为什么数学能实现世界“大一统”？

从信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯、刀斧之下依然从容演算的阿基米德，到探索宇宙奥秘的近代科学十足伽利略和剔除“我思，故我在”的解析几何之父笛卡尔，再到反对柏拉图主义的现代数学家阿蒂亚，数学思想在千百年来人类的深层思考中不断演变、一脉相承。
为什么世界上有6500 多种语言，却只有一种数学呢？

《最后的数学问题》

作者：[美]马里奥•利维奥

译者：黄征

01

你会说数学语吗？

我在前面比较过数学的抽象概念与文字含义之间的异同，那么，数学是一种语言吗？

无论从数学逻辑还是从语言学的角度来分析，我们都可以看出，在某种程度上，数学的确是一种语言。

布尔、弗雷格、皮亚诺、罗素、怀特海、哥德尔，以及他们在今天的追随者（特别是在哲学句法、语义学和语言学领域里）已经证明，语法和推理与逻辑符号的代数学密切相关。但是，为什么世界上有6500 多种语言，却只有一种数学呢？

事实上，所有不同的语言都有一些共同的结构特点。美国语言学家查尔斯·霍克特（Charles F. Hockett，1916—2000）在 20 世纪 60 年代提出，所有语言都有一种内在的固化的技巧，让新的词汇或短语能被人们比较容易地接受，如“网站主页”“笔记本电脑”等。

同样，所有的人类语言都允许存在抽象概念，如“超现实主义”“匮乏”“伟大”，允许否定的表达，如“不”“尚未”，允许提出基本的假设，如“如果奶奶有轮子，那么她就是一辆汽车”。也许，在所有语言中最重要的两个属性就是“末端开放”（open - endedness）和“刺激自由”（stimulus-freedom）。

末端开放意味着创造闻所未闻的表述，并理解这种表述的能力。比如，我可以很容易地造出这样一个句子：“你不能用口香糖来修建一座大坝。”或许，你在过去从来没有听到过这句话，但你在理解它的意思时却不存在任何障碍。

刺激自由是指在面对刺激时做出回应的能力。比如，创作型歌手卡洛尔·金（Carole King）在她的歌曲中提出了一个问题：“明天你是否依然爱我？”答案应当是如下几种：(1) 我不知道明天我是否还活着；(2) 绝对还爱你；(3) 就算在今天我也不爱你；(4) 不会像爱我的狗那么爱你；(5) 这绝对是你最动听的一首歌；(6) 我想知道，今年谁会赢得澳大利亚网球公开赛的冠军。

说不定，你已经发现这里列举的例子的特征，如抽象、否定、末端开放和演变能力，也正是数学的特点。

我在前面提到过，莱考夫和努涅斯十分重视数学中的隐喻的作用。认知语言学家甚至认为，所有人类语言都使用隐喻来表达几乎所有的事物。

更重要的是，自 1957 年起——正是著名的语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）出版他那本革命性著作《句法结构》的年份 ——许多语言学家开始围绕“通用语法”（universal grammar，指支配所有语言的准则）展开了大量的研究。

那些在表面上各不相同的语言，其背后也许隐藏着令人惊奇的相同结构。事实上正因如此，那么帮助人们把一门语言翻译为另一门语言的词典，才能发挥功用。

02

为什么数学能做到全球统一？

你也许想知道，为什么数学无论是在主题内容上，还是在符号概念上都是全球统一的。这个问题的前半部分尤其引人关注。

大多数数学家一致认为，我们今天所知的数学起源于由古巴比伦、古埃及和古希腊人在实践中发展起来的几何学和算术——它们是数学最基础的分支。

然而，数学是不是必须从那些特定的学科中发展而来？计算机专家斯蒂芬·沃尔弗拉姆（Stephen Wolfram）在他那本皇皇巨著《一门新科学》中提出了相反的观点，他认为这不是必需的。

沃尔弗拉姆表明，通过简单的规则集合——它们类似于计算机程序，通常被称为“细胞自动机”（cellular automata）——人们可以发展出一门完全不同的数学。

细胞自动机可以（至少在原则上可以）用作对自然现象建模的基础工具，借此替代使用了近 3 个世纪之久的微分方程。

那么，是什么促使古代文明发现或发明了独特的数学“标记”呢？

事实上，我也不是十分清楚，但是，这可能与人类感知系统有很大的关系。人类可以容易地发现并感知边、直线和光滑曲线。当你看到一条直线时，你能准确地（仅仅用肉眼）判断出它是一条直线吗？你能辨别出圆形和略微有点发扁的“圆”（椭圆）之间的差别吗？

这种感知能力也许在很大程度上塑造了人类对世界的认识经验，并在此基础上催生了以离散对象（算术）和几何图形（欧几里得几何）为基础的数学。

数学符号走向统一的过程，也许有点像“微软 Windows 系统效应”——假如全世界都在使用微软公司开发的 Windows 操作系统，那不是因为这种“统一”不可避免，而是因为一旦这种操作系统占据了计算机软件的主流市场，那么所有人都不得不使用它，好让交流变得更容易，让自己开发的产品能被他人使用。

同样的道理，西方的符号标记系统正是以这样的方式占据了数学世界的支配地位。

03

数学是发明还是发现？

有意思的是，天文学家和天体物理家用一种有趣的方式对“数学是发明还是发现”的问题给出了自己的解答。

最新研究表明，太阳系外约有 5% 的恒星至少有一个巨行星围绕其运行，就像太阳系中的木星。在整个银河系中，大概也是这个比例。尽管类地行星的精确数量目前还不得而知，但在银河系中充斥着类似的行星，数量可能多达数十亿颗。

即使这类“地球”中只有非常小的一部分位于其主星的可居住带（在这一轨道范围内，行星表面能产生液态水），在这些行星的表面上仍有可能产生生命，特别是智慧生命。

如果我们发现了另一种可以与之交流的智慧生命形式，我们就能借助这种智慧文明发展出的信息来解释宇宙。这样一来，我们不仅能在理解生命起源和进化方面取得巨大的进步，甚至还能把我们的逻辑体系与那些可能比我们高级的文明的逻辑体系进行比较。

更有趣的是，像永恒暴胀这类推测的宇宙学场景，都预测存在多重宇宙。或许在这些宇宙中，不仅自然常量的值与我们的宇宙不同，如力的强度、亚原子微粒的质量比，甚至整个自然法则都有极大差别。

天体物理学家麦克斯·泰格马克认为，每一种宇宙都对应着一种可能的数学结构，或者按他的话说，那应该“就是一种”数学结构。如果泰格马克的理论是正确的，那么这将是“宇宙就是数学”这种观点的终极版本——不是只有一个宇宙等同于数学，而是所有宇宙都如此。

不过，这种推测过于激进，而且目前根本无法得到验证，更重要的是，它（至少其最简单的形式）似乎与所谓的“折中原则”有矛盾。

我在第 5 章中描述过，当你在大街上随机挑选一个人时，这个人的身高值落在以平均值为中心、以两个标准差值为边界的区间内的概率大约是 95%。同样的道理也适用于研究宇宙的属性。

但是，可能的数学结构的数量会随着复杂性的增加而急剧增长。这意味着，最“普通”（最接近平均值）的数学结构注定非常复杂。这似乎与数学和宇宙学中的简洁性发生了冲突，因此，这也违背了我们最大的期待——我们的宇宙应当是典型的、具有普遍代表性的。

上文节选自人邮图灵《最后的数学问题》，【遇见数学】已获转发授权。

《最后的数学问题》

作者：[美]马里奥•利维奥 译者：黄征

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