余弦定理的推广及费尔马大定理证明新思考

费尔马大定理的命题为：方程an+ bn= cn在 a、b、c、n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2。

根据费尔马大定理的表达式可知：费尔马大定理成立的必要条件是：三个数a、b、c较小两个数的和等于或大于第三个数，否则费尔马大定理无解。较小两个数之和等于第三个数，即c=a+b，n取1，a，b，c可以为正整数无须证明。

三个数的关系，当较小两个数之和大于第三个数，这三个数一定能构成三角形，也就是是说，以这三个数为边长一定能构成三角形。依据费尔马大定理的命题，这三条边不能相等，也就是说，不能为等边三角形，一定是不等边三角形，假设不等边三角形最大边c，也就是说费尔马大定理c可以根据余弦定理确定，c2= a2+ b2- 2ab cosθ，θ是三角形c边所对的角，显然θ一定大于60度小于180度，由于c是不等边三角形的最大边，所以c边一定大于( a ^2+ b^ 2 - ab )^1/2。当θ等于90度，费尔马大定理的命题是勾股定理：c2= a2+ b2，所以n=2费尔马大定理的命题得以证明。

将余弦定理思想推广到一般，根据余弦定理得：c2= a2+ b2- 2ab cosθ，两边开方得：c=( a2+ b2- 2ab cosθ)1/2，再两边n次方得余弦定理的推广，cn=( a2+ b2- 2ab cosθ)n/2，cn就是费尔马大定理:an+ bn= cn的c^n，那么n大于2时，:an+ bn和( a2+ b2- 2ab cosθ)n/2能相等吗？结论是不能。

将an+ bn= cn两边平方得：(an+ bn)2= c2n，所以 c2n=( a2+ b2- 2ab cosθ)n，比较(an+ bn)2和( a2+ b2- 2ab cosθ)n。令y1=(an+ bn)2，y2=( a2+ b2- 2ab cosθ)^n，显然y1是幂函数，y2是指数函数，根据指数函数和幂函数的特点，当指数函数底数等于幂函数底数时，这两个函数变化的过程中，当指数函数的值等于幂函数的值时，即y1=y2时，自变量n在变大时，不在存在指数函数的值等于幂函数值的情况，而是指数函数的值爆炸增大，会远远大于幂函数的值。由于幂函数y1=(an+ bn)2和指数函数y2=( a2+ b2- 2ab cosθ)n，在θ等于90度、n=2时相等，保持θ等于90度不变，所以当n大于2，y1绝对不会等于y2，即(an+ bn)2绝对不会等于( a2+ b2)n，而是( a2+ b2)n会远远大于(an+ bn)2，y1、y2两边开平方得：y11=an+ bn，y21=cn=( a2+ b2)n/2，即当n大于2时( a2+ b2)n/2远远大于an+ bn，据此容易得出：θ大于90度小于180度，当n大于2时( a2+ b2+d )n/2远大于an+ bn，d大于零，也就是说，θ大于等于90度小于180度，当n大于2时“cn= an+ bn”的n无解。

当n大于2时，其实，θ角度不是90度，θ必然大于60度小于90度，才可能成立。因为（a ^n+ b^n）一定是正整数，θ大于60度小于90度 , 余弦定理的推广得：c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2abcosθ)^n/2必须是整数才有可能成立，只有（a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)是一个完全平方数才可能成立，c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2，分析c^n是整数的条件：由于a、b是非零正整数，即（a ^2+ b^ 2 - 2ab)是一个完全平方数，c^n才是整数。有，且只有cosθ=±1，等于（a±b）^2是一个完全平方数，此时θ等于180或0度，与约束条件θ大于60度小于90度矛盾，在三角形三边的约束下，( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )=d^2，d是不存在的，它不可能是一个数的平方，平方是开平方的逆运算，也就不可能是一个数的开平方，其实，这个数理解为实数，只说平方就可以了。也就是说，n大于2时，c^n不可能是整数。即a^n + b^n必然是整数，而c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2必然不是整数，不是整数不可能等于整数，所以当n大于2时，a^n + b^n = c^n，n无解。

结论：方程“an+ bn= cn”在 a、b、c、n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2，费尔马大定理的命题证明完毕。