开拓数论一个崭新的领域

开拓数论一个崭新的领域

——基础数论讲义稿

1、 问题的提出

1.1 数论的研究范围

我们知道在我们这个宇宙里，数学家们的眼中就只有两样东西，那就是数字和图形，以及数字与图形之间的相互关联。

人类文明早期的数学运算，就是在正、负数和零的领域里进行加减的运算，运算的结果永远不会超出这个数学的“数系”。所以负数整数、正整数和零都属于自然数的范畴。古老的数论其实是限定在“正整数”的范围里的，也就1、2、3……∞的自然数范围内。我们可以叫它“正整数的规律问题”，当然也就是“自然数的规律”。高大上的名字就是叫“数论”。而“数论”的重要性不用我多讲了，它是自然数最基础的东西，就是数学大厦的地基。

基础数论的研究范围限定在“正整数的”的范围内。

1.2对于自然数的分类

数论权威的分类是，

单位：1

素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23……

合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16……

素数的定义：一个大于1的正整数，如果它仅有的“因子”是1和它自己，这个数就是素数，反之就是合数。

1.3 两个关键问题的提出

在这个“地基”里就是这些数最神秘2、3、5、7、11、13、17、19……，这些数叫“素数”（或称质数）。

1是一个及其特殊的数，里面内容很多，不宜过早给它定性下结论。把1定义成一个单位是科学合理的。至于1是不是素数？是不是偶数需要数论界重新定义。

千百年来，对于“自然数里面的规律”，虽然许许多多的数学家们，包括人类历史上最伟大的数学家们都进行了艰难的探索，取得了一些成绩，但是总体上还是失败的。因为至今数学家们都没有找到“素数在自然数里面的规律”，没有那个要找到的“素数公式”，也没有形成一套完整科学的“数论体系”。

数学家们早就知道等差数列中含有素数，但是它们不知道这些不同的等差数列表示的素数之间有什么关系？

看下图一，

比如，数列3N+2、5N+2、6N±1、7N+2、8N+5等等无穷多的数列，数学家们知道里面有素数。他们证明了只要a和b互素，这个等差数列中就会含有素数。他们却不知道这些等差数列之间的关系，每一个等差数列里面的素数是不是无穷多的？

这个问题的重要意义，难度远远大于哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，因为没有被人们炒作也就忽视了。

总之，基础数论面临着这么两个问题。一是当差数列表示素数的问题；二是素数产生的原因以及在自然数里面的分布规律。

2、自然数空间的概念

2.1自然数空间的发现

2001年8月我从国企下岗失业后，异想天开的想靠写科幻小说养活自己。我在国企下岗的原因是因为反对国有资产流失和把职工推向社会不管了。人家开大会批判我是“反对国企改革、反对国企改制的坏分子。”这样一来我不下岗也不行了，不跑恐怕下场更惨，于是我就夹着尾巴逃跑了。

写科幻小说需要看参考资料，而我看的参考资料就是一些老外们写的科普书籍。比如《从一大无穷大》、《现代数学》等等。这里面就有有关于数论问题的科普内容。看后我就想数学家们都是在自然数的内部研究素数的规律，为什么不到自然数的外面寻找整体自然数的规律？一旦找到了自然数的规律这些问题不就解决了吗？于是就有几天，我一直都在冥思苦想，整天都思考（那时2002年上半年，半年多没去打工，没有失业金，也没有收入）自然数里到底有什么规律？

有一天晚上在卫生间里解手，看着墙上的瓷砖发呆。忽然眼前的空间中似乎有一个亮点，像是来自高维时空一样，它在我眼前越变越大。我忽然有了灵感：“全部自然数可以用1、2、3三个自然数来表示。”

2.2 自然数空间概念的表示

我们把全部自然数用不同数量的等差数列组成一组，来代表全部自然数，形成自然数的不同空间，如下表

如果不把自然数用等差数列分成不同的“自然数的空间”，这些问题研究起来相当的困难甚至就是无解。过去数学家们都是在一维自然数空间里，既数列N+1，N=1、2、3……进行研究的。用等差数列代数符号来表示自然数和素数，都是混乱的，都是毫无价值的。因此他们无法深入地探索自然数里的规律。任何一个自然数（包括素数）都会有无穷多的等差数列符号来表示。

有了这个对“自然数空间”的分类，我们就知道以下事实。

1） 每一组“自然数空间”都可以表示全部自然数（正整数）；

2） 在每一组“自然数空间”里总会有一组数个等差数列包含了自然数里面的全部素数。

以上仅仅是一部分性质。

2.3 回答等差数列包含素数之间的关系

把自然数用一组不同数量的当差数列分成不同的空间后，我们会看到这些包含素数的等差数列，比如3N+1、5N+2、6N±1、8N+5……它们是处于不同“自然数空间”的等差数列，不能混淆在一起研究。当然一些证明里有“等差数列”的运算，是不是可以建立一个“等差数系”我没有研究，不过我感觉到了它的存在。

还有就是自然数分成空间后，每一组自然数空间里面的等差数列的素数都是无穷多的，分别包含在了某几个等差数列中。

可以表示成KN+A的形式，其中K是“自然数空间的维数”，N是项数；A是数列的维数。每一组KN+A都可以代表全部自然数。

比如四维自然数空间可以表示成4N+A，代表全部自然数，它包含了这四个等差数列。

4N+1、4N+2、4N+3、4N+4，其中数列4N+1和4N+3包含了自然数里面的全部素数。

2.4 用自然数空间N+1来说明素数的产生和性质

现在我们利用“自然数空间N+1”来研究基础数论里面的几个问题。我不使用“初等数论”这个名词是有原因的。数论没有初等和高等，只有基础和高等。连基本的数论概念都无法确定的时期里，何谈什么高级数论和解析数论？

使用“N+1”空间可以做一个表格如下：

我们观察这个表格可以发现一下性质：

1）正整数（自然数）1、2、3、4……就是一个公差为1的等差数列，我们看可以简单表示成N+1，N是项数，取0、1、2、3……。

2） 自然数里面的合数是这样产生的，

1分别于1、2、3……相乘，结果还是1、2、3……

2分别于1、2、3……相乘，结果是偶数2、4、6……

3分别于1、2、3……相乘，结果是偶数3、6、9……

我们可以这样无穷无尽的写下去。

我们用“合数数列来表示”，就是

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6 ……

第一个数是素数，第二数是系数，取k=1、2、3……，后面数是素数所在的项数。

注意我们不使用权威的“素数定义”，这里的1是一个“单位”，既是合数也是素数。

比如第一项的1就是一个素数1，而1与（N+1）相乘的数都可以看成是1的合数，包括1X1的1。这里我们不讨论1^n的情况。

按这个定义我们可以解释(1X1)/1=1，1X(N+1)/1=(N+1)和1X(N+1)/(N+1)=1的原因。

注意(1X1)/1=1和1X(N+1)/1=(N+1)性质是不同的。这里我们不做讨论。

3） 我们可以写出来一个“合数项方程式”

Nh=a(b+1)+b （公式1）

其中Nh、a,b都是项数。

4） 我们可以写出来一个“素数项公式”

Ns=N-Nh （公式2）

利用这个公式可以求出素数所在的项数N，然后代入N+1就可以得到一个素数。

从上面的表格和公式，我们可以看到素数产生的原因。

从第一个素数出现后，它的合数数列都是以这个素数为周期而出现的合数数列。比如2K+1、7K+6等等。但是项数N是连续的，这样总会出现合数项数N的空位，而这些空位就必须由新的素数来补充进来。这就是素数在自然数里产生的原因。

注意：素数不是随机出现的，不能用《概率论》来讨论素数在自然数里面的分布规律，只要确定了“自然数的空间”，每一个素数都有自己固定的位置N，它们是与项数N一一对应的关系。

在不同的“自然数空间里”素数所对应的位置N也是不相同的。

上面的公式1和公式2，在不同的“自然数的空间”里数量是不同的。比如在6N+A自然数空间里公式2是一组“合数项方程式”，一共有四个公式。这与这个空间里的含素数数列有关。

2.5 合数项公式和素数项公式的应用

利用公式1可以有一个某数是不是素数的判定式，从理论上讲可以求出要多大有多大的素数，这就取决于计算机的功能了。

这里这些问题我们不做详细的讨论。

这些定义和公式，从理论上来讲就为“基础数论” 打下了基础，明确了素数产生的原因和素数在不同的“自然数空间”里的分布规律。

2.6 小结

以上探讨我们解决了数论里面极其重要的两大问题：

一是“自然数空间的分类”，使一些可以表示成素数的等差数列有了明确的意义。明确了这些等差数列之间的关系，及其这类含有素数的等差数列，里面含有的素数都是无穷多的。

二是明确了素数在自然数里面产生的原因，有了一个相对于“素数公式”的“素数项公式”。也就是说我们在传统意义上所寻找的素数公式是不存在的，但是可以有一个相对的“素数项公式”来代替那个不存在的影子素数公式。

自然数空间的概念以及“合数项公式”和“素数项公式”，决定了“基础数论”的基础，为数论的发展研究打开了一个新的领域。

3、几个特殊自然数空间的介绍

3.1 介绍3N+A空间

我们用3N+A空间做一个表格如下，

注意：任何空间都可以做这样一个表格。

这样我们就会注意到，数列3N+1和3N+2里面包含了自然数里面的全部素数，并且每一个数列里面的素数都是无穷多的。而像6N±1是在自然数六维空间里。

这就解决了数学家们多年来对等差数列含有素数有关规律的困惑。

3.2 介绍6N+A空间

3.2.1 公式的来源

这个空间包含着六个等差数列，公式如下

（ 公式3）

这个公式的来源很特殊，开始我是使用一般的等差数列的形式，就是6N+1、6N+2……6N+6的形式，但是很难处理问题。有一天受到《西安半坡》杂志上一个残陶图片上的图案启发，才写成了这个形式。我给它命名为“仰韶公式”。

这部分被别人剽窃的很多。

用这个公式写一个表格如下，

3.2.2 基本性质

1）在这个数表里有许多奥秘，我们只研究了一部分，我们分别研究一下。

如果把这六个公式看成6个数字，从下往上分别记住A、B、C、D、E、F 六个数，这六个数可以进行四则运算，比如

B+D=(6N-1)+(6N+1)=2(6N)=2C。

B+2=(6N-1)+2=(6N+1)=D。

或表示成，6N+2=(6a+1)+(6b+1)=6ab+2 其中a、b都是项数。

6N= (6a+1)+(6b-1)=(6b-1)+(6a+1)=6ab

这里面还有许多内容，不再多讲。

2）数列6N±1 里面包含了除2、3外的全部自然数里的素数和这些素数的合数。观察这个表会看到素数出现的原因和形成合数的原因。比如，在数列6N+1里面，项数N=1时，数列是7。当N=8时，就出现了7的第一个合数49.用公式表示就是，7K+1 K=1、2、3…… 比如 K=1时，N=8从第8项开始第17项，第22项一直下去都是7的倍数的合数。

以此类推有，13K+2、19K+3等等都是出现一个素数后，到了自身倍数的项后，后面都是出现这个素数的合数项。

由此我们可以观察到出现素数的原因：项数N的位置，在素数的周期中出现了空缺，必然就会有素数来填补。由此也可以看到素数的合数是如何出现的。

3）数列6N+2、6N-2和6N都是自然数里的偶数。我们观察这个数表可以看到一个规律。比如，在偶数数列6N+2里去一个项数N，N=15，相对应的偶数是92。

92=7+85=13+79=19+73=25+67=31+61=37+55=43+49

如果我们把这些两两相加的数看成一个数对，那么在偶数数列里，每取一个项数N，在相对应的数列6N+1或6N-1里，总会有一组素数对相对应。

随着项数N的增大，这个对应的数对组里的数对也在增多。关键问题是，这些数对有这几种情况：素数与素数、素数与合数、合数与素数、合数与合数。

我们知道素数在自然数里是有无穷多的，这个前人已经证明了。所以在数列6N+1和6N-1里素数也是有无穷多的。

4 介绍含素数公式

这个公式很重要，所以我单独把它选做一节来介绍。

4.1 含素数公式

（公式 4）

从“仰韶公式”可以直观地看到，这个公式包含了自然数里除2、3以外的全部素数。这点不需要证明。当然这个里面也包含了由素数形成的合数。

用这个公式做一个表格，如下

我们详细的分析这个表格，一步一步的做。

4.1.1 这个表格上面是项数N，它是全体自然数1、2、3……直到无穷。它是连续的不间断的，这一点很重要。

4.1.2 数列6N±1是一个特殊型的等差数列，取不同的项数N就会出现一连串的数。比如，7、13、19……；5、11、17……它们相差6。

它们的共同点就是包含了自然数里面除2、3外的全部素数，也有这些素数形成的合数。

4.1.3 我们看在数列6N+1里面的合数是如何产生的？

7X7=49、7X13=91、7X19=133、7X25=175……

13X13=169、13X19=247、13X25=325、13X31=403……

19X19=361、19X25=475、19X31=589……

后面的数以此类推，可以用公式表达 。

6N+1=（6a+1）(6b+1)

整理化简后就是， N=a(6b+1)+b (公式5 )

N是项数，取值范围是1、2、3…… 全体自然数，它是连续的不间断的。

a是第一个数所在的位数，取值范围是1、2、3…… 全体自然数。

（6b+1）的取值范围就是数列里的数7、13、19、25……

b是（6b+1）所在的位数。举例， a =1 就是7 ，b=3 就是19。

a(6b+1)+b = 1X19+3 =22 N=226N+1=6X22+1=133

若a=2 b=2a(6b+1)+b=2X13+2 =28 6X28+1=169

这是数列6N+1里面的数，自身相乘产生的合数。还有一类是数列6N-1里面的数相乘后，在数列6N+1里面成生的合数。

（6c-1）(6d-1)=6N+1 化简整理后，得

N=c(6d-1)-d (公式6 )

4.1.4在数列6N+1 的项数 N 减去这两个合数方程的N后，留下的那些项，就是素数项。

设，Sk 是数列6N+1相对应的素数项。N是数列6+1的项数，N′和N″

是两个合数公式的项，那么有，

Sk = N-N′-N″ = N-a(6b+1)-b-c(6d-1)+d = N-a(6b+1)-c(6d-1)-(b-d) (公式7 )

这个就是在数列6N+1里面的“素数项”公式，虽然可以精确地描述合数的位置，但是也可以看到素数产生的原因和素数的分布规律。

注意，它是“素数项”公式，不是直接描述的素数。转换成素数需要代入6N+1里面去。

4.1.5 下面我们探讨一下在数列6N-1里面合数分布的情况。

就是数列6N-1里面的每一个数，分别与6N+1里面的每一个数相乘的结果。

如，5X7=35、5X13=65、5X19=95……

11X7=77、11X13=143、11X19=209……

用公式表示 就是（6e-1）（6f+1）= 6N-1 或 （6e+1）（6f-1）= 6N-1

这两个公式如果不考虑数字的前后位置，可以用一个公式表示就够用了。但是必须注意与上面的公式1、2不同。后面的数必须与6+1全部数相乘。比如

11X7=77、11X13=143、11X19=209…… 不能11直接与13相乘。用公式表示就是6N-1里面的每一个数（包括合数）必须与6N+1里面的每一个数相乘。

化简整理后得到，

N=e(6f+1)-f (公式 8 )

N=g(6h-1)+h （公式9）

同样，数列6N-1 的素数项公式，是

Sk =N-N′-N″= N-e(6f+1)-g(6h-1)-(f-h) (公式 10 )

4.2 合数方程有无解得判定式

4.2.1 设Sk是数列6N-1里面的素数项，合数方程和它们有无解的判定式。

分析这4个“合数项方程式”就可以知道，项数N是连续取数，是1、2、3……的自然数，而产生的合数却有周期性。那些不被合数项覆盖的项数N就是素数项。代入数列6N±1里面就可以得到一个素数。

这样我们就看到了自然数里素数产生的原因，还有素数在数列6N±1里面是有无穷多的。

4.2.2 这4个“合数项方程式”可以有4个“判定式”，来判别这4个“合数项方程式”有没有解。有解相对应的数就是一个合数，无解相对应的数就是一个素数。判定式如下

在数列6N+1里面

（N-b）/ (6b+1) =K (公式 11)

（N+d）/ (6d-1) =K （公式12）

在数列6N-1里面

（N+f）/ (6f+1) =K (公式 13)

（N-h）/ (6h-1) =K （公式 14）

K必须是正整数，方程才有解。

从这4个判定式中我们可以看到，取一个项数N后，这个N所对应的数，如果是前面“根素数”的合数，那么方程就有解。否则就无解，就是一个新出现的素数。

那些使判定式成立的N，都是6N±1里面的“根素数”形成的合数。而使判定式不成立的N所对应的数，就是一个新的素数。

根素数是指5、7、11、17…….。

4.3含素数公式里的合数项数列

在数列6N-1里面的“合数数列”可以表达如下，

5K+1

7K-1

11K+2

13K-2

…… K=1、2、3……

在数列6N+1里面的“合数数列”可以表达如下，

5K-1

7K+1

11K-2

13K+2

…… K=1、2、3……

注意6N±1里面合数的数量都是一定的，一样多。出现的周期相同。比如，5的周期，7的周期等等。但是合数在两个数列里出现的初始位置不同。

比如，在数列6N-1里面周期7的合数的第一个数，出现在项数N等于6，这个数是35。而在数列6N+1里面，7的第一个合数出现在项数N等于8，这个数是49。

在这两个数列里面素数都是无穷多的，这本身就证明了“在自然数里，孪生素数对是有无穷多的”。

4.4 小结

含素数公式是一个很重要的公式，它有许多实际的使用。比如证明孪生素数有无穷多就用到了它。这就是我单独介绍它的原因。其实从“自然数一维空间”N+1起，至2N+A、3N+A、4N+A、5N+A、6N+A……，乃至无穷它们都有共性和特殊性，都有自己应用的价值。甚至一些特殊的等差数列组，也有自己的价值。这里不做介绍了。

5. 利用这个理论证明三个古老的猜想

5.1 证明哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想简述：

1742年，德国数学家哥德巴赫提出：每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。

5.1.2使用“2N+A”空间代表全部自然数

如果没有这一条，下面的证明都是无效的，毫无意义的。做表格如下，

分析这个表格的性质。

1） 用等差数列2n+1和2n+2表示全部自然数。

2） 数列2n+1是奇数列，但是它包含了除2以外自然数里面的全部素数。

3） 数列2n+2是偶数列，它包含了自然数里面的全部偶数。

4） 我们看到任何一个偶数，都是奇数列两个数的首尾相加。

比如 12=1+11=3+9=5+7 。

5.1.3证明哥德巴赫猜想

我们知道任何一个素数都可以表示成一个奇数与一个形成这个素数的偶数之和。

比如，13=7+6=11+2 17=11+6=15+2 等等。

可以表示成，S=J+P 其中，S是一个素数，J是一个奇数可以表示成2n+1，

P是一个偶数。

在数列2n+1中任取两个素数S′和S″则有，

S′+S″= （2n′+1）+p′+(2n″+1)+p″

整理后，S′+S″= 2（n′+n″）+1+(p′+p″)

分析：

以为素数是任取的，并且两个素数项相加不一定等于素数项，所以n′+n″=n 。

而p′+p″是偶数，可以为0.

所以，2（n′+n″）+1+(p′+p″)等价于 2n+2.

证明完毕。

5.2证明孪生素数猜想

使用6N+A自然数空间， 用含素数公式做一个表格，见图七。

在6N+A空间里，数列6N±1包含了除2、3外的自然里面的全部素数，并且，有

（6N-1）+2=6N+1 这显然是一个“素数对”。见表格里面的（5,7）、（11,13）等等。

在数列6N-1里面的“合数数列”可以表达如下，

5K+1

7K-1

11K+2

13K-2

…… K=1、2、3……

在数列6N+1里面的“合数数列”可以表达如下，

5K-1

7K+1

11K-2

13K+2

…… K=1、2、3……

在这两个数列里面同一个素数产生的合数是一样多的，仅仅是它们的初始位不同。

比如5K+1和5K-1，7K-1和7K+1等等。

我们知道素数在这两个数列中都是有无限多的。假如这两个数列的同一素数的合数数列的初始位相同，就会出现两种情况，合数数对和素数数对。

由于“同一素数形成的合数”在两个数列里出现的初始位不同，所以这两个数列的数对就有四种情况，合数对（121,119）、合数素数对（25,23）、素数合数对（37,35）、素数对（13,11）.

这四种素对每一种都是无穷多的，所以素数对也是无穷多的。

既，在自然数中孪生素数有无穷多。

5.3 证明勒让德猜想

使用6N+A自然数空间，看图六。

1）全部自然数可以用这六个等差数列表示，任何一个等差数列的平方都代表了这个数列的平方，直到无穷大。

2）全部自然数都是这六个等差数列以六为周期重复出现，所以在以六为周期中，必然经过数列6N±1一次，而6N±1既有合数，也有素数。

3）数列(6N-2)ˆ2= 36Nˆ2-24N+4

数列(6N-1)ˆ2= 36Nˆ2-12N+1

数列(6N)ˆ2= 36Nˆ2

数列(6N+1)ˆ2= 36Nˆ2+12N+1

数列(6N+2)ˆ2= 36Nˆ2+24N+4

数列(6N+3)ˆ2= 36Nˆ2+36N+9

某数列的平方数就是这个数列里全部数的平方数。这六个数列的平方数就是全部自然数的平方数。

4）我们在“仰韶公式”任取相邻的两个数（6N-2） 和（6N-1）。

它们平方数的距离是：

（36Nˆ2-12N+1）- （36Nˆ2+24N+4）=12N-3

注意这个项数N不同于仰韶表格里的项数N。

比如N=1 距离是 12X1-3= 9。就是从16到25是9的距离。

当N取2、3、4……时是同样道理，可以得到无穷多的两个相邻数（在数列6N-2和数列6N-1中）的平方数的距离。

其它数列里两个数的平方数的距离，都用同样的方法可求。

注意，这个距离数除以6才是“仰韶公式”里的项数N，这点不要混淆。

5）由两个平方数之间的距离可以决定一个区间（N1，N2）。

N2>N1。

N2里面的合数我们可以用数列6N±1的合数方程求出来。因为在自然数里数列6N±1以6为周期重复出现的，我们可以忽略数列6N+1只研究数列6N-1里面的素数分布，这样不会影响我们的证明的结果。

在数列6N-1里面的合数方程可以使用

N=a(6b+1)-b 来表示，里面的字母都是项数。

于是有，

N2= a″(6b″+1)-b″

N1= a′(6b′+1)-b′

数（6N-2）相邻数（6N-1）的平方数之间的项数是（12N-3）/6 。

在这个区间内的素数表示成Ns，合数表示成Nh。

于是有，

Ns = (N2-N1) – Nh =（12N-3）/6 - ﹝a″(6b″+1)-b″- a′(6b′+1)+b′﹞

整理得，

Ns =﹝（12N-3）/6﹞-﹝6（a″b″- a′b′）+（a″- a′）+（b″- b′）﹞

分析这个公式

前项（12N-3）/6 是一个线性方程，项数N是连续取正整数。

后项是一个二次抛物线方程，不是连续取项数N。

所以，在区间（N1，N2）中总会有素数出现。

这样就证明了在自然数中，任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个质数。即，对任意正整数n，存在质数p，满足n^2 < p < (n+1)^2。

6文章总结

这篇文章的核心是“自然数分空间”的概念，解决了数论界几千年来等差数列表示素数的问题。然后阐述了素数产生的原因和性质。在这个自然数空间的基础上论述了“合数项公式”和“素数项公式”。

利用这个理论解决了“哥德巴赫猜想”、“孪生素数猜想”和“勒让德猜想”问题。其实这仅仅是是一个开始，里面的内容极其丰富，我不再探讨。同样这个理论也可以解决许多古老的数论里面的猜想，这里不再累述。

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