统计物理领域发展态势

统计物理是物理学重要支柱之一，具有丰富的内涵并广泛应用于探索自然科学及人文社会科学相关领域。然而，迄今为止，这一学科的许多基础课题，如非平衡统计物理、小系统的统计物理与热力学、复杂系统的统计物理等方面，仍有待进一步发展和完善。为庆祝彭桓武先生倡导的理论物理专款成立30周年以及感谢专款对统计物理学的持续支持，本文将以开放的方式对相关研究进展和发展趋势进行概述。部分观点仅基于作者有限的视角和理解。

撰文 | 赵鸿、全海涛、周海军、王炜

一

统计物理领域的总体发展现状

统计物理学旨在研究宏观现象的微观机制，诠释宏观系统的物理特性，并试图为具有复杂相互作用的多体系统建立一般性理论，以理解和刻画超越微观相互作用所能预言的整体行为或涌现现象[1-3]。玻尔兹曼−吉布斯统计作为目前被广泛接受和使用的平衡态统计物理理论体系，以系综概念为基础，导出了微正则、正则、巨正则等系综分布函数，从而描述系统在热平衡状态下的宏观性质，如能量、熵、自由能、热力学势等。量子统计物理同样在此框架下建立，以玻色−爱因斯坦分布、费米−狄拉克分布等来研究量子平衡态系统的统计规律。此外，研究受驱动的非平衡系统的定态，例如活性物质，以及无驱动系统趋向平衡的规律，从而理解和刻画传热、传质、输运等现象的非平衡态统计物理，以及研究物质在不同相之间转变的相变理论、临界点附近系统的标度不变性和普适性的临界现象理论，研究玻璃、自旋玻璃、液晶等无序系统的理论，以及远离平衡态系统中出现有序结构的耗散结构理论等都属于统计物理的传统研究领域。随着人类社会认识世界范围的拓广，以非线性、非广延、尺度维度有限、强关联为特征的复杂系统也逐渐成为统计物理研究的范畴。复杂系统领域的网络系统、社会系统、金融系统、生命系统、机器学习系统等往往具有可网络化的共性，可视为物理学中的网络化介质，由此形成了复杂网络研究领域。

近几十年来，以涨落定理为代表，非平衡统计物理在远离平衡系统的规律探索方面取得了一定进展。涨落定理将热力学第二定律从不等式推广到关于热力学量分布函数的恒等式，试图提供从介观到宏观的统一描述。在平衡态统计物理方面，适应自然科学进入微纳米时代的发展，小系统研究已成为一个主要热点领域。然而，小系统的统计物理与热力学目前仍处于初创阶段。同时，统计物理学努力向自然科学的各个领域拓展，已在生命科学、社会和生态系统、网络系统以及深度学习等领域占有一席之地。在这一系列研究的推动下，以理解和刻画复杂相互作用多体系统的涌现行为为目标，逐渐形成了试图涵盖所有这些领域共性的“复杂系统”学科。2021 年的诺贝尔物理学奖授予“复杂系统”，这标志着基于统计物理和非线性动力学正式诞生了一个新学科。然而，在可预见的将来，复杂系统学科和统计物理仍将保持密不可分、相互促进的关系。

经典力学、量子力学、电动力学、统计力学构成了物理学的基本理论体系。然而，相较于其他学科，统计物理，特别是非平衡统计物理，仍处于框架性理论的发展和修正阶段，有许多基础性问题亟待解决。尽管玻尔兹曼−吉布斯统计目前是主流体系，但玻尔兹曼设想的统计物理框架与吉布斯统计存在很大差异。吉布斯发展系综理论使得源于麦克斯韦、玻尔兹曼等的思想形成了一个完整且自洽的体系。吉布斯系综方法主要适用于描述平衡态或局部平衡系统，需将混合性作为其基本假设，建立人为引入的系综的统计性质与实际系统之间的关系，即系统物理量的时间平均等于系综平均。

玻尔兹曼学派一直以追求更纯粹物理的理念，坚持宏观热力学可基于微观力学直接推演出来，包括不可逆性和热力学第二定律等，这涵盖了理解非平衡态到平衡态的演化，并意味着统计物理规律可由确定论的力学规律衍生出来。坚持至今的玻尔兹曼学派似乎更加乐观，信念越来越清晰[4, 5]。这归功于确定论系统混沌运动的发现、从大数定理到中心极限定理、从大偏差理论到 Levy 引理等的数学进展以及量子系统本征态热化理论等方面的进展。这个学派认为一般系统都是所谓典型性系统，处在典型态；决定一个系统演化的不仅是其力学方程，而且也包含初始条件。这两条假设化解了微观系统的可逆性与宏观不可逆性之间的矛盾。这方面的研究是统计物理特别是非平衡统计物理一个持久的前沿。由于其在给出平衡态和非平衡态统计的统一刻画以及处理少体问题方面的优势，在这套思想体系下重建统计物理不仅具有理论价值，而且具有应用价值。尽管这个方向具有“中兴”的特征，一些具体模型上也实现了不借助系综理论的统计物理描述，但要达到建立一个抛开吉布斯框架的统计物理体系的目标，仍有很长的路要走。正如玻尔兹曼学派建立之初所面临的情况一样，尖锐的批评始终伴随着这个学派。近年来，主流统计物理学者认为典型态不足以完整刻画平衡态。

基于玻尔兹曼的这种思想体系形成了确定论学派，认为物理现象是由一系列严格确定的规律和原理所支配的，包括统计物理规律。基于对统计物理基础的深入理解，另一个基本学派应运而生，即概率论学派。吉布斯的系综事实上是所谓前概率论的体现。概率论学派为了避开不可逆起源的问题以及确定论系统如何提供随机性，直接以描述系统的随机微分方程为出发点，从而实现概率描述。他们发展建立了随机动力学或随机热力学，成为当前统计物理主流学派。

朗之万方程是此学派的典型代表，也是随机微分方程的先驱。其核心出发点是直接在确定性的微观演化方程上引入随机力，从而使得微观系统从开始就具有不可逆性，且在随机驱动下实现遍历性。这一框架由于操作性强，原则上可以用于有限小系统以及非平衡系统，从而被广泛应用，成为许多交叉学科的工具和理论支撑。近年来，这一领域由于大偏差理论的应用获得了长足的进展，不仅提升了传统随机过程诸如布朗运动等方面的理论刻画和认识，而且把功和热等概念定义到微观轨道上，开辟了微小热机研究的新模式，建立了随机热力学。这个领域的研究者不仅倡导大偏差理论是统计物理的数学基础，而且更进一步，试图让一些具体的物理规律成为统计描述的涌现行为[6]。尽管如此，这一体系目前还不能和玻尔兹曼−吉布斯统计框架媲美，它的基础往往建立在外加热源的统计物理之上，把一些概念上的难题推给了热源也就是外界。对于诸如强关联、长程关联、非马尔可夫的系统也仍然无能为力。

另外，一个在我国和欧洲影响广泛的方法论体系是普利高津的耗散结构理论。这个理论志向高远，面对人类最有兴趣的对象如生命等，它试图回答开放的非平衡系统中，物质和能量的输入与输出如何导致系统内部出现稳定的或亚稳定的有序结构，也就是耗散结构。普利高津的理论是在物理学领域“墙内开花”，却在化学生物等领域“墙外香”的理论。

在 20 世纪 70 年代早期，著名物理学家安德森提出了一套与普利高津不同的研究复杂系统的范式，倡导从对称破缺角度理解复杂性如何从简单性引起，认为“More is different（多者异也）”[5, 7]。简单的对称系统的对称破缺引起复杂现象，不仅包括对流等简单的结构，也可能揭示生命等复杂结构的本质。这些宏观现象是遵从同样微观规则的少体系统所不具有的，但是一旦系统足够大，复杂结构就可以“涌现”出来。甚至可能从物理学的基本原理解释生命如何从无生命物质涌现出来。安德森认为建立复杂系统的真正理论是当下物理学家的任务。

非平衡统计物理理论体系远未成熟，还正处在发展中。物理学领域一些学者以“金银铜铁锡”来划分学科发展的阶段，量子力学等学科现阶段已经处于“铁锡”时代，而非平衡统计物理应当尚处于“铜”时代，因此具有很大的发展潜力。近年来，学界对统计物理的重视正在加强。2021 年诺贝尔物理学奖被授予“复杂系统”方向，而其中帕里西的自旋玻璃研究问题本身属于统计物理核心研究领域，而真锅淑郎和阿塞尔曼预言二氧化碳引起全球变暖的理论和方法也正是非线性动力学和布朗运动的应用成果；2022 年 Duminil-Copin 研究与统计物理相变相关的随机数学成为菲尔兹奖得主之一；2022 年狄拉克奖又授予了 Lebowitz 等三位统计物理学家。以非线性、强关联、非广延、微纳尺度、生命现象等为对象的统计物理复杂系统研究领域，无疑会成为自然科学新的角力场，如果能够尽早培育科学研究生态，培养人才，培育团队，中国学者有望在统计物理复杂系统这一古老且新兴的领域争得一席之地，为科学的进步做出框架性的贡献。

二

统计物理领域的发展趋势和展望

近年来，统计物理相对集中的热点领域包括非平衡系统的弛豫规律、多体系统的涨落关系、小系统统计物理与热力学、统计物理基础、量子热力学、黑洞热力学、宇宙热力学、非平衡相变和动力学相变、自旋玻璃、复杂网络系统、软物质系统和复杂生命系统、低维和超构材料输运性质、金融物理、人工智能的统计物理基础等，其中复杂生命系统包括从基因序列、生物分子、细胞到生物组织和生物种群等方面。本文仅对其中几个的发展趋势进行简单讨论。

1. 统计物理基础

统计物理基础问题自统计物理学科建立之初便一直是研究和争论的核心。然而，不同学派对基础问题的侧重点有所不同。在玻尔兹曼−吉布斯统计物理框架下，系统必须满足混合性，以保证系统的时间平均等于系综平均，从而实现系综描述能指导实际面对的系统的逻辑。这需要从确定论的动力学系统出发，给出能均分、混合等假设环节的证明。这一路线图导致了 Poincare-Birkhoff 定理、KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）定理、Anold 扩散、A 公理系统等。然而，这条途径遇到了解析证明的瓶颈，只有非常特殊的系统，如 Sinai 台球模型，被证明具有严格的遍历性。值得重视的一个进展是经典晶格系统热化的研究，起源于 20 世纪 50 年代费米等利用数值模拟对能均分的检验。经过半个多世纪的探索，目前已经基本搞清楚一般的晶格系统热化弛豫遵循普适的规律：只要非线性相互作用存在，足够大的晶格一定能在有限的时间内达到能均分。但是，从均分到热化，即统计分布，仍是有待研究的关键课题，进展有限。

玻尔兹曼学派的框架不需要遍历性假设，不需要引入额外的不可逆性，而是以典型态的概念协调确定论和概率论。虽然这个路线图有一定进展，但各环节仍需要更加第一性的证明。概率论学派则以外界的随机驱动实现遍历性，或者将统计分布设计成条件概率的必然结果。尽管如此，各学派在基本目标上具有共同点：从动力学或随机动力学第一性地推演出对应的统计物理分布，如微正则分布、正则分布、巨正则分布、玻色−爱因斯坦分布、费米−狄拉克分布等。关于如何达到这一基本目标，目前存在不同的思路和争论，包括经典起源和量子起源。其中，量子起源是冯·诺伊曼等早期倡导的观点，他们认为，量子理论是物理系统更准确的理论，统计物理所需的概率描述或概率起源应当从量子力学出发才可能获得。

2. 非平衡系统的弛豫规律

趋向平衡是非平衡物理研究的基本问题。统计物理假设一个非平衡系统在经过足够长的时间后，一定能达到平衡态，而趋向平衡态的规律决定了系统的诸多重要宏观性质，如传输等。起源于 20世纪30、40 年代并基本完成于 20 世纪 60 年代的近平衡系统趋向平衡的理论是非平衡物理最重要的成果和内容。这套理论以昂萨格涨落耗散理论和久保等建立的线性响应理论为基础，提供了计算热传导、电传导、热电等输运系数的公式。这套理论体系被认为完善地解决了线性响应区的问题，但是如果比照量子理论的标准，实际上还没有完全“落地”：给定了系统的哈密顿，虽然有计算这些系数的 Green-Kubo 公式，但是并不能获得输运系数显式的表达，而需要进一步计算对应的关联函数。一个成功的落地的例子是推出了固体材料中计算热传导系数的公式κ=cvl/ 3，这里c是热容，v是声子速度，l是声子自由程。不过这是一个近似公式，是采用了单模弛豫近似后求解出的 Green-Kubo 公式，它在很多固体材料计算中和实验数据比较并不完全准确，这表明需要进一步获得更准确的关联函数。

实际上，过去三十多年，一些非平衡统计物理的前沿课题就来自于这个遗留的“尾巴”，代表性的例子是低维晶格热传导研究。低维热传导问题在 20 世纪末的最后几年成为热点，并一直持续至今。其核心问题是确定晶格系统的热流涨落关联函数，从而由Green-Kubo 公式得到输运系数。这个看似简单的问题，迄今还没有明确的结论。一些研究表明一维、二维晶格系统如果具有平移不变性，则其热传导系数随着系统尺寸发散，另一些研究则意味着实际的这类系统当尺寸足够大时，热传导率还是收敛的，热传导遵从傅里叶热传导定律。这些研究目前已经拓展到了一般小尺度系统的热传导问题，特别是界面热传导、网络结构材料热传导等问题上。这方面的研究不仅具有理论价值，而且会在诸如芯片散热等问题上具有应用价值。

非平衡统计物理还有一个大的领域是开放系统，特别是这类系统所涌现出的自组织亚稳态或稳态。如何从对称破缺角度理解耗散结构，理解复杂性以及耗散结构如何“涌现”出来，是这方面的前沿课题。可以预期这将是今后自然科学研究的一个重大问题，它涉及了理解生命、理解大脑、理解社会等人类直接面对的系统。

3. 涨落定理

自 20 世纪 90 年代起，一批学者先后提出了涨落定理，描述微观尺度上，系统在正向和反向过程中发生的事件的概率之间的关系。涨落定理把热力学第二定律从不等式推广成为有关热力学量分布函数的恒等式，表明有限系统中违背热力学第二定律的熵减过程和满足热力学第二定律的熵增过程同时存在，只是熵减过程与熵增过程的概率之比随着系统尺寸增大而指数减小，热力学极限下则完全由熵增过程主导。涨落定理试图深刻理解热力学第二定律，是非平衡统计物理一个重要的发展。当使用合适的物理量写出这些关系时会给某些应用带来优越性，如著名的 Jarzynski 等式，它把初始的平衡态和最终的平衡态之间的自由能差和从前一个态到后一个态做功的系综平均联系了起来，从而避免了传统上计算这一自由能差需要制造准静态过程的麻烦，为一些生物小系统等的自由能计算和测量提供了新途径。

近年来，涨落定理获得了很大的发展，在扩展涨落定理，使之适用于描述具有多自由度的系统、非马尔可夫系统、强关联系统等更复杂的系统方面，在建立非平衡过程中系统对外做功满足的非平衡功的涨落定理方面，在证明涨落定理的普适性方面都取得了重要进展。涨落定理还被用于描述生物系统中的涨落，例如蛋白质折叠、DNA 链分离和细胞膜中的热噪声、生物进化论有益突变规律等。涨落定理的实验验证方面也取得了很多成果，在胶体、激光冷却原子系统、单分子系统等各种体系中直接测量涨落并验证了涨落定理。

涨落定理还存在很多问题有待进一步研究。例如，把涨落定理的研究拓展到更广泛、更复杂的体系，包括生物系统和经济系统。进一步的实验检验和寻找实际应用也将是今后研究的重点，比如把涨落定理应用于改进自由能测量，或者应用到改进自由能计算的分子模拟方法等方面。同时需要指出，关于涨落定理的科学意义以及今后的发展前景，学术界还存在争论。

4. 量子热力学

在量子热力学中，小系统的行为由量子可观测量和波函数描述。热力学定律被扩展到量子域，一个关键特征是量子涨落，这是由于量子力学内禀的不确定性而产生的。这些涨落会对量子系统的热力学行为产生重大影响，理解和控制这些涨落是量子热力学研究的一个重要方向。

量子热力学可能会对其他相关领域产生广泛的影响，包括量子计算、凝聚态物理学和材料科学等。量子热力学的一些典型课题包括研究能够用于能量转换的量子热机，利用量子效应提升热机效率；研究量子制冷原理和方法，实现小型量子设备的冷却，在量子计算和低温探测器的设计中获得应用；将非平衡功的涨落定理扩展到量子系统而给出量子功涨落定理，描述量子系统中做功的概率，并应用于高效热机和制冷机的设计；将量子热力学的原理扩展到强关联的量子系统，建立强关联系统的量子热力学，更好地理解奇异状态的热力学性质；探索热力学与量子信息论之间的关系，建立量子信息热力学，理解信息处理过程中的基本热力学原理，比如信息擦除过程的 朗道尔原理；开发新技术，使用量子计量技术测量小型量子系统的温度。

量子热力学是一个非常活跃且发展迅速的领域，预计将来还会在以下方向有重要发展：更加精确地理解量子系统能量转化，从而定量刻画光合作用中的能量传输效率，设计高效的能量转化器件，为能量的高效利用开辟新的途径。在量子信息处理过程中的应用等方面预计也会形成新的研究热点。

5. 黑洞热力学

黑洞热力学的建立始于 20 世纪 70 年代 Bekenstein 和 Hawking 的工作。其基本概念是将黑洞视为一个热力学系统，具有质量、电荷和自旋等物理量，同时也具备熵、温度和热容等热力学量。黑洞热力学建立了热力学量与黑洞的物理性质之间的联系，例如，黑洞的熵与其事件视界面积成正比，黑洞的温度随质量的减小而增加。当黑洞与粒子相互作用时，黑洞会失去能量和质量，因此会发生辐射，即霍金辐射。

黑洞热力学是一个非常综合的学科方向，与统计物理、量子理论和引力理论密切相关。目前，黑洞热力学已经成为一个非常活跃的领域，其中小黑洞到大黑洞的相变是热点之一。这项研究通过类比范德瓦耳斯气体的热力学相变行为，分析推断黑洞的相变行为，并进一步推断黑洞也应具有微观自由度，相变即是这些微观自由度之间共存与竞争的表现。黑洞热力学的研究方法表现出高度交叉综合的特点，例如，对热力学几何的应用，将几何标曲率的正负对应于系统微观分子间的排斥和吸引。当前，黑洞热力学已广泛应用于全息原理和非平衡统计物理等领域，在物理前沿问题中具有重要地位。黑洞热力学也被认为是建立量子引力理论的重要一环。黑洞热力学的统计物理基础是未来的一个重要课题。

6. 统计物理在人工智能领域的应用

近年来，人工智能迅速发展，AlphaGo、AlphaFold、ChatGPT 等软件的横空出世，预示着人工智能将深刻地影响人类社会各个方面，包括科学研究的模式。人工智能与统计物理具有广泛的联系。人工神经网络是人工智能的核心工具，其中著名的霍普菲尔德（Hopfield）人工神经网络和统计物理的伊辛（Ising）模型非常相似。受限玻尔兹曼学习机在人工智能领域中应用广泛，其结构和算法基于玻尔兹曼分布，具有无监督学习方面的优越性，也是深度信念网络的基本模块。统计物理的一些基本概念，如熵、信息熵、自由能、能量景观等，也被应用于人工神经网络的理解和算法设计。神经网络作为一个复杂动力学系统，被发现具有相变和自组织临界现象，特别是发现深度网络泛化能力或推广能力随着网络的复杂度增加具有类似从玻璃态到晶体态的相变，这深化了对深度网络的机理的认识。统计物理领域发展起来的复杂网络方向和人工智能结合非常深入，已经相互交融在研究具有网络结构的系统方面，例如信息网络、互联网、交通网络、电网、经济网络、社交网络、脑网络等。

人工神经网络特别是深度网络被广泛应用于物理学，作为分析处理数据以及分析系统结构和特性的工具，不仅包括材料设计等领域，也包括理论物理、核物理、天体物理等领域。统计物理在人工智能方面的一个重要角色可能是揭示和理解机器学习的机理。目前，机器学习，特别是基于深度人工神经网络的机器学习，存在着“黑箱”特征，缺乏可解释性和透明性。所设计的神经网络往往知其然而不知其所以然，不能一般地阐明机器在学什么、如何学、如何才能学好等基础问题。统计物理、复杂系统、非线性动力学的深度介入预计能够在这方面取得突破。另外，在生物分子方面，人工智能的研究快速发展，例如，在蛋白质折叠和蛋白质设计方面取得了突飞猛进的成果。如何从统计物理方面理解其内在的物理机制和动力学过程，找出其统计物理规律，提出了新的挑战。在量子力学领域，张量网络方法已经在设计机器学习高效算法方面展现了优越性，并用经典计算机挑战了量子霸权。统计物理在人工智能方面的应用将为人工智能的发展提供重要的理论支持，并推动人工智能技术的不断发展。

7. 统计物理向自然科学乃至社会科学诸多领域的交叉

统计物理已经在信息物理、生物物理、金融物理、社会科学、人工智能、复杂网络、脑科学、地球气候学等交叉领域形成了一系列前沿热点方向。生物物理方面的交叉包括生物大分子结构和功能、细胞演化和信号过程、生物群体运动、脑科学、生物系统的非平衡态行为、生物神经网络、生命过程的统计物理等。社会科学方面的交叉包括了互联网、交通网、社交网、传染病、人类集体行为等。诸如数字经济、网络经济、网络安全等领域也越来越受到重视。此外，统计物理方法还被用来研究金融市场、经济系统等方面的问题，并建立了金融物理学科方向。整体而言，这些交叉领域都属于复杂系统，因此统计物理和非线性动力学在这些领域具有广泛的应用前景。一些研究已经表明，这类看似复杂的系统确实可以在一定程度上遵从严格的统计物理基本规律，如大脑表现出的临界现象和物理学中的临界现象非常类似，由此发展出了“临界脑”理论；基于社交网络数据证明信息传播遵从渗流相变规律，进而发现渗流相变可适用于一般的可网络化系统的刻画。可以预计交叉领域的研究范围和研究深度会进一步加强，并且在不远的将来取得重要的成果。

近年来，交叉学科应用的一个成功范例是自旋玻璃复本对称破缺平均场理论用于深入探索 NP-完备随机约束满足问题和组合优化问题的相变现象，这是首先由帕里西教授和合作者于 2002 年取得突破性进展的。这些研究打开了从自旋玻璃统计物理角度理解计算复杂性的大门，引领了一个新的研究方向的产生，至今仍然方兴未艾，并逐渐拓展到图网络统计推断等信息科学问题和多层人工神经网络系统[8]。

然而，统计物理向这些领域的拓展也面临着非常大的挑战，有些方向甚至出现了停滞。可以看到，这些交叉领域的研究对象大多不是“好”的统计物理系统，往往具有多尺度、小系统、长程关联、非平衡、非马尔可夫等特征，有些还涉及自主活性甚至人类意识和情绪等。这些特征本身已经超越了现有统计物理理论框架，需要发展统计物理理论和方法才可能覆盖他们。目前，这些领域的很多方向往往给人以“只见统计，不见物理”的印象。因此如何深入地提炼这些领域的统计物理问题，实质性实现交叉是需要深刻思考的课题。

三

小结

国内统计物理学的研究具有很好的传统，一大批著名老一辈科学家在相关领域做出了重要贡献。例如，20 世纪 80 年代，中国科学院理论物理研究所周光召、苏肇冰、郝柏林、于渌等完成了“关于非平衡量子统计的闭路格林函数研究”，对 20 世纪 60 年代由Schwinger 建议的闭路格林函数理论框架做了系统分析，提出了一套有效的理论表述方案，已经成为相关领域中的经典原创性工作。十几年前，统计物理研究队伍人数急剧减少，出现了较大的人才危机。其间，国家自然科学基金委员会在一些专家和院士的支持下，对统计物理复杂系统进行了大力的扶持和培育，使得研究队伍迅速恢复和壮大，形成了若干统计物理攻关团队，并取得一批有影响的成果，达到了国际前沿，在某些方向甚至具有了引领作用。特别是在彭桓武先生倡导的理论物理专款项目 30 年来的持续支持以及中国科学院理论物理研究所和多个高校有关专家的引领下，目前国内统计物理领域人气正在聚集，呈现出繁荣之势。在恰逢统计物理与复杂系统学科大发展的背景下，相信国内学者一定能够抓住机遇，在这一领域取得重要成果和贡献。

致谢：感谢钱纮、王文阁、王矫、苗兵、黄亮、刘玉孝、张勇等多位教授在本文写作过程中给予的有益建议。同时，感谢胡岗教授、孙昌璞院士、欧阳钟灿院士等对本文写作的指导，以及前期调研的支持和鼓励。

参考文献

[1] Brown L M, Pais A, Pippard B. 20 世纪物理学. 刘寄星, 译. 北京：科学出版社, 2014.

[2] 陈式刚. 非平衡统计物理. 北京: 科学出版社, 2010.

[3] 郝柏林. 统计物理学进展. 北京: 科学出版社, 1981.

[4] Cercignani C. 玻尔兹曼: 笃信原子的人. 胡新河, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2006.

[5] Dorfman J R. An Introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics. Cambridge Lecture Notes in Physics 14. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

[6] Qian H. Statistical chemical thermodynamics and energetic behavior of counting: Gibbs’ theory revisited. J. Chem. Theory Comput., 2022, 18: 6421-6436.

[7] Anderson P W. More is different. Science, New Series, 1972, 177: 393-396.

[8] Mezard M, Montanari A. Information, Physics, and Computation. Oxford: Oxford University Press, 2009.

作者简介

赵鸿，厦门大学物理系教授、国家杰出青年基金获得者。毕业于兰州大学理论物理专业，1991-2002年在兰州大学工作，2003年起到厦门大学物理系工作至今。主要从事非平衡统计物理、非线性动力学、机器学习理论等方面的工作，在低维系统的热输运、经典系统热化、布朗运动研究方面取得了一定的成绩。

全海涛，北京大学物理学院教授、国家杰出青年基金获得者。分别于2002年和2007年在中南大学和中国科学院理论物理研究所获得学士和博士学位。主要从事小系统非平衡统计物理领域的研究。在量子相变动力学、量子热机、涨落定理和随机热力学等方面取得了一些成绩。曾获国家自然科学奖二等奖(第二完成人)等荣誉。

周海军，中国科学院理论物理研究所研究员,国家杰出青年基金获得者。主要从事自旋玻璃统计物理学研究，并积极探索自旋玻璃理论与消息传递方法在计算复杂性、认知复杂性等交叉学科方向的应用。代表著作有《自旋玻璃与消息传递》（科学出版社，2015）。

王炜，南京大学物理学院教授，国家杰出青年基金获得者(1996年度),教育部长江奖励计划特聘教授(1999年度)。主要从事凝聚态物理及其与生物学交叉研究。任国家自然科学基金委理论物理专款第七届、第八届领导小组成员，教育部第八届教育部科技委交叉科学与未来技术专门委员会委员。

本文经授权转载自微信公众号“理论物理转款”。

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。