严谨数学的奠基者柯西：这与数学科学强调的严格性背道而驰

在一个陌生的领域中做领路人, 对于任何人而言都是困难的. 因此, 尽管经常出现理论不完善和误导方向的状况, 柯西的工作依旧很有见地.

阿贝尔阅读了柯西关于微积分方面的工作, 在给霍尔姆伯的回信中写道:

柯西就是一个疯子, 人们根本没有办法和他相处. 即便如此, 在这个时代, 他却依旧是唯一一个知晓如何进行数学研究的学者. 尽管内容有些凌乱, 柯西的工作仍然十分杰出.

在发生攻占巴士底狱风波之后的一个月零一周后, 柯西在巴黎出生. 因为他父亲当时在巴黎警局位高权重, 他们一家不得不逃离这座城市. 1794年, 罗伯斯庇尔 (Robespierre) 被处决以后, 他们又返回巴黎. 在柯西的成长过程中, 拉普拉斯和拉格朗日都是这个家庭的朋友, 二者都曾对柯西在数学方面的天赋表示赞赏. 1805 年, 柯西进入巴黎综合理工学院学习, 之后获得工学学士学位, 再后来, 柯西在拿破仑的军队里担任中尉.

1810 年, 柯西被派往濒临英吉利海峡的瑟堡地区, 负责将港口设施升级, 为法国舰队入侵英格兰做好准备工作.1812 年 9 月, 厌倦了这种繁重事务的柯西回到了巴黎. 在此后不到两个月里, 柯西提交了一份 84 页的手稿《论交换两个变元函数值取相反数的函数》(“Memoir on functions whose values are equal but of opposite sign when two of their variables are interchanged”), 这是线性代数建立的一个标志. 在其他诸多重要的结果中,柯西还在这篇论文中首次证明了, 两个方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积.

1815 年, 柯西开始在巴黎综合理工学院教书. 1821 年, 柯西为他的学生们出版了第一本微积分的教科书《分析教程》, 标志着微积分理论开始进入严格、准确的阶段. 柯西在《无穷小分析教程概论》(Résumé des leçons· · · sur le Calcul Infinitésimal) 中进一步发展了他的想法. 在《分析教程》的前言里, 柯西对欧拉、拉格朗日随心所欲的风格并不认可:

我的讨论总是力求做到几何学中完全的严谨性, 它并不依赖于来自代数工具的解释. 尽管这些推理只能被视作启发法, 在一些情形下会揭示真理, 然而在我看来, 这种做法与数学科学一直以来所强调的严格性背道而驰.

借助

两个例子, 柯西在《分析教程》的开篇讨论了如何理解极限. 尽管 ϵ-δ 的语言直到 1823 年才在《无穷小分析》(Calcul Infinitésimal) 中首次出现, 代数不等式却比较明显. 例如, 对于第一个极限, 若 x 的取值较小, 借助图 4.2,柯西注意到

由此

所以

的极限显然不会超过 1. 另外, 这个极限也不能小于 1, 因为随着x 无限地接近 0, 三角函数 cos x 可以无限地接近 1.

若使用 ϵ-δ 语言, 如果可以控制 x 和 a 之间的距离, 使得 f(x) 和 L 之间的距离无限地接近, 换言之, 如果对任意的 ϵ > 0, 总存在某个 δ > 0, 使得当 0 < |x − a| < δ 时, 总有 |f(x) − L| < ϵ 成立, 人们称极限存在, 并且用

表示.

若使用这种语言, 对于任意的 ϵ > 0, 可以选取适当的 x, 使其充分地接近于 (但并不等于) 零, 从而函数 cos x 和 1 之间的距离就可以被 ϵ 控制.结合不等式 (4.1), 进而得到 sin(x)/x和 1 之间的距离不会超过 cos x 和 1 之间的距离. 因此, 我们就可以称当 x 趋近于 0 时, 函数sin(x)/x 的极限是 1.

第二个极限

更为棘手. 柯西首先将 x 替换为 1/m，其中m为正整数, 且可以任意大. 写出表达式的二项展开式, 则

显然, 所有的求和项取值均为正. 因此只要 m ⩾ 2, 则表达式的取值大于等于 2. 若 k ⩾ 1, 注意到

因此

换言之, 柯西还证明了 3 是一个上界.

随着 m 增大, 展开式从第二项开始增大, 求和的项数也在变多, 因此

单调递增,而且以3 为上界, 它必然收敛到某个介于2 和 3 之间的数 L.欧拉用字母e标识了这个极限值.“单调递增有上界的数列必然收敛”的断言多少有些微妙, 数学家们还会在 19 世纪下半叶重新审视. 然而, 对于柯西及其同时代的学者们而言, 这个断言似乎过于显然, 并不值得过分关注. 另外, 因为柯西并未给出 L 的准确取值 (e 仅仅是一个记号, 而不是一个数值), 所以我们也无法使用 ϵ-δ 语言进行表述.

柯西晚年

我们不应对柯西过分苛责. 作为试图用欧几里得几何的严密性建立微积分基础的第一人, 柯西不可避免会留下漏洞. 而漏洞的实质体现在函数极限的定义中, 它等价于 ϵ-δ 语言, 却没有 ϵ 或 δ. 若函数 f 定义在以 a 为间断点的某个开区间上 (例如, 形如 (c, a) ∪ (a, b) 的某个区间, 其中 c < a < b), 对于所有以 a 为间断点的开区间, 考虑函数 f 的最大值和最小值.如果存在唯一一个数, 它既不超过所有的最大值, 同时又不小于所有的最小值, 我们就称这样唯一确定的数是函数在点 a 的极限.

这些极限的定义为我们提供了瞬时速度的现代解释, 它们等价于位置函数的导数.

定义 4.1 (导数、瞬时速度, I)在 ϵ-δ 的语言下, 令 s(t) 表示物体在 t 时刻的位移. 我们将 v(a), 即物体在时刻 a 的瞬时速度, 定义为函数 s在 t = a 处的导数; 换言之, 对于任意的 ϵ > 0, 存在某个 δ > 0, 使得当0 < |t − a| < δ 时, 总有

成立.

定义 4.2 (导数、瞬时速度, II)若使用直白的语言, 对于包含点 a 的每一个开区间 I, 考虑以点 a 和区间 I 中其他某一点为端点的平均速度: 令 Mₗ 为平均速度的最大值, 并且令 mₗ 为平均速度的最小值. 接下来缩短区间 I 的长度, 则Mₗ 和 mₗ 之间的距离同样会减小. 对于任意的 I, 我们将物体在 t = a 时刻的瞬时速度定义为不超过Mₗ且不小于mₗ 的唯一值.

尽管上述两个定义本质上等价, 然而它们的确是两种不同的导数定义.对于第一个定义, 我们假定存在某个极限值, 并描述了它需要满足的条件.在第二个定义中, 对于包含点 a 的每一个区间 I, 我们描述的是一个数的集合: 在这个集合里, 所有的数都介于mₗ 和Mₗ 之间. 当且仅当这个集合恰好包含一个元素的时候, 极限才会存在. 这就为 19 世纪的分析学展开了两个重要主题:

(1) 在什么情形下, 这样的元素存在?

(2) 在什么情形下, 这样的元素可以被唯一确定?

在柯西讨论的第二个例子中, 我们知道, 极限的最大值不会超过 3. 但对于极限的最小值, 我们仅仅能确定它肯定大于 2, 而且随着 m 的增大而增大. 因此, 不管是存在性, 还是唯一性, 都并不显然.

上文转自图灵新知，节选自《微积分溯源》，【遇见数学】已获转发许可。

作者：[美]戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆

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