前。匈牙利在1867年与奥地利达成协议，以获得一定程度的独立。匈牙利有一个自由派政府，他们做了很多重要的事情，其中两件是相关的。一是他们为每个人建立了普通的公共教育。另一个是他们赋予犹太人平等的权利。因此，大约在19世纪末和20世纪初，有大量的犹太人移民到匈牙利，犹太人创造了一种城市生活和科学生活。我并不是说匈牙利没有做好准备：匈牙利已经有一流的科学家，包括数学领域的贾诺斯·波尔约（János Bolyai，1802 - 1860）。但不管怎么说，突然之间，这种数学生活开始发生，例如，我提到的这本高中数学杂志就是在这个时候成立的。

匈牙利国家数学奥林匹克竞赛也大约在同一时间成立，即1890年代。许多有才华的年轻人因此被发现，这给了我们重要的推动力。

现在，为什么要使用离散数学（discrete mathematics）和图论呢？它始于丹尼斯·柯尼格（Dénes Kőnig，1884 - 1944），他的父亲也是一名数学家；但图论中的柯尼格定理是以儿子的名字命名的。这个定理的某个版本来自弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849 - 1917）对行列式（determinant）的研究。有一个关于非负矩阵的著名的Perron-Frobenius理论（佩龙-弗罗比尼乌斯定理），Frobenius有兴趣知道，对于一个其元素为变量且其中一些为零的矩阵，行列式是否为变量的不可约多项式。然后，柯尼格写了一篇论文，他基本上证明这只是一个关于查看哪个变量去哪里的组合问题，他使用二分图（bipartite graph）来说明这些论证。有趣的是，他没有证明“Kőnig定理”（在这种特殊情况下，这相当于在行列式等于零时进行表征），但他只是用图论重新表述了弗罗贝尼乌斯的证明。弗罗贝尼乌斯随后写了另一篇论文，其中他对Kőnig说了不是很好的话，因为他非常反对将这个问题转化为图论。尽管这是一个你必须摆脱所有不必要的符号、求和以及所有东西的例子，而它的一切都只与完美匹配有关。所以不管怎样，Kőnig对此产生了兴趣，然后他在1937年写了一本教科书，他至少有两个学生，Paul Erdős和我的导师Tibor Gallai。因此，他们推动了这一理论的发展，从而许多别的匈牙利数学家对图论产生了兴趣。

1992年，保罗·埃尔德什在布达佩斯

RM：好吧，为了以防万一，我会从布达佩斯带回一罐水回阿姆斯特丹！现在，您已经多次提到保罗·埃尔德什，您是他的主要合作者之一：您会如何形容他？

LL：他是一个非常不寻常的人。与他被经常描绘的一般形象不同，他非常关心其他人。他知道每个人在做什么，每当有人需要一点钱、推荐信或类似的东西时，他都会提供帮助。但他并不那么关心自己。

在斯大林主义时期，他无法访问匈牙利，所以直到50年代末，他才在战后或斯大林主义政权结束后第一次回到匈牙利。我记得我小时候，也许还是一个年轻的大学生，甚至可能是一个高中生，他访问布达佩斯时住在一家酒店。他整天坐在酒店大堂里，周围都是年轻人，年龄在18到35岁之间，大概如此，他同时和几个人一起解决不同的问题。“你知道如何解决这个问题吗？哦，我还有一个额外的问题，也许这更容易，或者这也很有趣。”有时，在午餐时间，他会邀请在场的人在餐馆吃午饭。这非常鼓舞人，我从他身上学到了很多东西；当然，不仅在数学上，而且在人性方面。

他一直认为数学应该公开进行。他认为，如果你有一个想法或有一个新的结果，不应该害怕与其他人分享，因为如果他们为它做出贡献或继续下去，那么它只会是一个更好的结果——所以你不应该试图把它留给自己！他总是非常无私，在我年轻的时候，至少有两次他给了我荣誉，这并非恰当，可能比我应得的要多。第一个例子是我第一次见到埃尔德什的时候，他已经在和拉约斯·波萨（Lajos Pósa）一起工作了。你可能知道这个名字。他们几乎完成了一篇论文。波萨是我的同学，也是我的好朋友，他问我是否可以在论文中证明其中一项结果。我想了想，几天后，我能够证明他们的断言。现在，当然，如果你知道某件事是真的，那么证明它就会容易得多。但无论如何，埃尔德什在他们的论文中添加了一个脚注，说这个结果是由László Lovász独立证明的，这并不完全正确。

另一个例子是（仍然被称为）洛瓦兹局部引理（Lovász Local Lemma），它出现在我们的一篇合作论文中。埃尔德什强调，这个特定的引理是我的，因为他意识到与论文的其余部分相比，它具有更广泛的含义，所以他以我的名字命名了这个引理。但它出现在一篇联合论文中，因此，根据标准规则，如果需要名称，引理应该被称为埃尔德什-洛瓦兹引理（Erdős-Lovász Lemma）。所以，他是一个非常有趣的人！

RM：从您的描述来看，他似乎也非常慷慨，无论是作为一个人还是作为一个数学家。

LL：他非常慷慨，是的！

RM：您第一次见到他的时候几岁？

LL：我上高中的时候，我想是我的朋友波萨介绍我和Erdős相识。我不记得它到底发生在什么地方：可能是在Erdős访问我的学校期间。他过去大约每年访问一次学校，为那里的学生做演讲。

RM：所以，他也是一位非常活跃的年轻人导师。

LL：是的！

RM：关于Erdős，您还有什么特别的记忆想分享吗？

LL：有好几次我们要么在美国，要么他访问布达佩斯，和我们一起呆了一两个星期。这通常有点费力，因为他睡得很少，而且他喜欢在一天的剩余时间里工作。但当然，我们有教学职责、孩子和日常生活，他理解这一点——但很明显，他相当不耐烦，他想和我们坐下来，尽可能多地工作。他比我们大很多，所以我们有点儿不好意思跟他讲“对不起，我们已经累了！”

RM：阿贝尔奖获得者有没有遇到过困难？

LL：嗯，我正在教一门课，来的学生比以前多得多，因为他们想看看阿贝尔奖获得者是什么样子的。当然，就像其他人一样，阿贝尔奖获得者也遭受着官僚主义的困难：这些算不算困难？

RM：是的，当然！在证明定理时，您有时还会感到卡住吗？

LL：当然！在数学中，你有90%的时间走错了路。我的意思是，你看不到路的尽头，所以必须尝试！能够回头也很重要。

RM：您提到了您的妻子Katalin Vesztergombi，您把您所有的书（的感谢）都献给了她，如果我没记错的话，您还有很多孩子和孙子......

LL：是的，我们有四个孩子，如果这算多的话，到目前为止，我们有七个孙子。但是我们的儿子半年前才结婚，所以我们还是希望能有更多！

RM：除了数学、您的大图（论）和您的（大）家庭，还有什么让您快乐的？

LL：绝对没有比得上这些的！但我喜欢在大自然中散步，环顾四周，这是我经常和妻子一起做的一件事。

RM：这很美好！您对未来有什么期待？

LL：如果你已经75岁了，必须意识到，从数学上讲，你不能指望转行。但是我有兴趣看看它们是否会在任何地方发挥作用，主要是在图极限理论中及周围。我有兴趣尝试为既不稀疏也不是很密集，而是处于中间范围的图发展极限理论。有一些论文，但还远远不能称之为理论或之类的东西。我也一直在考虑发展一些拟阵（matroid）的极限理论，或者至少本着约翰·冯·诺依曼的连续几何的精神，将这种拟阵理论推广到某种连续秩函数。所以，是的，所有领域都有有趣的问题，但此时此刻，我正在认真研究这两个领域。现在我也有更多的时间做数学，有一些和我一起工作的非常优秀的人，所以我真的很享受这个。

RM：嗯，我很期待阅读您未来的成果！您对年轻的数学家有什么建议？

LL：在我上大学期间，我一直觉得对数学的所有领域都感兴趣，而不仅仅是对我的研究领域感兴趣。我认为这在我的生活中，在我的研究中非常有用。我的建议是，如果可能的话，不要过早地专攻。但我也明白，我们现在的制度不同了，学生必须更早地专攻。部分原因只是因为学科正在增长，所以你不可避免地会进入一个已经很难学习的分支。例如，在我年轻的时候，图论由一两本书组成，如果你今天读它，其中大部分会被认为是非常初等的。当然，其他领域的增长速度也同样快。所以，这很困难，但我认为对其他领域有什么样的目标有所了解仍然很有益。他们想说的主要内容是什么？他们有什么样的目标？以一种方式而不是另一种方式看待它有什么好处？在数学的很多领域，我对正在发生的事情知之甚少，但我还是试图理解其中的一点点。

RM：我喜欢这个建议。我的最后一个问题是，为什么您认为今天继续研究图论很重要？

LL：Erdős有这样的想法，如果有问题，你必须问出它们。而且，特别是在图论方面，他很擅长找到好的问题——导致其他问题的问题。最终，这导致了图论的许多分支，这些分支都是基于他的问题和猜想发展起来的。如今，在其他科学的各个部分使用大图和大型网络似乎是不可避免的。我们在新冠大流行中看到了一个例子：如果我们必须考虑谁遇到了谁，那么了解网络属性对于能够说出大流行的传播至关重要。当然，在大脑研究和生态学研究中也需要网络。因此，无论有没有限制，研究非常大的图及其属性，如何建模和研究它们的问题，都非常重要。这些都是非常困难的问题，所以我认为大图的研究是一个令人兴奋的新领域。

RM：当然，我完全同意您的看法。非常感谢您接受这次非常有趣和鼓舞人心的采访！

参考资料

1. https://euromathsoc.org/magazine/articles/157

2. https://www.academia.edu/11078641/A_visit_to_Hungarian_mathematics

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