从创立到完善，推动微积分发展历程的12位神级数学天才，除了牛顿与莱布尼茨，你还知道哪些？

“微积分”这一名称最早出现在哪本书中？

第一本微积分教科书又是谁人所写？

微积分究竟是谁人发明的？

著名的洛必达法则居然是伯努利的研究成果？

谁被誉为“分析学的化身”？

谁又被誉为“现代分析学之父”？

哪些数学天才使微积分的创建过程终于画上完美的句号？

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》将带你一一探究上述问题。

本书宛如一座陈列室，汇聚了牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格等十多位数学大师的杰作，当你徜徉其中时会对人类的想象力惊叹不已，当你离去时必然满怀对天才们的钦佩感激之情。作者同读者一起分享了分析学历史中为人景仰的理论成果。

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

作者：[美] William Dunham

译者：李伯民 汪军 张怀勇

艾萨克·牛顿（1642—1727）

艾萨克·牛顿不但是数学上的开创性人物，而且是整个西方思想史上举足轻重的人物。当他出生时，科学尚未确立对中世纪迷信至高无上的统治地位，而在他去世时，理性时代已经步入全盛时期。这一不同寻常的转变在一定程度上应归功于他的贡献。

作为数学家，牛顿被推崇为微积分或者他为之命名的“流数术”的创立者。微积分的起源要追溯到17世纪60年代中期，那时牛顿还是剑桥大学三一学院的一名学生。在那里牛顿专心研究勒内·笛卡儿（1596—1650）、约翰·沃利斯（1616—1703）以及三一学院第一位卢卡斯数学教授艾萨克·巴罗（1630—1677）这样一些先驱们的著作，但是很快他就发现自己进入了一个从未有人涉足的领域。在接下来的几年中，牛顿永远地改变了数学的面貌，传记作家Richard Westfall把他这几年描绘为一个“光芒四射的活动”时期。到1669年，巴罗本人将他的这位继任者和同事形容为“我们学院的一位同伴，非常年轻……，但却是一位具有非凡天赋和卓越才能的人物”。

牛顿的微积分上的主要成就在于将某些表达式转换为无穷级数的广义二项展开式，求无穷级数的逆级数的方法，以及确定曲线之下的面积的求积法则。最后我们介绍一个惊人的结果，即一个角的正弦的级数展开。关于二项展开式的最早描述出现在他回答莱布尼茨询问的《前信》中，那是在他完成最初的研究工作很久以后。本章其他素材来自牛顿1669年的论著《运用无穷多项方程的分析学》，这本著作通常简称为《分析学》。

毋庸置疑，牛顿“早期的工作”几乎总是超越其他任何人深思熟虑的工作。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646—1716）

微积分的两位创建者都因为在其他的方面也有建树而更闻名，这也许是独一无二的。在公众的心目中，艾萨克·牛顿往往被看成一位物理学家，而微积分的共同创建者戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则多半被认为是一位哲学家。这既令人不悦又让人欣喜，不悦是因为这表明人们无视他们在数学上的贡献，而欣喜是由于人们公认创建微积分需要超越一般天才的奇才。

莱布尼茨兴趣广泛，贡献突出，具有渊博的知识。除了哲学和数学，他在历史、法学、语言、神学、逻辑学和外交方面都有杰出的成就。在年仅27岁时，莱布尼茨就凭借他发明的一台机械计算器加入了英国皇家学会，这台可以进行加、减、乘、除运算的机器以其复杂性被公认为一次革命。

虽然晚于牛顿，并且出生在另一个国度，莱布尼茨还是和牛顿一样有着一段热烈进行数学研究的时期。牛顿在17世纪60年代中期已经在剑桥大学建立了他的流数思想，而莱布尼茨是在十年之后在巴黎履行外交使命时完成他自己的奠基工作的。这使牛顿捷足先登，也让牛顿和他的同胞们后来认定这是事关优先权的唯一凭据。但是当莱布尼茨发表他的微积分成果时，牛顿的《分析学》和其他论文仍然以手稿的形式尘封着。关于接着发生的微积分发明权应该归功于哪一位的争论，已有很多著述，而且这并不是一个动听的故事。上百年来，现代学者们终于抹去了国家和个人的感情因素，认定牛顿和莱布尼茨各自独立创建了微积分。像水到渠成的一种观念的产生一样，微积分到了“呼之欲出”的时刻，只是需要极端敏锐的和总揽其成的思想将它变成现实。牛顿恰恰具有这种思想。

毫无疑问，莱布尼茨也具有这种思想。在1672年，他到巴黎担任外交官之前，莱布尼茨还是一个被认为对“阅读冗长的数学证明”缺乏耐心的新手。他不满足于自己的知识，花费时间填补缺口，大量阅读令人敬仰的数学家们的著作，远至古代的欧几里得（公元前3世纪前后），近至他那个时代的帕斯卡（1623—1662）、巴罗以及他一度师从的克里斯琴·惠更斯（1629—1695)。开始的时候困难重重，但是莱布尼茨坚持了下来。他后来回忆说，尽管他还有很多不足，但是“不知从哪里来的自信让我坚信，只要努力我就可以成为他们中的一员”。

莱布尼茨取得的成功是激动人心的。他在一段回忆文章中写道，他很快就“作好进行独立研究的准备，因为我阅读数学文献就如同别人阅读浪漫的小说一样轻松”。在几乎是狼吞虎咽地吸收同时代的人的成果之后，莱布尼茨把他们远远地抛在后面，创造了微积分，从而使他在数学上赢得名垂青史的业绩。

莱布尼茨关于微分学的第一篇论文（1684）

与英吉利海峡对岸的牛顿不同，莱布尼茨愿意发表成果。微积分的第一个刊载形式是莱布尼茨1684年撰写的论文，这篇论文带有一个冗长的标题Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur; et singulare pro illis calculi genus，翻译过来是《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法，它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》。既然涉及求极大值与极小值以及求切线问题，毫无疑问，莱布尼茨的这篇文章是介绍微分法的。两年以后他又发表了另一篇介绍积分法的文章。即使处于早期阶段，莱布尼茨不但构造和整理了许多微积分的基本法则，而且已经用表示 x 的微分和用表示 x 的积分。他的卓越才能之一，正是后来拉普拉斯所说的提供了“一种非常恰当的符号”。

我们主要介绍他在1673年至1674年间证明的两个定理。大部分材料来自莱布尼茨的专著《微分学的历史和起源》，书中叙述了他创建微积分过程中发生的事情。我们讨论的第一个定理是很抽象的所谓变换定理。在它的推导中搀杂着几何技巧，虽然这一点现在不能引起人们的兴趣，而在当初却显示了他的数学天分，产生了我们现在所说的分部积分法的初期形式。第二个结果是第一个结果的推论，被称为“莱布尼茨级数”。

雅各布·伯努利（1654—1705）约翰·伯努利（1667—1748）

通常，一场科学革命不单是需要一位奠基的天才。它往往也需要一位组织天才，去确立科学中的核心思想，对它的产物去粗取精，去伪存真，并使之能为大众理解。一位卓越的建筑设计师可以设计出一幅宏伟的蓝图，但是这份蓝图终究需要一支建筑队伍将其变成一座大厦。

如果说牛顿和莱布尼茨是微积分的建筑设计师，那么正是雅各布·伯努利和约翰·伯努利所做的大量工作，才把微积分建立成今天我们所知的这门学科。这兄弟二人阅读了莱布尼茨从1684年到1686年发表的最早论文，他们发现自己如临决斗前那样兴奋。他们抓住云山雾罩般的阐述，充实它的细节，然后通过与莱布尼茨的交流以及兄弟彼此之间的交流，完善了统一性、条理性和术语。例如，“积分”一词正是雅各布给出的。在他们手中，微积分变成当今学生易于接受的形式，即具有基本的求导法则、积分方法和初等微分方程的解法。

虽然同属优秀的数学家，但是伯努利兄弟二人的个人表现完全可以用“不得体”来形容。尤其是约翰，在莱布尼茨与牛顿关于微积分发明权之争中充当了好斗的角色，像莱布尼茨的牛头犬一样，忠实地站在他所尊奉为英雄的“大名鼎鼎的莱布尼茨”一边，甚至声称牛顿不仅没有发明微积分，而且从来没有完全理解它。这当然是对历史上最杰出的一个数学家的粗野无端的攻击。

非常不幸，由于家庭不和睦，雅各布和约翰也以相互争斗为乐。例如，哥哥雅各布称弟弟约翰为“我的学生”，即使是在这个学生的才干已经明显和他相当的时候也是这样。同样，约翰在事隔多年后还在津津乐道地谈论如何在一个晚上解决了困扰雅各布将近一年的一个问题。

尽管他们具有难以相处的执拗天性，但是，伯努利兄弟还是在数学史上写下了浓墨重彩的篇章。雅各布除了在微积分上的贡献以外，还著有《猜度术》一书，在1713年（他去世后）出版。这本书是概率论的经典之作，书中给出大数定律的证明，为了纪念他，人们往往把这个基本结果称为“伯努利定理”。至于约翰，他是世界上第一本微积分教科书的捉刀人。这件事情起于一项协议，按照协议约翰给法国贵族马奎斯·德·洛必达（1661—1704）提供微积分课材料，获取报酬。洛必达随后在1696年整理出版了这些材料，书名为《用于了解曲线的无穷小分析》。在这本书里首次出现“洛必达法则”，虽然同这本书一样，这个法则实际上是约翰·伯努利发现的，但是这个名称在微分学中从此就固定下来。在书的前言里，洛必达表达了对伯努利和莱布尼茨的感谢，他写道：“我无偿地使用了他们的发现，所以只要他们愿意，我真诚地把他们要求拥有的任何东西归还他们。”

性情暴躁的约翰当然不满足于这种表示，他确实声明这个法则是他发明的，而在几年后，他抱怨洛必达用金钱换取他人的才智。当然正如数学史家Dirk Struik所说，是伯努利自己（实际）促成了这起交易。他给我们的简单的劝告是“就让善良的马奎斯持有他的典雅的法则吧，他支付费用了”。为避免再次失去荣誉，约翰写了一篇关于积分学的内容广泛的论文，在1742年用自己的署名发表。

莱昂哈德·欧拉（1707—1783）

无论按何种标准衡量历史上最杰出的数学家，莱昂哈德·欧拉都是其中的佼佼者。在永不枯竭的广泛兴趣的推动下，他使数学发生了彻底的变革，他一方面扩展了像数论、代数学和几何学这样一些早已确立的分支学科的研究范围，同时又创建了像图论、变分学和分拆论这样一些分支学科。数学界在1911年开始出版他的著作集《欧拉全集》，这本身就是一个巨大的挑战。到目前为止，已经出版了70余卷，达25 000多页，还尚未完成此项任务。这个耗费了将近一个世纪时间的庞大的出版项目充分证明了欧拉与生俱来的过人数学天赋。

这种天赋在分析学中表现尤为突出。在已经出版的欧拉著作集中，就有厚厚的18卷近9000页是论述这门学科的。这些著作中包含了函数（1748）、微分学（1755）和积分学（1768）的里程碑式的教材，以及数十篇题材从微分方程到无穷级数以至椭圆积分的论文。因此，欧拉被描绘成“分析学的化身”。

奥古斯丁·路易·柯西（1789—1857）

传记作家Eric Temple Bell有时是轻描淡写地描绘数学家们的丰富多彩的人生的，在他的笔下，“柯西在现代数学中，扮演的角色没有远离舞台的中央”。这个评价是个毋庸置疑的。奥古斯丁·路易·柯西在其一生中写作了大量的书籍和论文，现在出版的选集已超过24卷，其中收集的是有关组合数学、代数、微分方程、复变函数、力学以及光学的论文。同一个世纪之前的莱昂哈德·欧拉一样，奥古斯丁·路易·柯西对后世产生了长远的影响。

柯西在微积分历史上的影响尤其深远。他处于早期开拓者和现代数学家之间的位置上。前者凭借他们的聪明才智拓展了一个充满直觉与质朴的领域，而后者追求的逻辑标准是严格的、普遍的和不可或缺的。柯西没有完成从前者到后者的转变，因为他的思想还需要在随后数十年中进行重大的改进与调整。但是柯西展现的分析学与今天教科书中展现的分析学之间的相似性不能不给现代读者留下深刻印象。

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826—1866）

黎曼在微积分领域的创造性贡献不仅限于几何和复变函数的开创性工作，他对19世纪初微积分理论的完善也为其留下了深远的印记。在那个数学家们开始关注微积分理论严谨性问题的时期，波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱以及维尔斯特拉斯等人全身心投入到了这个领域。黎曼在柏林大学跟随狄利克莱学习，并深入了解了柯西和阿贝尔的工作，因此对微积分理论有着独特的洞察。

1854年，黎曼为了获取哥廷根大学的编外讲师资格，提交了一篇名为《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》的论文，这篇作品不仅内容丰富，思想深刻，而且对分析理论的发展产生了深远影响。与柯西的观点不同，黎曼揭示了可积函数并不一定连续，他提出了一个著名的连续但不可微的反例，最终澄清了连续与可微性的关系，打破了当时普遍的误解。

黎曼的创新还包括引入了我们现在微积分教科书中所教授的黎曼积分概念，他给出了这种积分存在的必要和充分条件。在傅立叶级数的研究上，黎曼运用独特的技术，扩展了狄利克莱关于三角级数收敛条件，提出了黎曼条件，从而得出了关于三角级数收敛与可积的一系列重要定理。他进一步证明，通过调整级数项的顺序，可以确保任何条件收敛的级数以任意指定的方式收敛或发散，这是对传统理论的重大突破。

约瑟夫·刘维尔（1809—1882）

普遍性成为现代分析学的核心，这是在柯西极限定理或黎曼积分中已经明显呈现的一种潮流。这两位超越他们前辈的数学家定义了包容一切的关键性概念，并且在此基础上引出普遍性结论，这些结论不仅对于一两个孤立事例成立，而且对于数量庞大的事例群体也是正确的。这是分析学中一项最有意义的进展。

此外，人们在17世纪还目睹了看起来仿佛相反的一种现象，那就是明显的例子和特殊的反例在分析学中的重要性日益增加。约瑟夫·刘维尔于1851年发现的第一个超越数；以及卡尔·魏尔斯特拉斯在1872年提出的令人惊讶的病态函数。这两个结果分别是它们所处时代的巨大成就，并且提醒我们，在分析学的结论中，只要没有由独特的例子提供的说明，那么就是不完全的。

卡尔·魏尔斯特拉斯（1815—1897）

正如我们所知，在19世纪，数学家们将微积分的严格性提高到一个新的水平。然而，按照我们今天的标准，这些成就并不是无可挑剔的。当你拜读那个时期的数学文献时，犹如聆听音乐大师肖邦在一架三两琴键失调的钢琴上演奏乐章，固然能够怡然自得地鉴赏音乐的神韵，不过间或也会听到些许畸变之音。只有在微积分中消除不精确性的最后痕迹，分析论证变成对于一切实用目的都是无可置疑的时候，数学的新纪元才能到来。魏尔斯特拉斯是实现这个最后转变的最大功臣。

魏尔斯特拉斯沿着一条非传统的道路崭露头角。他在学生时代，成绩并不优异，却热衷于狂饮啤酒和击剑。到30岁时，魏尔斯特拉斯成为德国一所偏僻的大学预科学校（高级中学）的教师，这所学校远离欧洲的学术中心。在白天，他对学生讲授算术和书法，只有在课余且批改完学生的作业之后，年轻的魏尔斯特拉斯方能致力于他的数学研究。

这位名不见经传的来自德国一个不知名小镇的中学教师，在1854年发表了一篇关于阿贝尔积分的论文。凡是读过这篇文章的数学家，无不惊讶万分。很明显，这篇论文的作者，必定是具有非凡天赋的奇才。不出两年，魏尔斯特拉斯在柏林大学谋求到一个职位，受聘为这所大学的教授，并跻身于世界杰出数学家的行列。他的事迹，算得上是一个真实灰姑娘的故事。

魏尔斯特拉斯对分析学作出的贡献是极为显著的，正如他的教学方法是举世闻名的一样。随着他的赫赫名声在德国和欧洲的传播，这位数学大师吸引着渴望师从他的年轻数学家们。在他的门下云集了一大批追随者。那时人们可以见到这样一种真实的场景，患有严重眩晕症的魏尔斯特拉斯坐在一把安乐椅上授课，而由一名指派的学生把他的话写在黑板上。（这样一种讲课方式令后来的教授们羡慕不已，然而是几乎无法重现的。）

如果说魏尔斯特拉斯的执教风格是异乎寻常的话，那么他对待发表研究成果的态度也是与众不同的。尽管他的讲课充满了新颖的观点和重要概念，但是他疏于发表文章，而是经常让别人从他们自己的著述中去传播这样的知识。因此人们发现，他的成果是笼统地属于魏尔斯特拉斯学派的。那些信仰“不发表就是毁灭”的现代学者们，很难理解这种非占有式的学术观念。魏尔斯特拉斯以创立具有重大意义的数学为己任，宁愿去冒毁灭的风险。

魏尔斯特拉斯学派通过魏尔斯特拉斯本人或者他的门生们发表的研究成果，对分析学赋予逻辑上的一种无与伦比的精确性。他矫正了许多难以捉摸的错误概念，证明了大量重要的定理，并且构造出一个令数学家们惊叹不已的处处连续而又不可微的函数的反例。卡尔·魏尔斯特拉斯更是被誉为“现代分析学之父”。

格奥尔格·康托尔（1845—1918）

格奥尔格·康托尔于1883年写下这样的名句：“数学的本质在于它超然的自主性。”在数学家中很少有人如此彻底地信奉这个原则，也很少有人像康托尔那样如此从根本上改变了这门学科的性质。Joseph Dauben在对康托尔著作的研究中，把他描绘成“数学史上最富于想象力的和最有争议的人物之一”。

康托尔出生在一个音乐世家，在他的性情中，更多的是浪漫的艺术家那一面，而不是务实的技术专家这一面。他从事的研究工作最终使他超越数学领域而进入形而上学和神学的疆界。他提出了很多惊世骇俗的论断。例如，他声称莎士比亚的真作是弗朗西斯·培根写成的；再有，他认定自己关于无穷性的理论证明了上帝的存在。康托尔坚定不移地鼓吹这样一些信念，使他走上一条疏远支持者和助长反对者的道路。

与此同时，他在生活中也遇到麻烦。他曾一次又一次地遭受严重抑郁症的折磨，以至最后酿成反复发作的躁狂抑郁症，使他丧失一向追求的“精神活力”。康托尔一次又一次地被送往人们通常所说的神经病院，在那里接受他们提供的治疗。康托尔于1918年病逝在一家精神病医疗机构，走完了他郁郁寡欢的人生路。

这样的坎坷无损于康托尔在数学上取得成功。尽管遭遇不幸，他依然彻底改变了这门学科，而数学的自主性是康托尔情有独钟的。

‌格奥尔格·康托尔在微积分上的主要成就是集合论和超穷数理论的发展，这些理论是19世纪末到20世纪初数学领域最杰出的贡献之一。

维托·沃尔泰拉（1860—1940）

在19世纪后半叶意大利出现的一批并驾齐驱的数学家中，维托·沃尔泰拉是久负盛名的佼佼者。同他的同胞朱佩塞·佩亚诺（1858—1932）、犹金尼奥·贝尔特拉米（1835—1900）和尤里斯·迪尼（1845—1918）一样，由于在像静电学和流体力学这样的应用科学领域以及像数学分析这样的理论研究领域作出了贡献，他在科学史上留下不可磨灭的痕迹。自然，我们在这里要考察的是他的后面一种贡献。

虽然沃尔泰拉出生在亚德里亚海之滨，但是他是在意大利中部的佛罗伦萨长大的，这座城市是意大利文艺复兴运动的发祥地。在佛罗伦萨，沃尔泰拉徜徉于伟大艺术家米开朗琪罗漫步过的街道，就读于以诗人但丁和科学家伽利略命名的学校。15世纪和16世纪佛罗伦萨文艺复兴时代的气息仿佛渗入了他的骨髓，因为沃尔泰拉酷爱艺术、文学和音乐，正如他热爱科学一样。他俨然是一位博学多才的文艺复兴式的人物，虽然那场开始于佛罗伦萨的运动已经过去了三个世纪。

除这些事业外，他的政治勇气也是值得称赞的。沃尔泰拉目睹了法西斯头目墨索里尼在20世纪20年代的发迹和上台，他站在公开反对的立场，并在一份抵抗这个政权的声明上签名。这个举动最终使他丢掉了工作，然而这让他成为意大利那个时代知识界中的一位英雄。直到1940年他去世时，意大利尚未摆脱法西斯统治的灾难，但是沃尔泰拉已经为预期中的美好前景进行了奋勇战斗。

如果说晚年时代的沃尔泰拉展现出了巨大勇气，那么少年时代的他则显示了绝顶的聪慧。年幼的沃尔泰拉早在11岁时就阅读了大学水平的数学教科书，给他青春时期的教师们留下深刻的印象，并且还在高中时已通过某种途径在佛罗伦萨大学谋求得物理学实验助理的职位。他在学术上的发展突飞猛进，并在22岁时所写的物理学博士论文中达到顶峰。

沃尔泰拉的两项早期发现，两者都是在1881年发表的，这是他在高中毕业三年之后。第一项发现是找到一个病态函数，在不断增加的病态函数反例表中又增添了一个新的实例，并且从这个例子找到黎曼积分中以往从未引起人们注意的一个漏洞。第二项发现看似矛盾而实际是正确的，就是获得对于病态函数具有其自身限度的证明，因为沃尔泰拉证明了这样一个定理：不可能存在在每个有理数点连续而在每个无理数点不连续的函数。这样一种函数由于过度病态而无法存在。

勒内·贝尔（1874—1932）

勒内·贝尔在1899年所写的博士论文中，对于集合论在数学分析中的重要性给出如下评价：

一般而论，人们甚至可以说……任何同函数论有关的问题都将导致同集合论有关的某些问题，只要后面这种问题获得解决或者可能解决，原有问题就可以随之解决或者近乎解决。

我们将会见到，贝尔不仅提出了这种见解，而且为促其实现进行了卓有成效的工作。

令人叹惜的是，他在数学上取得成就仅局限在身心还是健全的短暂时期。贝尔体质虚弱，性格内向，他于1892年考进大学，而他的突出才能使他得以到意大利师从沃尔泰拉。贝尔在完成博士论文“论实变函数”之后，执教于法国蒙彼利埃大学（1902年）和第戎大学（1905年）。在这段时间，他的健康状况尽管偶尔欠佳，不过看起来还能应付工作。

但是，接踵而来的一连串疾病摧毁了贝尔原本弱不禁风的身体。他忍受着从食道阻塞到空旷恐惧症严重发作在内的多种病痛的折磨。到1909年，随着病情的恶化，他已经无法继续从事教学工作，而于1914年从第戎大学获准离休。从此以后，贝尔再也没有回到庄严的研究工作岗位。

他在余下的有生之年一直在同身体上和心理上的病魔作斗争，而且生活极度贫困。一位同事把贝尔描绘成“一位天才型人物，他为如此天才付出的代价是由于身体虚弱而引发的接二连三的苦难”。勒内·贝尔终其一生，仅有十余年的岁月是献身于数学研究的美好时期。

亨利·勒贝格（1875—1941）

随着20世纪的到来，数学家们有理由为自己喝彩。微积分已经存在了两个多世纪。它的基础已经不容置疑，许多悬而未决的问题已经宣告解决。自从牛顿和莱布尼茨初创微积分以来，分析学走过了漫长的路程。

适逢其时，亨利·勒贝格卷入到这门学科中来。他在1902年对积分论进行了革命，并且进一步把这场革命推进到实分析，那时他还是巴黎大学的一名才华横溢的博士生。他以一篇博士论文实现了这一目标，那篇论文被描述成“以往所有数学家写就的最佳论文之一”。

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《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

作者：邓纳姆

译者：李伯民 汪军 张怀勇

本书荣获“第七届文津图书奖推荐书目”。

这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导，到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。

文章来源：图灵编辑部