2024年广东省中考数学第22题深入挖掘

2024年广东省中考数学第22题深入挖掘

关于点的存在性探究，一直是压轴题难点所在，把一个点的存在性探究清楚了，那么其余图形的存在性，探究方法可以化归，即解一题，通一类。

2024年广东省中考数学第22题，尤其是第3问，满足条件的点是否存在，需要学生通过推演、作图、猜想、验证去探究，难度较高，平时解题是否养成了解题后反思，至关重要，仅仅只是解完、解对一道题，远远不够，我们需要对题目的条件和结论进行拓展延伸，吃透命题意图，掌握一类解题方法，从本源上破解压轴题。

题目

解析：

01

(1)由旋转可知DE=DA，又DE是△ABC中位线，故DE=1/2BC，同时AD=1/2AB，所以AB=BC；

02

(2)连接AA'，如下图：

仍然由旋转可得等腰△DAA'和等腰△DCC'，且∠ADC=∠A'DC'，于是∠A'DA=∠C'DC，我们可证△DAA'∽△DCC'；

相似三角形得到比例式DA:DC=AA':CC'，而DE是△ABC中位线，得DA=BD，点F是A'B中点，于是DF是△A'BD中位线，于是AA'=2DF，上述比例式可变为BD:DC=2DF:CC'，最后化为乘积式2DF·CD=BD·CC'；

03

(3)从特殊角猜想：∠AGD+∠CGE=180°，若这两个角均为直角，是否可以找到相应的点G？

不妨分别以AD、CE为直径作半圆，如下图：

从作图结果发现，这两个半圆有两个交点F、G，我们首先来验证这两个半圆的相交性，过点N作BC的垂线，如下图：

Rt△BDE三边分别为3，4，5，可证△BNK三边之比为3:4:5，其中BN=BD+DN=41/5，BK=3/5·BN=123/25，NK=4/5·BN=164/25，所以EK=BK-BE=48/25，则MK=EM-EK=256/75，利用勾股定理求得MN，再与这两个半圆半径之和128/15比较，发现MN<128/15，故两个半圆一定相交；

我们选择其中一种情况证明，另一种类似，如下图：

由直径所对的圆周角为直角，可知∠AGD=∠CGE=90°，所以∠AGD+∠CGE=180°；

从特殊到一般：

△ABC中我们过点C作CN⊥AB，得Rt△BCN∽Rt△BDE，如下图：

因此可求出BN=41/5，于是AN=16/5，而AD=32/5，说明点N是AD中点，即CN是AD的垂直平分线；

再作CE和垂直平分线，交CN于点G，连接DG，如下图：

可求出CM=16/3，且△CMG三边之比也为3:4:5，所以可求出GM=4，发现DE=GM，所以四边形DEMG是矩形，此时再连接AG和EG，如下图：

可得∠DGN+∠MGC=90°，而图中△ADG和△CEG均为等腰三角形，所以∠AGD=2∠DGN，∠CGE=2∠MGC，最后也得到∠AGD+∠CGE=180°，意味着我们又找到了一个符合条件的点G；

在上述基础上分别作△ADG和△CEG的外接圆，如下图：

说明除了点G满足要求，两圆交点F也满足要求；

继续挖掘：

回顾前面的探究，分别以AD、CE为直径的两圆交点满足∠AGD+∠CGE=180°，第二次分别以AD、CE为弦的两圆交点也满足，是否还存在更多情况？

我们知道以AD为弦的圆，圆心在AD的垂直平分线上，同理以CE为弦的圆，圆心在CE的垂直平分线上；这两个圆满足什么条件，可使∠AGD+∠CGE=180°呢？在AD的垂直平分线上取点P作为其中一个圆的圆心，连接AP、DP，得圆心角∠APD，同样在CE垂直平分线上取点Q，连接CQ、EQ，得圆心角∠CQE，使∠APD=∠CQE，如下图：

当这两个圆相交时，观察其中一个交点G，如下图：

在圆Q中，我们很容易证明∠CGE=180°-1/2∠CQE，而∠CQE=∠APD，且∠AGD=1/2∠APD，所以∠AGD+∠CGE=180°；

说明只要圆P和圆Q有交点，且交点在△ABC内部，这些交点均满足题目条件；显然这样的交点有无数个，即一定存在这样的点G.

解题思考

这是两种特殊情况，首先由特殊角开始，当∠AGD=∠CGE=90°时，找到两个圆，分别以AD和CE为直径；然后一般化，分别以AD和CE为弦构圆，为了让∠AGD+∠CGE=180°，我们需要它们分别对应的圆心角∠APD+∠CQE=360°，因此当点P在△ABC内时，让圆心Q在△ABC外部，这两个圆有交点在△ABC内即可满足；

上图中，△APD∽△CQE且它们均为等腰三角形，底边分别是AD和CE，若点P在△ABC外部且点Q在△ABC内部时，同样也可以找到满足条件的点G，如下图：

当然，最后如果我们留意下符合条件的点G的轨迹，更有意思，但不在本文讨论范围内，有兴趣的老师们可继续研究。