冯·诺依曼的“算子代数”可能揭秘“时空全息图”

受黑洞之谜的启发，理论物理学家正在推进他们将时空描述为全息图的能力

导语

20世纪30年代的数学突破，正在帮助物理学家理解量子线索如何编织成一个全息时空结构。冯诺依曼的算子代数则重新焕发生机。

研究领域：算子代数，全息对偶，量子场论，时空涌现

Charlie Wood| 作者

酉木木| 翻译、编辑、校对

梧桐阅览| 来源

约翰·冯·诺伊曼几乎达到了人类所能接近的柏拉图式天才的理想境界。6岁时，他已能流利使用古希腊语，这位匈牙利人在青少年时期就取得了重要的数学突破。成年后，他发明了博弈论，并参与设计了原子弹和现代计算机。

在此过程中，年轻的冯·诺伊曼于1932年重写了量子力学的规则，用今天仍在使用的数学语言构建了关于粒子及其涨落和概率行为的全新理论。他并未止步于此。他进一步发展了被称为“算子代数”的框架，以一种更强大但也更抽象的方式来描述量子系统。与他早期的量子理论工作不同，这一框架难以理解，未在理论物理学界广泛流行开来。这一理论实际上超前了整整一个世纪。

然而，在过去几年里，越来越多的物理学家开始重新审视冯·诺伊曼的想法。他的算子代数现在正帮助他们理解迄今为止最神秘的量子系统：时空的底层结构。

在冯·诺伊曼开展这项工作之前，阿尔伯特·爱因斯坦的相对论理论已经将空间和时间融合为一种被称为“时空”的四维结构。爱因斯坦证明，引力是由这种结构中的弯曲产生的。然而，物理学家知道，这种结构并非终极真理。垂死的恒星会穿透它，形成极度扭曲的区域，称为黑洞，在这些区域内广义相对论的方程失效。即使是在时空较为平静的区域，当你放大到最小的尺度时，量子涨落似乎也在将其撕裂。

因此，许多理论物理学家认为，时空将像水、金属和其他许多物质一样，逐渐揭示出其真实本质；看似平滑和简单的介质实际上由复杂的原始量子实体的集合构成。几十年来，理论学家们一直在思考这些实体，以及时空结构是如何从中产生的。

如今，这些物理学家对时空的量子编织有了更深入的理解。他们正在开发新的方法，预测在时空崩解的极端区域会发生什么，并识别出通常能维持时空完整性的条件。冯·诺伊曼晦涩难懂的研究正处在这一进展的核心位置。

“人们对这套理论有些敬畏。”阿姆斯特丹大学的物理学家安东尼·斯佩兰萨 （Antony Speranza） 说道，但“它确实为我们提供了一些代数工具，让我们看到时空是如何出现的。”

涌现的涌现

春天时，我乘火车前往新泽西州普林斯顿，走到风景如画的高等研究院 （Institute for Advanced Study） 校园。这是冯·诺伊曼发展算子代数数学的地方，也是阿尔伯特·爱因斯坦晚年生活的居所。在二人移民美国后，他们都成为该研究院的首批教授之一。这里仍然是基础研究的重要中心。我首先拜访了胡安·马尔达西纳的办公室，这位当今最受尊敬的理论学家之一的办公室内，四周挂满了写字板。

1997年，这位阿根廷物理学家首次发现了空间-时间如何涌现的最著名例子——一个神秘的关系，被称为AdS/CFT对应。“它为你提供了一个关于涌现时空的明确模型。”马尔达西纳告诉我。

这种对应关系可谓是一种引人注目的量子“对偶”。

高等研究院的物理学家胡安·马尔达西纳发现了一种方法，可以将异质时空中的黑洞重新表述为一组量子涨落的集合

为了理解它的工作原理，可以想象你有一张二维金属片，被包裹成一个球体，就像一个空心的铝球 （从二维的角度看，你可以用经度和纬度来定位球体上的任何一点） 。这张金属片上承载着量子粒子，它们可以被看作是量子场中的微小涨落。这些量子场及其涨落遵循复杂但经过充分验证的数学规则，称为量子场论。在这种情况下，涨落遵循一种对偶的理论，称为共形场论（CFT） 。

令人惊讶的是，马尔达西纳和其他人在数千篇论文中探讨的发现是，这个二维表面在数学上等价于它所包围的三维体积，称为“体区”。这种对偶关系产生了一个完整的玩具宇宙。二维边界上某些涨落的集合可能代表体区中的一颗三维恒星，而另一些涨落则可能代表体区中的一颗行星。

这个体区宇宙与我们宇宙的不同之处在于，它的空间本质上具有负能量，使其成为“反德西特” （AdS） 空间。除了这一点之外，它在其他方面看起来和我们的宇宙很相似：它是一个可变形的时空结构，其弯曲产生了引力。AdS/CFT 对应关系打开了一个诱人的可能性：物理学家可以通过只使用他们已经理解的物理学 （量子场论） ，绕过他们尚未理解的物理学 （体区中的量子引力） 。

M.C. 埃舍尔的木刻画《圆极限 IV》展示了一种几何结构，其中无限多的天使和恶魔被装入一个有限的区域。反德西特空间具有相同的几何结构。

这表明引力并不是与常规量子理论分离的东西。”韩国高等科学技术研究院的物理学家Josephine Suh说道。“这意味着引力只是量子理论的一种不同表述。”

马尔达西纳的“全息对偶”将低维边界上的共形场论 （CFT） 与体区中的反德西特 （AdS） 时空联系起来。然而，他的工作并未具体指出边界上的哪些量子涨落模式对应体区中的一颗恒星，哪些则会将时空扭曲成一个黑洞。因此，在接下来的几十年中，研究人员开发出了越来越复杂的方法来解决这一问题。这些方法涉及强大的数学工具，如张量网络和量子纠错码，大致来说，这些方法通过在边界球上敲定特定涨落模式来对应体区中某些位置的测量结果。

没有人确切知道我们真实宇宙的时空结构是否具有全息性质。负能量的AdS空间的一个便利特征是它有一个空间边界，量子涨落可以存在于上面，而我们的宇宙没有这样的边界。但AdS/CFT对偶关系提供了一个探索这种时空涌现的玩具模型。

“AdS/CFT是一个看起来疯狂且愚蠢的建议。”研究全息理论的加州大学伯克利分校物理学家Geoff Penington说。“但是当你尝试所有这些方法时，结果却始终自洽。”

Geoff Penington 在加州大学伯克利分校研究全息理论。他帮助设计了一种新方法来比较两个黑洞的熵。

但是，全息理论尚不能告诉物理学家他们最想知道的事情：在黑洞内部的奇点处发生了什么，这个点是爱因斯坦方程失效、平滑的时空结构崩溃的地方。当宇航员或传感器接近这个奇点时，会观察到什么奇异现象？理论学家们知道如何为黑洞外部的测量生成边界涨落，但他们仍然不知道如何将探测器送入黑洞并提取其读数时对应的节奏。这些问题如今显得深奥，但许多全息理论研究者渴望有一天能将这些涨落编程到未来的量子计算机中，并模拟爱因斯坦时空结构的崩溃。

“如果你想在60年后用量子计算机模拟一个黑洞，你会问什么问题？”麻省理工学院的物理学家乔纳森·索尔斯 （Jonathan Sorce） 说道。“我甚至无法告诉你该做什么计算。”

为了找出答案，物理学家们一直在努力弄清几乎一个世纪前冯·诺伊曼的工作。

完美的时空，无限的纠缠

在2020年，麻省理工学院的物理学家 Hong Liu 正在思考这个问题。黑洞深处的盲点折磨着他。他特别想知道哪一组边界涨落可以模拟黑洞内部的时间流逝——进入黑洞的宇宙飞船上时钟的滴答声。

“这个时间非常神秘。”刘在我访问他的办公室时告诉我，他的桌子上堆满了倾斜的黄色便签纸，仿佛要经历一种普通形式的引力崩塌。“你如何利用这个边界来描述时间在黑洞视界内部的流逝？”

为了调查这个问题，刘和他的学生萨姆·勒图瑟尔 （Sam Leutheusser） 设想了一个他们能想象的最纯粹的时空中的黑洞。在全息理论中，边界上涨落的场越多，体区越接近爱因斯坦的时空结构——平滑而连续。真实的时空 （就像自然界中的其他一切一样） 应经历量子涨落，这会模糊“这里”和“那里”的概念。首先理解平滑的理想时空，可以作为理解由量子 引力理论描述的真实量子涨落时空结构的一种热身问题。

麻省理工学院的教授 Hong Liu 最近称，平滑的时空必须用一种特定类型的代数来描述。

刘和勒图瑟尔 （Leutheusser） 想知道，随着边界场的数量趋向无穷，究竟会发生什么变化——这对应于体区时空最后的量子涨落的绝望一刻。“为了让所有这些时空涌现，什么样的数学和物理结构是必要的？”刘问道。

但是，更多的场意味着更多的问题。这些场中的涨落 （即粒子） 可能会通过一种内在的量子关系——纠缠，彼此依赖。当两个粒子强烈纠缠时，测量它们的方向会发现它们总是指向相反的方向。类似地，某一点的场涨落可能会依赖于其他场中远处的涨落。

由于刘和勒图瑟尔想在时空中描述一个完美光滑的黑洞，他们需要在边界上拥有无限多个量子场。但这会造成问题。边界的任何区域都会有无限量的纠缠，因为该区域内的量子涨落会与其外部的无穷涨落纠缠在一起。因此，熟悉的全息工具变得无用。为了理解从涨落到光滑时空的转变，这对二人组需要掌握这种新的无穷大。

“你真的想找到某种内在的方式来描述这一无限量的纠缠。”刘说。“令人惊讶的是，冯·诺伊曼在1930年代初的一些工作正好是解决这个问题的完美工具。”

不确定性的重要性

到1932年，29岁的冯·诺伊曼重新发明了新兴量子力学的数学语言。将他的新语法粘合在一起的动词是物理动作——比如测量粒子的位置、移动它或将其翻转。通过列出这些操作以及组合它们以产生新操作的规则，可以捕捉到任何量子系统的每个物理方面，从氢原子到太阳系。

这些列表被称为算子代数。它们相当于详细记录了在特定区域内可能发生的一切事情，而对于外部宇宙的其他部分一无所知。

约翰·冯·诺伊曼于1903年出生于匈牙利，他推动或革新了多个领域，包括量子力学、博弈论、计算机科学和信息论。他为所有量子系统开发了一种通用语言，现在正被应用于时空的量子特性。

冯·诺伊曼和他的合作者弗朗西斯·穆雷最终识别出了三种类型的算子代数。每种代数适用于不同类型的物理系统。这些系统通过两个物理量进行分类：纠缠和一种叫做熵的属性。

物理学家在19世纪研究蒸汽机时首次发现了熵。后来，他们理解熵是对不确定性的衡量。例如，你可能知道气体的温度，但你仍然无法确定其所有分子的具体位置。熵计算分子的位置和轨迹可能有多少种状态。同样，在量子系统中，熵也是你无知的量度。它告诉你由于你的量子系统与外部世界之间的纠缠，你无法获取多少信息。

冯·诺伊曼代数明确了系统的纠缠类型，因此也说明了你对系统了解的程度。

类型 I的代数是最简单的。它们描述具有有限部分的系统，这些部分可以与宇宙的其余部分完全解纠缠。因此，如果系统的部分确实与外部发生纠缠，你可以准确地知道它们纠缠了多少。它们的熵是有限的——你的未知是有限的。你总是可以准确计算出它的值。索尔斯 （Sorce） 将这样的代数比作一个烧杯，水位代表熵。你可以看到底部，所以你知道水的高度。

类型 II的代数则更复杂。它们描述具有无限部分的系统，这些部分与外部紧密纠缠。绝对熵是无限的——因此是没有意义的。但该系统具有某种统一性，为你提供了一个参考点。例如，所有部分可能都与外部保持尽可能强的纠缠。那么，如果你解开五个粒子的纠缠，你就知道纠缠减少了五个单位。绝对的不确定量是不可知的，但你比之前稍微不那么不确定了；准确来说，少了五个单位。你无法看到烧杯的底部，但你可以看到水位的升降。

最后一种，类型 III，最糟糕：它描述了一个具有无限部分、与外部无限纠缠的系统，并且在纠缠中没有统一的模式可以帮助你定位。甚至熵的变化也无法知晓。烧杯的底部太远，水位也无法看到。

“类型 III 糟糕透顶，没有人想要处理它们。”佩宁顿 （Penington） 说 （他用的比“糟糕透顶”更强烈的语言） 。

当冯·诺伊曼和穆雷首次遇到类型 III 代数时，他们发现这些代数过于陌生而无法理解。这些代数的性质在接下来的三十多年中仍然是个谜，直到法国数学家阿兰·康斯 （Alain Connes） 在1973年设法定义了它们。此项成就为康斯赢得了菲尔兹奖，数学界的最高荣誉。他确定，类型 III 代数的独特之处与一种可怕的技术属性——模流 （modular flow） 有关。

非常粗略地说，模流类似于时间的流动——但它更抽象。这是一个物理过程，它使系统保持在特定温度下。室温的茶杯自然经历模流 （和正常的物理时间） ，因为它保持在室温下。但是对于一杯冒着热气的茶，模流是保持其永远热的操作序列。这不是自然会发生的事情，因为它需要不断调整所有茶分子的状态，但这是一个可以通过数学方式指定的过程。康斯意识到，类型 III 代数描述的系统与其环境纠缠得如此紧密，以至于系统的模流也与外部发生的事情不可分割。

数学家——以及一些勇敢的物理学家——将继续研究冯·诺伊曼代数及其模流。但只有在过去几年中，量子引力研究人员才开始认识到它们的力量。

外星代数

当刘和勒图瑟尔试图理解黑洞内部发生了什么时，他们将其置于一个完美光滑的体区时空中。他们知道，涨落的量子时空对应于边界上有限数量的纠缠场和一种类型 I 理论。但是，随着他们向边界添加场以确保时空变得光滑，他们发现代数从类型 I 变为类型 III。换句话说，场越多，纠缠越多，时空的行为就越接近其理想化的经典版本。

然后，他们利用类型 III 代数的极度纠缠模流，偷偷窥探潜伏在他们体区中的黑洞。从一个简单的边界涨落模式开始，他们知道这个模式模拟了黑洞外部的测量设备，他们认为涉及类型 III 模流的某种过程将把该设备带入黑洞内部，使其能够测量时间的流动。这个过程实现了刘的目标，即确定什么样的复杂边界波动模式等同于全息黑洞内部的滴答时钟。

“这些新结构给你提供了涌现的时间。”刘说。

他们并不是唯一重新发现冯·诺伊曼代数的物理学家。其他团队也在使用模流来理解黑洞。例如，2017年的一项提议将一个测量设备放入黑洞内部，并以一种方式对其进行扰动，最终使其位于外部。2020年，研究人员想象将一个小黑洞发射到一个更大的黑洞中，并利用小黑洞的模流将其带回。

索尔斯 （Sorce） 在今年春季参与了另一种模流程序的研究，他表示，这些算法都在朝着一个共同的目标努力：理解量子粒子在奇点附近的行为。奇点将位于反德西特空间 （AdS space） 中，而不是在一个现实的宇宙中，但大多数全息研究者预计，所有时空结构都应该以类似的方式出现断裂。 （全息学外的物理学家对这一假设提出质疑。） “如果你能在量子层面理解反德西特空间中的奇点，你会很高兴地宣布在我们宇宙中也能够理解它们。”索尔斯说。

刘和勒图瑟尔将注意力集中在数学物理学中一直是一个相对冷门的领域。“在香港的论文之前。”加州理工学院的数学物理学家埃利奥特·杰斯托 （Elliott Gesteau） 说，“这有点像一个梦想。人们直觉上觉得这一定很重要，但不清楚如何将这种直觉精确化。”

受一种古老怀疑的启发，即某些代数结构可能与时间的流动有关，加州理工学院的物理学家埃利奥特·杰斯托（Elliot Gesteau）最近与刘洪合作，发展了这一想法。

然而，也许更为重要的转折点出现在2022年的一篇论文中，该论文利用刘洪和Leutheusser的代数视角，从AdS/CFT走向我们无边界宇宙迈出了小小的一步。论文的作者是爱德华·威滕 （Edward Witten） ，他可能是当今最受尊敬的理论物理学家，也是唯一一位获得菲尔兹奖的物理学家。

“那时我开始非常感兴趣。”彭宁顿说道。

全息理论

威滕的发现出乎意料。他从刘洪和Leutheusser的全息黑洞入手——这是一种理想化的光滑时空模型，没有震动和量子引力。然后，他微调了边界场，允许极其轻微的量子涨落渗入体积时空中。这一变化将刘洪和Leutheusser所观察到的III型代数转化为II型代数，使得能够计算熵的变化 （尽管熵本身无法计算——水位变得可见，但水杯的底部仍不可见） 。“这完全改变了代数结构。”Speranza说道，“就像一次相变。”

研究人员注意到，威滕的发现并不太依赖于AdS/CFT背景；II型代数似乎是任何在物质存在下轻微震动的黑洞的一个特征。因此，彭宁顿联系了威滕，与Venkatesa Chandrasekaran共同努力，将他的计算从AdS环境中移出。

他们的研究表明，任何时空中轻微的量子理论黑洞都有一个II型代数。通过使用这种代数来计算物质坠入黑洞时熵的变化，他们发现熵确实增加了一个固定量，这正如你所预期的，黑洞是由可重新排列的部分构成的，类似于气体。

爱德华·威滕（Edward Witten），一位在高级研究院工作的物理学家，最近展示了时空的轻微量子涨落可以改变其代数结构，从而使理解变得更加容易。

索尔斯 （Sorce） 称这一发现为“革命性”，因为它呼应了量子力学前历史中的一个关键步骤。在19世纪中叶，物理学家发现了一种神秘的熵，与蒸汽机的效率有关，但他们不确定其意义。随后，在世纪末，乔赛亚·吉布斯 （Josiah Gibbs） 和路德维希·玻尔兹曼 （Ludwig Boltzmann） 研究了如何计算熵的增长——例如，气体膨胀时的熵增加——增强了他们的怀疑，即气体应由类似原子的东西构成。这一研究为量子力学在1900年代通过原子解释气体熵奠定了基础。

对于黑洞，类似的历史可以追溯到1970年代，当时雅各布·贝肯斯坦 （Jacob Bekenstein） 和斯蒂芬·霍金 （Stephen Hawking） 首次发现这些实体具有熵。物理学家们将此理解为，黑洞扭曲的时空结构可能由类似原子的部分组成，就像气体一样。现在，威滕及其合作者为黑洞做的工作与吉布斯和玻尔兹曼对气体所做的相似：他们找到了比较黑洞两种不同状态熵的方法。这是一个更具体的暗示，表明它们的熵确实反映了其微观部分。

代数黑洞计算更严格地强化了霍金和贝肯斯坦工作的另一个信息：熵的增加与黑洞表面积的增长成正比。这一发现表明，一个三维黑洞可以用排列在其二维球面上的类似原子的部分来描述。这是早在马尔达塞那 （Maldacena） 工作之前，物理学家走向全息理论的最初线索之一，现在又从轻微量子涨落的平坦时空代数中重新发现。

“这可以被看作是任何量子引力理论应该是全息的一个论据。”佩宁顿 （Penington） 说道。

放大与缩小

无论是研究如何进入黑洞的研究者，还是从外部计算熵的研究者，都在利用冯·诺依曼代数 （von Neumann algebras） 小心翼翼地朝着终极目标迈进：一个能够处理轻微和剧烈量子引力效应的“任意”时空理论。这种理论将揭示在时空变得过于稀薄、无法以通常方式引导粒子时，奇点附近究竟发生了什么。

理解时空和引力的传统方法是推测微小尺度上现实的本质——粒子？量子波？能量弦？——然后放大查看其是否与我们的世界相符。全息理论家尝试反转这一方法：他们从已知存在的时空结构出发，尽可能深入观察。

冯·诺依曼的工作，映射出索尔斯所称的“允许的数学宇宙”，正在指导研究者们剖析爱因斯坦的时空结构，看看它可以与哪些类型的量子现象一致。这些发现延续了一个长期趋势，即这些线看起来是全息的；它们可以用二维或三维来描述。现在，研究者们渴望了解更多。

“我感觉我们有很大的空间去探索，”刘说。“我发现这些代数方法非常强大。”

在离开马尔达塞那 （Maldacena） 在高等研究院 （Institute for Advanced Study） 的办公室时，我问他，研究全息时空是否改变了他在日常生活中看待世界的方式。他笑着说，当他在校园里走动时，有时会想，他是否真的在从一个纠缠的量子场移动到另一个场。

当我走回普林斯顿火车站时，我试图——虽然并不成功——想象空间的虚无是如何像全息图一样从量子涨落中浮现出来的。我在谷歌地图上注意到，稍微绕路会让我经过一个当地地标，即爱因斯坦在1933年搬到该研究所后居住的房子，那个时候冯·诺依曼也刚到达。爱因斯坦在接下来的二十年里，一直在寻找一个能够将他对时空的描述与量子力学相统一的理论，直到他在1955年去世的那一天。

他并没有成功。而且他可能没有意识到，自己一生的追求与同事冯·诺依曼的代数有任何联系，冯·诺依曼在爱因斯坦去世两年后，53岁时离开了我们的时空。考虑到物理学家们为将这两位天才的工作联系起来而付出的复杂努力，或许这并不奇怪。如果时空的秘密真的埋藏在高度纠缠的量子场的涨落之中，那它们的确是深深隐藏的。

原文链接：https://www.quantamagazine.org/if-the-universe-is-a-hologram-this-long-forgotten-math-could-decode-it-20240925/

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