削菠萝中的数学——综合与实践压轴题探究

削菠萝中的数学

综合与实践压轴题探究

“综合与实践”是义务教育阶段数学课程的四个领域之一，2022版课标在2011版课标基础上，对“综合与实践”领域做了较大调整：部分数学知识的学习被纳入“综合与实践”领域中，加强了综合运用各学科知识的跨学科实践活动，以主题活动、项目学习等形式呈现，在活动中培养学生“会用数学的眼光观察现实世界，会有数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。

对于综合与实践的评价，应强调过程评价，但并不能忽略结果评价，综合与实践活动的成果表现形式多样，例如调查报告、研究笔记、数学小论文、小组展示、主题演讲、问题解决方法集、项目报告书、成果展览、项目模型或作品实物等，对这些结果的评价主观性较强，多采用评委打分再进行综合评判的形式。

随着综合与实践类试题越来越多地出现在中考题，对我们平时的教学也有很强的指导意义，生活中的场景如何变成数学情景，数学情景下如何设置问题等，值得进一步研究与思考。

题目

【发现问题】

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝皮，再斜着铲去菠萝的籽。

【提出问题】

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

【分析问题】

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽可在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数，n>k≥3，d>0)，如图1所示。

小明设计了如下三种铲籽方案：

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为__________，共铲__________行，则铲除全部籽的路径总长为__________;

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为__________;

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

【解决问题】

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价。

解析：

我们观察排列图，由于是交错排列，行与列是错开的，因此理解每一行、每一列、有多少行、有多少列非常关键，如下图：

先看方案1，由于第1行与第2行错开，我们在数的时候，行数是偶数，所以有2k行，每一行有n个籽，相邻两个籽距离为d，因此每一行路径是(n-1)d，方案1的结果就出来了，铲除全部籽的路径总长为2k(n-1)d；

我们用同样的方式来数方案2，有2n列，每一列有k个籽，所以路径总长为2n(k-1)d；

最后来看方案3，斜着的一列，总共有2k个籽，这样斜着的列总共有n列，如下图：

此时斜着的列中，相邻两个籽之间的距离是√2d/2，所以每一个斜着的列，长为√2d/2×(2k-1)，路径总长为√2d/2×(2k-1)n

现在开始比较这三种方案哪种路径最短。

比较代数式的大小，初中阶段常见方法是作差比较或作商比较，显然本题适用于作差比较，推导如下：

2(n-1)kd-2n(k-1)d=2nkd-2kd-2nkd+2kd=2d(n-k)

∵n>k≥3

∴n-k>0

∴2(n-1)kd-2n(k-1)d>0即2(n-1)kd>2n(k-1)d

∴方案2比方案1短；

再来比较方案3与方案2，如下图：

由于n与d均为正数，因此我们只需要研究清楚中括号内的部分的符号即可，令y=(2-√2)k-2+√2/2，显然这是个一次函数，且k≥3，不妨借助图象更直观地发现，如下图：

所以方案3比方案2短；

综上所述，方案3路径总长最短.

对销售员的操作方法评价如下：采用斜着铲籽的方案，可以最大程度减少果肉损失，并且铲籽所需要路径最短，节约铲籽时间。

解题思考

现在市面上卖的菠萝，籽都是用小镊子挖出来的，而不是沿一条线去铲，这样能保存更多果肉，外观上也更完整，卖相好看。如果去水果店或超市买菠萝，人家会很贴心地帮你切成小块，回家只管吃就好。

从数学角度来看削菠萝，无论是用刀去铲，还是用镊子挖，籽与籽之间的间距是必须要考虑的，本题难点在于如何数籽，在交错排列这种状态下，行、列如何确定，间距如何计算，在小学阶段学生就已经接触过，在初中阶段，学生首先要完成的是立体向平面的转化，在圆柱的侧面展开图上进行计算。

本题源自真实情景，综合与实践版块，教材编写时留有巨大的空间，在2022版新课标中，对各学段的综合与实践都进行了说明，不局限于课标中列举的内容，削菠萝正是学生熟悉的生活场景之一。

综合与实践试题化之后，如何对答题结果进行评价，仍然是个难题，以本题为例，要求学生对销售员的操作方法进行评价，是较为主观的结论，与通常数学试题结论的标准化相比，学生可能会不适应，当然更不适应的是阅卷教师，这些现实问题，都需要在今后的教研中思考解决。