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概率分布深度解析:PMF、PDF和CDF的技术指南

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本文将深入探讨概率分布,详细阐述概率质量函数(PMF)、概率密度函数(PDF)和累积分布函数(CDF)这些核心概念,并通过实际示例进行说明。

在深入探讨PMF、PDF和CDF之前,有必要先简要介绍两种常用的概率分布:正态分布和均匀分布。

正态分布:也称为高斯分布或钟形曲线,正态分布以其均值为中心对称。它广泛应用于描述自然界中的许多现象。诸如人口身高、标准化考试成绩、测量误差等多种实际数据集都呈现正态分布特征。

均匀分布:在均匀分布中,给定范围内的每个结果具有相等的概率。这是最基本的概率分布形式,常用于描述每个结果等可能出现的情况,如公平骰子的投掷结果或0到1之间随机数的选取。



图1左侧展示了正态分布,呈现典型的钟形曲线,以平均值(此处为0)为中心。可以观察到,大多数数值集中在中心区域。右侧图表表示均匀分布,在0到1之间呈现均匀分布,表明每个值具有相等的出现概率。

在数据科学和统计学研究中,理解概率分布方式是核心任务。概率分布函数在这方面发挥着关键作用。本文将详细讨论概率密度函数(PDF)概率质量函数(PMF)累积分布函数(CDF)的概念。我们还将探讨如何从PMF或PDF推导CDF,并为每种情况提供具体示例。

概率质量函数(PMF)

概率质量函数(PMF)专用于描述离散随机变量。它定义了离散随机变量取特定值的概率。PMF为表示不同离散结果的概率提供了一种方法。

例如,在硬币翻转实验中,可能的结果只有正面和反面两种。公平硬币翻转的PMF可以表示为:

P(正面) = 0.5
P(反面) = 0.5

另一个典型示例是投掷六面骰子。PMF表明每个结果(1,2,3,4,5,6)的概率均为0.167(约等于1/6)。

概率密度函数(PDF)

概率密度函数(PDF)用于描述连续随机变量。与为离散值分配概率的PMF不同,PDF描述了随机变量落在特定范围内的可能性。在连续分布中,任一具体点的概率为零,但我们可以通过对PDF在某个区间上进行积分来计算变量落在该区间内的概率。

正态分布(也称为高斯分布)是最常用的连续概率分布之一。其PDF可以表示为:



PDF给出了连续随机变量不同值的相对可能性。

下图直观地展示了PDF和PMF。左图显示了PDF的钟形曲线,曲线下的面积代表连续变量的概率。曲线的峰值位于均值处,其展开程度由标准差决定。右图展示了PMF(以六面骰子投掷为例),表示离散结果,每个可能的结果具有相等的概率。PMF为每个可能的结果分配了具体的概率值。



图3:概率密度函数(左)和概率质量函数(右)的图形表示。

累积分布函数(CDF)

累积分布函数(CDF)是一个函数,它定义了随机变量 X 小于或等于特定值 x 的概率。在数学上CDF 定义为:

F(x) = P(X ≤ x)

CDF 可以理解为概率的"累积和"。它从 0 开始,随着随机变量值的增加而增加,最终达到 1(表示总概率)。

为了更好地理解这些概念,我们将通过两个实例来说明,这些实例与前面解释 PDF 和 PMF 时使用的例子相对应:

示例1:离散随机变量的 CDF(骰子投掷)

考虑投掷一个标准六面骰子的情况。可能的结果是 {1,2,3,4,5,6},每个结果的概率均为 0.167(约等于 1/6)。

我们可以通过累加每个结果的概率来构建 CDF:

当 x = 1 时:P(X ≤ 1) 是结果小于或等于 1 的概率。
F(1) = P(X = 1) = 0.167

当 x = 2 时:P(X ≤ 2) 是结果小于或等于 2 的概率。
F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.167 + 0.167 = 0.333

依此类推,当 x = 6 时,CDF 包括了所有可能的结果(因为骰子不可能产生大于 6 的结果),因此总概率为 1。
F(6) = P(X ≤ 6) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 6) = 1

由此可见CDF 是逐步增加的,累积了每个结果的概率。如果我们绘制这个函数,会得到一个阶梯状的图形,这是离散变量 CDF 的典型特征。

示例2:连续随机变量的 CDF(均匀分布)

现在让我们考虑一个连续变量的情况。假设 X 遵循 0 到 1 之间的均匀分布。均匀分布的 PDF 在区间 [0,1] 内为常数 1,在其他区间为 0。

我们可以通过对 PDF 进行积分来计算 CDF。

对于 x = 0.2,CDF 就是从 0 到 0.2 的 PDF 下的面积。我们对 PDF 在区间 [0, 0.2] 上积分,得到结果 0.2。

对于 x = 1,我们对 PDF 在区间 [0, 1] 上积分,CDF 的值为 1。

由于这是均匀分布,CDF 从 0 线性增加到 1。如果我们绘制这个函数,如下图所示会得到一条从点 (0, 0) 到点 (1, 1) 的直线,反映了 0 和 1 之间所有值具有相等概率的特性。



图4:左图显示了离散随机变量(骰子投掷)的 CDF,展示了骰子投掷结果概率的阶梯式累积。右图是连续随机变量(均匀分布)的 CDF,显示了从 0 到 1 的连续均匀分布概率的平滑线性增加。

结论

累积分布函数(CDF)是理解离散和连续设置中概率分布的强大工具。它使我们能够直观地看到任何给定点之前的累积概率,特别适用于计算区间概率。这些概念在数据分析、统计推断和机器学习算法中有广泛的应用。对于那些正在学习数据科学和统计学的读者,深入理解这些基本概念将为更高级的主题奠定坚实的基础。

https://avoid.overfit.cn/post/4571cfdbae7b43b2b6db94769f433d66

作者:Uzmasherali

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