1801年高斯成功解决了历史难题：多边形可作图问题

尺规作图是古希腊数学家用来创建各种几何图形的一种方法，它只允许使用两种工具：一把没有刻度的直尺和一个圆规。这种方法的美妙之处在于其纯粹和简洁。

在高斯的时代之前，人们已经知道怎样用尺规画出几个特定的正多边形，例如正三角形、正方形、正五边形等。但对于任意给定的边数，尤其是较大的边数，是否可以用尺规作图来构造一个正多边形，这是个长达两年未解的问题。

1801 年，高斯发表的著名著作《算术研究》中给出了一个震撼数学界的结果：哪些正多边形可以用尺规作图构造：当且仅当其边数是 2 的某个非负整数次幂与若干个不同的费马素数的乘积。这里的费马素数指的是形如的素数。

最初的几个费马数为：

现在，让我们详细看看这个结论意味着什么：

1. 正多边形的边数可以是 2 的幂。 这意味着边数可以是 2、4、8、16 等，因此能构造正四边形（正方形）、正八边形、正十六边形等。
2. 边数可以是费马素数。 这些是形如的素数，目前已知的费马素数只有 5 个：3、5、17、257 和 65537。因此，能构造正三边形（正三角形）、正五边形、正十七边形、正二百五十七边形和正六万五千五百三十七边形。
3. 边数可以是 2 的幂和费马素数的乘积。 这意味着能构造的正多边形的边数可以是前面两点中数的乘积，例如，正六边形（2×3）、正十边形（2×5）、正三十四边形（2×17）等。
4. 边数可以是不同费马素数的乘积。 这种情况下的例子并不常见，因为已知的费马素数非常少，但理论上，如果存在更多费马素数，它们的乘积也可以用来构造正多边形。

所以说，一个正 n 边形的变数是下面就能可以用圆规和直尺作出。

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64,…

但下面这些边数就不能用尺规作图构造出来：

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36,…

▲ 已知可构造出正多边形的边数，边数不超过1000（黑色粗体）或奇数边数（红色），图自维基百科

高斯的这一理论不仅解答了一个古老的数学问题，还展示了数论与几何之间深刻的联系。不过，需要注意的是，尽管理论上可以构造像正 65537 边形这样的多边形，实际上这样的构造过程将是极其繁复和耗时的。

下面附高斯构建正十七边形的动画(图自维基)：