【未来虫教育】Python在数学建模中的应用

Mathematic in Modeling with Python 之数据预处理

标准化：数据的标准化（normalization）是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。

标准化基于正态分布的假设，将数据变换为均值为0、标准差为1的标准正态分布。但即使数据不服从正态分布，也可以用此法。特别适用于数据的最大值和最小值未知，或存在孤立点。

主要方法： z-score标准化，即零-均值标准化（常用方法）

$$y=\frac{x-μ}σ$$

~~~~~~~ 下面看看在Python中的实现

方法１.scale可以直接对数组进行标准化，请看下例：

import numpy as npfrom sklearn import preprocessingX_train=np.array([[1,50,500],[2,40,400],[5,55,666]])X_scaled=preprocessing.scale(X_train,axis=0)#axis默认值就是０，所以也可以不写print X_scaled #标准化后的数据[[-0.98058068 0.26726124 -0.20054214] [-0.39223227 -1.33630621 -1.11209733] [ 1.37281295 1.06904497 1.31263947]]

咱们可以检验一下这个X_scaled的均值和方差

print X_scaled.mean(axis=0)#均值print X_scaled.std(axis=0)#方差[ 7.40148683e-17 -2.96059473e-16 0.00000000e+00][ 1. 1. 1.]

注意这里的axis=0代表按行处理，也就是把行压缩，也就是对每一列进行标准化，常用！

方法２．from skelearn.preprocessing import StandardScaler

scaler = preprocessing.StandardScaler()scalerStandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)scaler.fit(X_train)StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)scaler.transform(X_train)array([[-0.98058068, 0.26726124, -0.20054214], [-0.39223227, -1.33630621, -1.11209733], [ 1.37281295, 1.06904497, 1.31263947]])

以上是把fit和transform两步分开进行的，我们也可以直接一步完成，如下：

scaler.fit_transform(X_train)array([[-0.98058068, 0.26726124, -0.20054214], [-0.39223227, -1.33630621, -1.11209733], [ 1.37281295, 1.06904497, 1.31263947]])

但是要注意，在实际的建模过程中，我们通常将数据集划分为训练数据集和测试数据集，这时候我们应该分两步进行，先fit训练数据集，并将其定义为一个变量，比如ss,然后用ss来transform训练数据集从而进行模型的拟合，之后在检验模型的拟合度时，首先也要对测试数据集进行transform，这是就要用之前fit好的ss来transform测试数据集了，当然，这里只针对于变量数据，不包括target

（更新：用第二种方法的时候由于fit能记忆均值和方差，所以可以直接进行）

同样可以用均值和方差来进行验证：

print scaler.fit_transform(X_train).mean(axis=0)print scaler.fit_transform(X_train).std(axis=0)[ 7.40148683e-17 -2.96059473e-16 0.00000000e+00][ 1. 1. 1.]

我们一般采用方法２，因为它可以保存训练集中的参数（均值、方差）直接使用其对象转换测试集数据.

其实，对数据进行标准化的数学方法不止上面这一个，还有以下几个：

• 离差标准化

则是对原始数据的一个线性变换，公式如下：

$$y=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}$$

这种方法有个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致$x_{max}$和$x_{min}$的变化，需要重新定义。

下面来编程模拟实现一个实例：

import numpy as npx=np.array([[1.5,8.8,2.3],[5.8,5.0,6.2],[7.2,8.3,9.6],[4.4,5.5,6.6]])xarray([[ 1.5, 8.8, 2.3], [ 5.8, 5. , 6.2], [ 7.2, 8.3, 9.6], [ 4.4, 5.5, 6.6]])x.shape(4, 3)X_NEW=[]for i in range(0,x.shape[1]): x_new=(x[:,i]-min(x[:,i]))/(max(x[:,i])-min(x[:,i])) print x_new X_NEW.append(x_new)[ 0. 0.75438596 1. 0.50877193][ 1. 0. 0.86842105 0.13157895][ 0. 0.53424658 1. 0.5890411 ]np.array(X_NEW).transpose()#最终数据array([[ 0. , 1. , 0. ], [ 0.75438596, 0. , 0.53424658], [ 1. , 0.86842105, 1. ], [ 0.50877193, 0.13157895, 0.5890411 ]])

当然，我们也可以直接调用sklearn中的MinMaxScaler()来实现上述功能：

from sklearn import preprocessing min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler() X_minMax = min_max_scaler.fit_transform(x)X_minMax#最终数据array([[ 0. , 1. , 0. ], [ 0.75438596, 0. , 0.53424658], [ 1. , 0.86842105, 1. ], [ 0.50877193, 0.13157895, 0.5890411 ]])

结果是一模一样的！

为了方便起见，我们今后就直接调用MinMaxScaler() 就好了.

离差标准化可以扩展一下，比如我们想要把数据映射到－１和１之间，那么就采用以下数学公式：

$$x_{new}=\frac{x-x_{mean}}{x_{max}-x_{min}}$$

编程模拟一下，直接对之前的代码做一些改动就可以了，如下：

import numpy as npx=np.array([[1.0,2.2,3.3],[5.2,3.3,2.2],[1.3,2.5,6.8]])X_NEW=[]for i in range(x.shape[1]): x_new=(x[:,i]-np.mean(x[:,i]))/(max(x[:,i])-min(x[:,i])) print x_new X_NEW.append(x_new)[-0.56578947 0.18859649 0.43421053 -0.05701754][ 0.5 -0.5 0.36842105 -0.36842105][-0.53082192 0.00342466 0.46917808 0.05821918]np.array(X_NEW).transpose()#最终数据array([[-0.56578947, 0.5 , -0.53082192], [ 0.18859649, -0.5 , 0.00342466], [ 0.43421053, 0.36842105, 0.46917808], [-0.05701754, -0.36842105, 0.05821918]])

以上都是些常用的数据标准化方法，还有一些不太常用的方法，比如：

• 对数Logistic模式：

$$X_{new}=\frac{1}{1+e^{-X_{old}}}$$

得出的数都在０和１之间

最后来说一下数据正则化

正则化主要是用于解决过拟合，正则性衡量了函数光滑的程度，正则性越高，函数越光滑。（光滑衡量了函数的可导性，如果一个函数是光滑函数，则该函数无穷可导，即任意n阶可导）.
采用正则化方法会自动削弱不重要的特征变量，自动从许多的特征变量中”提取“重要的特征变量，减小特征变量的数量级。这个方法非常有效，当我们有很多特征变量时，其中每一个变量都能对预测产生一点影响。我们可以有很多特征变量，其中每一个变量都是有用的，因此我们不希望把它们删掉，这就导致了正则化概念的发生。

看一下在sklearn中的调用方法

import numpy as npfrom sklearn.preprocessing import normalizex=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])xarray([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(x) # fit does nothingnormalizerNormalizer(copy=True, norm='l2')normalizer.transform(x)#最终结果array([[ 0.26726124, 0.53452248, 0.80178373], [ 0.45584231, 0.56980288, 0.68376346], [ 0.50257071, 0.57436653, 0.64616234]])