【线性代数】全书知识点最全梳理（上）

作为理工类学生的必修数学基础课之一，线性代数的学习相较于高数而言，逻辑性稍弱，各单元之间的联系性却要更加紧密，计算过程也更加繁琐。

今天用这篇文章给大家梳理一下，线性代数这门课各个单元的知识点。由于边幅原因，这次线代知识梳理分为上下两篇，矩阵的初等变换之后的内容留在下篇。

01

线性代数知识图谱

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。

线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。

线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

02

行列式

2.1 定义

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

2.2 二阶行列式

计算方式：对角线法则

2.3 三阶行列式

计算方式：对角线法则

2.4 n阶行列式2.4.1 计算排列的逆序数

2.4.2 计算n阶行列式

2.4.3 简化计算总结

2.4.4 行列式的3种表示方法

2.5 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等

注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号

推论： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.

推论：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则等于对应的两个行列式之和.

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

2.6 计算行列式的方法

1）利用定义
2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值

定理中包含着三个结论：
1）方程组有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)给出.

定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.

定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件

1) 方程个数等于未知量个数；

2) 系数行列式不等于零.

2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．

2.8 行列式按行(列)展开

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

03

矩阵

3.1 矩阵的定义

注：矩阵与行列式的区别

3.2 特殊矩阵

3.3 矩阵与线性变换

3.4 矩阵的运算3.4.1 矩阵的加法

行列式与矩阵加法的比较：

3.4.2 数乘矩阵

3.4.3 矩阵与矩阵相乘

3.4.4 矩阵的转置

3.4.5 方阵的行列式

3.4.6 伴随矩阵

3.4.7 共轭矩阵

3.5 可逆矩阵(或称非奇异矩阵)

3.6 矩阵分块法

数学是一个美丽的学科，包括线性代数在内数学科目，她们包含的知识因为细致而繁多，因为缜密而精致，因为逻辑有解而显得结论简洁。今天给大家推荐一个数学竞赛，希望大家可以在2个小时竞赛的过程中感受到数学的思维之美。

竞赛介绍

为贯彻关于国家高新技术产业发展的重要指示精神，进一步明确“十四五”国家高新区的发展思路和重点任务，国家一级协会下属分会中国国际科技促进会物联网工作委员会，面向全国大学生举办“2024全国大学生高新技术竞赛—数学竞赛”。

报名方式

-扫描下方二维码进行报名-

或点击下方链接进行报名：

https://www.saikr.com/vse/49652?ces=Public

竞赛亮点

01

具有挑战性的赛题

大学的学习不应该仅仅停留在课堂学习与课后作业当中，一些优质的学科竞赛是各位同学见识更多可能性的机会。更具有挑战性的赛题，有助各位同学在准备竞赛的过程中提升自己，竞赛交流也可以帮助同学们拓宽学习视野。

02

备战数竞国赛

本次数学竞赛的竞赛形式、考试难度与全国大学生数学竞赛相似。对于有意参加下半年全国大学生数学竞赛的同学而言，可以在本次竞赛中早做准备，见识赛题难度、赛题题量。

03

检验考研数学复习状况

对于有意考研升学的学生而言，本次竞赛赛题是由名校教师参考教学大纲出题，在保证数学竞赛赛题少而精的特点同时，还可以充当考研学生在考研数学科目的模拟考试。

04

共享学习资料

竞赛特别设置学习资料下载处，其中各类与数学相关学习资料将不定时更新，学生报名后可自行添加。

竞赛奖励

本次竞赛分组别、分考场进行评奖，设立一、二、三等奖及优秀奖，获奖比例（根据实际参赛人数计算）：

一等奖：5%；

二等奖：15%；

三等奖：30%；

优秀奖：若干（成功参赛即可获得优秀奖）

-证书样图-

优秀指导教师：

根据指导报名竞赛的学生人数和学生获奖人数进行综合评定，评定合格的高校老师，颁发优秀指导教师荣誉证书。

优秀组织单位：

根据单位报名竞赛的学生人数和学生获奖人数进行综合评定，评定合格的单位，颁发优秀组织单位荣誉证书。

各院校(系)、学校社团均可申请优秀组织单位。

竞赛规则

（1）竞赛为个人赛，分为研究生组、本科生组、专科生组，报名时请根据个人实际情况选择组别参赛。（竞赛考题分为数学类和非数学类，报名时无须选择类别，考试时可直接选择想要参加类别的考场）

（2）竞赛题目来自竞赛资深专家、企事业单位实际应用场景应用题目。

（3）竞赛全程线上进行，需要提交电子版作品（手写图片拍照上传即可）。

（4）赛题将于竞赛开始时在竞赛官方主页以及竞赛报名网站上同时公布，分为数学类和非数学类两个组别，不邮寄书面题目。

竞赛须知

01

参赛对象

普通高等院校、高职院校、二级学院、独立学院、本、专科在校大学生及研究生均可报名参加，专业不限；其他社会人员也可以报名参赛。

02

时间安排

报名时间：即日起至2024年4月19日

竞赛时间：2024年4月20日10:00至12:00

联系方式

QQ：1451942322（陈老师）

微信：19822023476（陈老师）

竞赛交流2群：777424730

BONUS TIME

数学建模资料、视频讲解、历年赛题

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