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博尔赫斯的阿莱夫和康托尔的天堂

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女士们,先生们,老少爷们儿们!在下张大少。

数学家格奥尔格·康托尔、作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯以及博尔赫斯短篇小说《阿莱夫》的主人公卡洛斯·阿根蒂诺·达内里在这里被视为一个谜题的三块拼图。我们将这三块拼图拼在一起,就会发现一个惊人的数字。


1. 格奥尔格·康托尔

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔(1845-1918年)出生于俄罗斯圣彼得堡,但他一生的大部分时间是在德国度过的,11岁时随家人迁居德国。他被认为是有史以来最伟大的数学家之一,他看待数学的方式令人惊叹。他认为数学的本质是自由,并建议将纯数学称为自由数学[13]。他催生了集合论,大卫·希尔伯特(David Hilbert)将集合论描述为:

康托尔为我们创造的天堂,没有人能把我们驱逐出去。[16]

康托尔认为,不可能只有一个无穷大,但一定有比其他无穷大更大的无穷大。在集合论中,数被视为集合,为了区分它们,他定义了无穷数。他还谈到了绝对无穷(用Ω表示),他将其与上帝相提并论,并认为绝对无穷无法用数学形式化。康托尔将“小的”无限数(相对于上帝而言是小的)命名为阿莱夫0、阿莱夫1、阿莱夫2(表示为ℵ0、ℵ1、ℵ2)等。此外,他还定义了它们之间的运算。

尽管康托尔塑造了一个天堂,但他的身心却生活在地狱中,因为他与精神疾病作斗争,他在哈勒的一家精神病院度过了最后的岁月。此外,在1901年,他的天堂似乎坍塌了,因为伯特兰·罗素(Bertrand Russell)指出,他的集合论本身就包含一个悖论。事实上,康托尔的理论并不排除存在一个包含所有不属于自己的集合的集合:

R = {S :S是集合,且S不是S的元素}。

这个集合属于它自己吗?任何答案都会导致矛盾,这一悖论的发现使数学界对康托尔理论的稳健性产生了怀疑。后来,数学家恩斯特·泽梅洛(Ernst Zermelo)、阿道夫·亚伯拉罕·哈列维·弗兰克尔(Adolf Abraham Halevi Fraenkel)和阿尔伯特·索拉尔夫·斯科莱姆(Albert Thoralf Skolem)对集合论进行了新的公理化,成功地将康托尔的天堂从悖论中解脱出来。然而,康托尔的生命却没有得到挽救,今天,月球黑暗面上的一个陨石坑就是以格奥尔格·康托尔的名字命名的,以纪念他的黑暗命运。

2. 博尔赫斯的数学

豪尔赫·弗朗西斯科·伊西多罗·路易斯·博尔赫斯·阿塞韦多(1899-1986 年)出生于阿根廷布宜诺斯艾利斯,卒于日内瓦,一生留下了不朽的文学遗产,其中包括充满创造力、想象力、梦想和数学的奇妙作品。1971年,当诺贝尔经济学奖和图灵奖获得者赫伯特·西蒙采访他时,博尔赫斯说:

“我的许多想法都是对的:的确,我的许多想法都来自于对逻辑和数学书籍的阅读。但话虽如此,每当我开始阅读这些书籍时,我都会觉得它们打败了我,我还没能完全理解它们。[24]”

我读过博尔赫斯的许多作品,我相信他实际上能够充分理解许多令他着迷的数学概念。他利用这种能力创造了奇迹。博尔赫斯的做法与《爱丽丝漫游奇境记》[11] 的作者、数学家刘易斯·卡罗尔的做法相似。也就是说,他推倒了人类筑起的一堵将数学与文学隔开的墙。

关于博尔赫斯在写作中运用数学的文献浩如烟海(参见[1, 2, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25])。他的作品中经常出现的两个数学概念是悖论和无限。关于时间的无限性,他说:

永恒是一种绚丽的艺术,它把我们从时间流逝的难以忍受的压迫中解放出来,哪怕只是片刻。[4]

他在《卡夫卡和他的先驱们》[9]、《阿喀琉斯和乌龟的永恒竞赛》[3]和《乌龟的化身》[5]中,从哲学和数学的角度讨论了阿喀琉斯和乌龟的悖论。在《死亡与指南针》[7]中,他利用了这一悖论,但并未明确提及:

沙尔拉赫,当你以其他化身追捕我时,在 A 处假装犯罪(或确实犯罪),然后在距离 A 处8公里的 B 处第二次犯罪,然后在距离 A 和 B 处4公里的 C 处第三次犯罪,在这两个地方的中途。稍后在 D 处等我,D 处距离 A 和 C 两公里,再次位于两者的中途。

博尔赫斯在接受赫伯特·西蒙(Herbert Simon)[24] 的采访时也说过,他从罗素的数学著作中获得了灵感。因此,罗素悖论经常以各种形式出现在博尔赫斯的作品中也就不足为奇了。例如,博尔赫斯多次提到[22]一幅地图,约西亚·罗伊斯在其著作《世界与个人》[23]中将其描述为一幅在英格兰的一部分土地上完美描绘的英格兰地图。这幅地图如此精确,以至于它包含了一幅地图的地图,而这幅地图又包含了一幅地图的地图,如此等等。这种自指地图让人联想到罗素悖论;我们在博尔赫斯的《巴别图书馆》[6] 中也能找到类似的想法:

像所有图书馆的人一样,我年轻时也曾旅行;我曾漫步寻找一本书,也许是目录中的目录;

以及《阿莱夫》[8]。这就是我们现在要进一步分析的故事1。

3. 卡洛斯·阿根蒂诺·达内里

博尔赫斯的短篇小说《阿莱夫》[8]中只有两个活跃的人物:一个是博尔赫斯本人,另一个是被博尔赫斯描述为狂妄自大的诗人卡洛斯·阿根蒂诺·达内里。卡洛斯小时候在地窖里发现了一个“阿莱夫”:

空间中包含所有其它点的点之一。……世界上唯一一个所有地方都在的地方……从每个角度看,每个地方都清晰可见,没有任何混淆或融合。

自从发现了它,卡洛斯就对它着了迷。因为他能从阿莱夫看到宇宙的每个角度,所以他想写关于世界每个角度的诗句。但博尔赫斯并不欣赏卡洛斯的诗歌和个性。他甚至无法完全理解他们,直到有一天,他在卡洛斯的地窖里亲眼看到了阿莱夫:

我从每一个点和角度看到了阿莱夫,在阿莱夫中我看到了世界,在世界中看到了阿莱夫,在阿莱夫中看到了世界;我看到了自己的脸和自己的肠子;我看到了你的脸;我感到头晕目眩,流下了眼泪,因为我的眼睛看到了那个秘密的、猜想中的物体,它的名字是所有人都知道的,但却没有人看过--无法想象的宇宙。我感到无限惊奇,无限怜悯。

4. 博尔赫斯的阿莱夫和康托尔的天堂

尽管博尔赫斯的“阿莱夫”在概念上与康托尔的“阿莱夫数”大相径庭,但博尔赫斯显然想向康托尔的集合论致敬。这不仅体现在名称的选择上,也体现在对罗素悖论的引用上(在阿莱夫数中我看到了世界,在世界中看到了阿莱夫数,在阿莱夫数中看到了世界),还体现在博尔赫斯对这一主题的了解上。在短篇小说的结尾,博尔赫斯在谈到包含所有其他点的那个点的名字时,也直接提到了康托尔的著作。他说,他从卡洛斯那里听说了“阿莱夫”这个名字,但他不知道卡洛斯是从哪里知道这个名字的。他说,ℵ是希伯来字母表的第一个字母,也是 Mengenlehre(德语,集合论)中用来表示无穷级数的字母。有趣的是,康托尔的名字并没有出现在这篇短篇小说的西班牙文原版中,但却出现在由诺曼·托马斯·迪·乔瓦尼与博尔赫斯合作翻译的英文版中。

我也扪心自问:如果博尔赫斯想让卡洛斯·阿根蒂诺·达内里以某种方式诠释格奥尔格·康托尔,那会怎样?卡洛斯是发现阿莱夫(他说是我的阿莱夫)的人,他对阿莱夫如此着迷,以至于变成了一个疯子。康托尔是“阿莱夫数之父”,他曾与精神健康问题作斗争。但是,康托尔的人生并没有一个美好的结局,而卡洛斯在博尔赫斯的故事中确实从他的问题中恢复过来了(我不会告诉你他是如何恢复过来的)。我认为博尔赫斯也想给坎特的人生一个圆满的结局。我想,在博尔赫斯的这些篇章的结尾,康托尔又找到了他作品中一贯的自由。

参考文献

[1] William Goldbloom Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, Oxford University Press, 2008.

[2] William Goldbloom Bloch, “Lost in a Good Book: Jorge Borges’ In escapable Labyrinth,” pages 155-165 in Imagine Math: Between Culture and Mathematics, edited by Michele Emmer (Springer Verlag Italia,2012).

[3] Jorge Luis Borges, “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga,” in Discusión, Bs. As., Manuel Gleizer, 1932.

[4] Jorge Luis Borges, Historia de la eternidad, Viau y Zona, Buenos Aires, 1936.

[5] Jorge Luis Borges, Los avatares de la tortuga, Sur, 1939.

[6] Jorge Luis Borges, “La biblioteca de Babel,” in El Jardín de senderos que se bifurcan (Sur, 1941).

[7] Jorge Luis Borges, La muerte y la brújula, Sur, 1942.

[8] Jorge Luis Borges, “The Aleph,” translation by Norman Thomas Di Giovanni in collaboration with the author, 1945.

[9] Jorge Luis Borges, Otras inquisiciones, chapter Kafka y susprecursores, Sur, 1952.

[10] Baylee Brits, Mathematics and Modernism: Jorge Luis Borges, Samuel Beckett and J.M. Coetzee, PhD thesis, University of New South Wales, 2015.

[11] Lewis Carroll, Alice’s Adventures in Wonderland, Macmillan, 1865.

[12] Gemma Curto, “Chaos and Borges: A map of infinite bifurcations,” Anuari de Filologia. Literatures Contemporànies, Volume 7 (2017), pages 33–47.

[13] Joseph Warren Dauben, “Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite,” Journal of the History of Ideas, Volume 38 Issue 1 (1977), pages 85–108.

[14] Oscar Antonio Di Marco, “Borges, the Quantum Theory and Parallel Universes,” The Journal of American Science, Volume 2 Issue 1 (2006). doi:10.7537/marsjas020106.01

[15] N. Katherine Hayles, Chaos and order: complex dynamics in literature and science, University of Chicago Press, 1991.

[16] David Hilbert, “Über das unendliche,” Mathematische Annalen, Volume 95 (1926), pages 161–190.

[17] John T. Irwin, The Mystery to a Solution: Poe, Borges, and the Analytic Detective Story, Johns Hopkins Univ. Pr., 1993.

[18] Siva Prashant Kumar, Borges and Mathematics. Los juegos con eltiempoy con lo infinito, Master’s thesis, University of Sydney, 2015.

[19] Ema Lapidot, Borges and Artificial Intelligence: An Analysis in the Style of Pierre Menard, Peter Lang Inc., International Academic Publishers, 1991.

[20] Guillermo Martínez, Borges y la matemática, Seix Barral, 2006.

[21] Floyd Merrell, Unthinking Thinking: Jorge Luis Borges, Mathematics and the New Physics, Purdue University Press, 1991.

[22] Piergiorgio Odifreddi, “Un matematico legge Borges,” Asia – Associazione Spazio Interiore Ambiente, 1997.

[23] Josiah Royce, The World and the Individual, Peter Smith Pub Inc, 1976.

[24] Herbert Simon, “Borges–Simon: detrás del laberinto,” Revista Primera Plana, 1971.

[25] Allen Thiher, Fiction Refracts Science: Modernist Writers From Proust To Borges, University of Missouri Press, Columbia, 2005.

[26] Raffaella Mulas, The Aleph of Borges and the Paradise of Cantor

青山不改,绿水长流,在下告退。

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