切线方法计算方程3x^2(2x+3)^2+21(4x+3)=0的近似值

切线方法计算方程3x^2(2x+3)^2+21(4x+3)=0在[-1.50,-0.75]的近似值

主要内容：

根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算3x^2(2x+3)^2+21(4x+3)=0在[-1.50,-0.75]上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。

主要过程：

※.判断方程根的情况

设f(x)=3x^2(2x+3)^2+21(4x+3)，

当x=-1.50时，f(x)=f(-1.50)

=3*(-1.50)^2[2*(-1.50)+3)]^2+21[4*(-1.50)+3]≈-63<0，

当x=-0.75时，f(x)=f(-0.75)

=3*(-0.75)^2[2*(-0.75)+3)]^2+21[4*(-0.75)+3]≈3.80>0，

可知在区间[-1.50,-0.75]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：

对x求导有：

f'(x)=6x(2x+3)^2+3x^2*4(2x+3)+84，

=6x(2x+3)(4x+3)+84,

当x∈[-1.50,-0.75]时有：

x＜0，2x+3≥0，4x+3≤0,

所以f’(x)＞0，则函数f(x)=3x^2(2x+3)^2+21(4x+3)为增函数，故：

方程3x^2(2x+3)^2+21(4x+3)=0在[-1.50,-0.75]上有唯一实数解。

※.切线法近似计算

根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：

xi=-0.75-f(-0.75)/f'(-0.75)，以下连续用该方程进行计算，则有：

x1=-0.75-f(-0.75)/f'(-0.75)=-0.75-3.80/84=-1.491;

x2=-1.491-f(-1.491)/f'(-1.491)=-1.491--62.2418/84.4773=-0.754;

x3=-0.754-f(-0.754)/f'(-0.754)=-0.754-3.46066/84.1080=-0.795;

x4=-0.795-f(-0.795)/f'(-0.795)=-0.795+0.01041/85.2106=-0.795;

至此，可知以x=-0.795为方程根的近似值，其误差不超过0.001。