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我们都知道，当一个电流通过一个导体时，如果有一个垂直于电流方向的磁场，那么导体的两侧会产生一个电压差，这就是霍尔效应。霍尔效应的原理是，磁场会对运动的电子施加一个洛伦兹力，使电子偏离原来的轨道，从而在导体的两侧形成一个电势差。霍尔效应的大小可以用霍尔电阻来衡量，它等于电势差除以电流强度。
霍尔效应在普通的导体中是线性的，即霍尔电阻和磁场强度成正比。但是，在一些特殊的材料中，当磁场很强时，霍尔效应会出现非线性的行为，霍尔电阻不再随着磁场的增加而连续变化，而是跳跃到一些固定的值，这就是量子霍尔效应。
量子霍尔效应的原理是，强磁场会使电子的能级分裂为一系列的分立的能级，称为朗道能级。当电子填充朗道能级时，如果恰好填满了整数个能级，那么霍尔电阻就会出现一个平台，其值等于普朗克常数除以电子电荷的平方的整数倍，这就是整数量子霍尔效应。
如果没有填满整数个能级，那么霍尔电阻就会随着磁场的变化而变化，直到遇到下一个平台，这就是分数量子霍尔效应。这个效应是在1980年代由Tsui，Stormer和Gossard在半导体异质结中发现的，他们因此获得了1998年的诺贝尔物理学奖。他们观察到，在极低的温度和极强的磁场下，霍尔电阻不仅在整数倍的位置出现了平台，还在分数倍的位置出现了平台。
这个现象是非常令人惊讶的，因为它意味着电子之间的相互作用在这里起了决定性的作用。根据Laughlin的理论，分数量子霍尔效应可以被理解为一种新的量子液体的形成，这种量子液体由复合费米子组成，复合费米子是由一个电子和它周围的磁通量捆绑而成的。这些复合费米子可以形成分数统计的准粒子，也就是任意子，它们的电荷是e的分数倍，例如e/3，e/5，e/7等。这些任意子在朗道能级上形成了一个有效的整数量子霍尔效应，从而导致了分数量子霍尔效应。
分数量子霍尔效应是一个非常深刻和美丽的物理现象，它展示了量子力学和统计力学的奇妙结合，以及物质的多样性和丰富性。然而，它的实验观察是非常困难的，因为它需要非常低的温度和非常强的磁场，以及非常纯净和高质量的材料。这就限制了它的研究和应用的范围。那么，有没有可能在零磁场下观察到分数量子霍尔效应呢？
这就引出了另一个概念，叫做反常霍尔效应。反常霍尔效应是指在零磁场下，某些材料也会表现出量子化的霍尔电阻，这是由于它们的拓扑性质，也就是它们的能带结构中存在着非零的陈数。陈数是一个拓扑不变量，它描述了能带中的波函数的相位变化，它和磁场中的磁通量有类似的作用。当一个材料具有非零的陈数时，它就会产生一个有效的磁场，从而导致了反常霍尔效应。
反常霍尔效应的一个典型的例子是石墨烯，它是一种由单层碳原子构成的二维材料，它的能带在两个狄拉克点处是线性的，这使得它具有非零的陈数，从而在零磁场下表现出反常霍尔效应。那么，在反常霍尔效应的基础上，有没有可能出现分数量子反常霍尔效应呢？这是一个长期以来的理论预言，但是一直没有实验的证实。直到最近，一些科学家在多层石墨烯中观察到了这个效应。
多层石墨烯具有许多独特的物理性质，比如高的电子迁移率，强的机械强度，和可调的能带结构。多层石墨烯的能带结构可以通过改变层数，堆叠方式，扭转角度，和外加电场来调节，从而实现不同的电子态，比如金属态，半导体态，拓扑绝缘体态，和超导态。
多层石墨烯的拓扑绝缘体态是一种具有非零陈数的能带结构，它可以在没有外加磁场的情况下产生反常量子霍尔效应。多层石墨烯的拓扑绝缘体态的来源是层间的自旋轨道耦合，它可以使不同层的电子的自旋和轨道相互作用，从而产生一个有效的磁场。多层石墨烯的层间自旋轨道耦合的强度可以通过改变层数和扭转角度来调节，从而实现不同的陈数和反常量子霍尔效应平台。
多层石墨烯中的分数反常量子霍尔效应是一种更加复杂和有趣的现象，它可以在零磁场下产生分数化的霍尔电阻和分数化的电荷激发。多层石墨烯中的分数反常量子霍尔效应的来源是层间的电子相互作用，它可以使拓扑绝缘体态的能带进一步分裂为一些分数占据的能级，称为分数拓扑能级。
多层石墨烯中的分数拓扑能级的存在可以通过一种称为拓扑平带模型的理论来解释，它可以把多层石墨烯的能带结构简化为一些具有非零陈数的平坦能带，这些平坦能带可以容纳分数朗道能级和分数化的电子相互作用，从而导致分数反常量子霍尔效应。多层石墨烯中的分数拓扑能级的存在可以通过一种称为拓扑谱函数的实验手段来观测，它可以测量多层石墨烯的能带结构和陈数的变化，从而证实分数反常量子霍尔效应的出现。
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