专题讲座05：一元函数的导数与微分问题求解注意事项及典型题分析

今天要讨论的内容是一元函数的导数、微分及其应用，对应于一般的高等数学教材来讲，包含了两个章节的内容，一个是导数与微分，一个是微分中值定理与导数的应用。本次讲座主要探讨的内容是一元函数的导数与微分问题求解注意事项，有关于微分中值定理与导数的应用将在下一讲进行详细分析。

对于其中涉及到的知识点与方法，讲座中只做简要的回顾与总结，重点讨论其中需要注意的问题。同时，对于其中涉及到的极限的计算题型、方法，比如应用导数的定义求极限，应用中值定理求极限，应用洛必达法则，泰勒公式求极限，由于在前面两讲和历届全国大学生数学竞赛初赛非数学（包括部分数学类数学分析问题）真题解析在线课程中都进行了详细的分析与探讨，这里就不再重复了！具体可以参考如下推文：

什么样的问题应该想到应用导数的定义式来求解呢。这里导数的定义还包括左导数与右导数的定义。

定理 函数 在 处可导的充要条件是它在 的左、右导数存在且相等。

思考 导数记号 写在极限等式的左边和写在等式的右边有什么不同?

写在右边，是先不知道函数可导，是因为极限存在了，函数才可导，并且把极限值记作 ! 这是定义过程! 而写在左边，则是已知了函数在 处可导，这个时候导数值也就等于这个极限值。它们对极限变量的要求也是不同的。

写在右边，左边的极限变量，比如 必须从左右两侧的邻域内按照任何方式趋于 0 ，极限值都存在并且相等才成立；写在左边，则表明极限已经是存在了的，自变量的变化过程取任意子变化过程极限都存在，且都等于导数值。这也是导数存在，可以用导数的定义来求函数、数列极限的一个基本依据。

通常用到导数的定义来求解的问题包括如下几个:

(1) 抽象函数可导性与可微性的判定与计算

一元函数可导性与可微性是等价，且函数的微分就等于函数的导数乘以自变量的微分

因此函数可微性的判定和微分的计算，完全可以通过判定函数的可导性，计算函数的导数来确定和得到。

(2) 分段函数分界点处可导性的判定与导数的计算

函数在分界点处左、右两侧表达式不同的时候，考虑左右导数：导数存在的充要条件是左、右导数存在且相等。

(3) 绝对值函数的可导性的讨论. 绝对值函数可导性的讨论与导数的计算，一般改写成分段函数讨论。

(4) 当问题中没有可导的条件，而解题中又需要用到导数，或微分的结论的时候，考虑用导数定义，判定函数的可导性与求导数.

(5) 复杂函数求一点处的导数值，对于有些复杂的函数特定点处的导数值，可能直接使用导数的定义计算导数值更简单。

(6) 计算极限. 对于用导数的定义计算函数，或数列的极限，在前面的讲座中进行了详细的讨论，这里就不再多说了。

对于导数存在性和导数的计算，有这样两点值得注意：

(1) 所有初等函数在定义区间内是连续的，可导的，所以初等函数定义区间内的可导性不需要验证，除非是专门要求证明，函数导数的计算直接应用求导法则求导就可以了。

(2) 函数在一点的连续性与可导性，与函数在该点邻域内的连续性与可导性没有任何关系，只要函数在该点的某个邻域内有定义即可. 比如函数

例 1：设 的定义域为 ，又对任意的 有

证明：若 在 处可导，则 在 上可导.

【参考证明】: 若 在 处可导，在已知等式中令 ，得 ，所以

并且由已知等式可得， ，

所以 在 上可导.

【注】: 例题1代表了一类问题, 就是已知在定义域内任意变量满足的一个抽象函数等式，然后来讨论相关函数的连续性、可导性。对于这类问题一般首先考虑求解、验证方法就是函数连续、函数导数的定义。主要分为两步: 一步通过取自变量为一些特殊的值，依据等式求出一些特殊点的函数值; 第二步，写出需要验证或计算的极限式，再依据已知写出与连续. 导数定义相关的极限式，然后依据等式改写极限式，通过求得的特殊值，或者根据改写再来计算一些特殊的函数值，进而推导验证得到需要的结论。

例 2: 设 ，求 .

【参考解答】:【法1】定义法, 得

【法 2】 运算法则求导, 得

所以 !.

【注】: 这也代表了一类函数的定点导数的计算问题。当遇到所求导数的函数表达式比较复杂，而对应点的函数值非常简单，尤其等于 0 的时候，这个时候导数值也就等于函数表达式除以自变量 x 来求极限 ，这个和上面的函数 在 0 点的导数极限表达式 一样! 通过求极限很快就得到了结果。

二、一元函数导数计算的相关注意事项

这部分咱们不回顾具体的方法，只讨论某些题型，方法使用过程中要注意的一些问题：

1、幂指函数，连乘、连除函数表达式的对数求导法：当遇到的函数表达式具有幂指结构，或者多项连乘、连除结构的时候，可以基于对数函数的运算法则，将函数转换为熟悉的，运算简单的表达式，然后基于求导的四则运算法则与复合函数求导法则来求导。

例 3: 求函数 的导数 .

【提示】:【法 1】改写函数表达式，有

于是由复合函数求导数，得

【法 2】对数函数求导数法，两边取对数，得

于是由复合函数求导数，得

解得

2、在求导过程中，注意区分中间变量与最终变量，如果表达式中包含的变量不是求导变量，则首先应该关于中间变量求导。

比如 ，其中导数符号一撇，默认为对括号里面的表达式求导，这里括号里面是 ，所以是 函数对 变量求导。如果里面是表达式，则是对表达式整体求导，比如 ，它是把 看成一个符号，然后对它求导，如果令 ，也就是 。而

从这里也就可以看到，求导符号一潄写在函数符号上与写在函数表达式外面的区别：写在外面，如果没有注明变量，默认就是对函数表达式中包含的变量求导，同样上面的的求导如果不加下标，也就是 。

3、导函数具有与原函数相同的复合结构. 这一个对于抽象函数的导函数继续求导的时候，要特别注意，因为对于具体函数来说一般不存在这个问题，具体函数的导函数还是具体的函数表达式!

例 4: 设 存在，求 的二阶导数.

【提示】：函数 的复合结构为

利用复合函数求导的链式法则，得

要求二阶导数，则在对一阶导数 求导的时候，继续还是一样复合函数求导法则，得

4、反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。

注意一个是关于 求导，一个是关于 求导，写成微分形式就更好理解了

左边 是求导变量，右边 为求导变量，左边的函数为变量 的函数，右边为变量 的函数。当然，依据 是 的函数，右边表达式也就可以写成 的函数。比如

5、隐函数的导数直接对等式两端关于自变量求导，注意区分最终变量和最终函数，关于函数变量求导时，必须先对函数本身求导，再关于自变量求导；比如

然后解关于导数的方程，就可以得到函数的导数.

值得注意的是，隐函数求导得到的导数结果中，一般同时包含有自变量 ，也可以包含有因变量 ；同样两端可以关于 求导，这个时候 就是函数变量了。对于一阶导数等式，可以两端继续求导，从而可以依据一阶导数的结果得到隐函数确定的函数的二阶、甚至更高阶导数。当然，在实际求导过程中，可以事先先对等式做一定改写变形，使得表达式更简单再来执行求导运算。

比如第一届初赛的第 4 小题与第十二届初赛的第 3 小题。对于这两个竞赛题相对来说还是比较经典的问题，对于它们，如何有效的得到需要的结果，对于隐函数求导的一般思路详细的探讨与分析，以及使用过程中需要注意什么样的问题，大家可以查阅全国大学生数学竞赛真题解析在线课程，在课程中找到这两届的真题解析视频，进行进一步的学习与总结。

6、参数方程一阶求导直接应用参数方程求导公式，高阶求导直接应用复合函数求导公式求导，注意对于导数结果为参变量表达式时，先对参数求导，再乘以参数关于自变量的导数。

例 5: 已知 求 .

【参考解答】：这是 2011 年第二届全国大学生数学竞赛非数学类决赛的一个竞赛题。依据参数方程求导公式，有

进而由复合函数求导法则，得

【注】：对于这个题目，当然也可以通过消元，得到 y 是 x 的函数关系式，然后直接基于一元函数求导法则来得到一阶导数和二阶导数的结果。

7、极坐标方程描述的 之间的函数要求导数时，一般转换为参数方程求导，即

然后再关于参变量求导就可以了。

三、高阶导数的求法

对于高阶导数的求法，主要介绍几个求导的方法以及相关的常见题型以及解决的思路与方法。高阶导数的计算，一般首先考虑的是间接法。

1、间接法：即基于求导运算法则

与基本的高阶导数结论，将遇到的函数转换为熟悉的、有高阶导数通项计算公式的函数进行求解. 常见的有：有理式的部分分式分解和三角函数的分解。所以要对一些常见的高阶导数通项公式熟练掌握，或者能够基于数学归纳法能够推导出来！

2、直接法：逐阶求导，归纳得到一般性结论。一般一些比较基本的函数的 阶导数计算公式都是由直接法推导、归纳得到。比如上面列出来的这些基本的 阶导数公式。

3、莱布尼兹公式：两函数乘积表达式求导. 如果一个相乘的因子是次数较低的多项式函数时，或者其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以考虑使用莱布尼兹公式求导. 已知 两函数具有 阶导数，则

公式中的 0 阶导数就是函数本身。 这三种方法既适用于求 阶导函数表达式，当然也适用于求函数在一点处的 阶导数值。对于函数在一点处的高阶导数值的计算，除了上面的方法，还有一个更有效的方法，泰勒公式法，或者说幂级数方法。

4、一点处的高阶导数值：泰勒公式法或幂级数法. 一般通过间接法，写出函数在给定点处的泰勒公式，或者幂级数，然后基于泰勒公式，或幂级数的唯一性，相同次数项的系数相等，得到函数任意阶导数在一点处的导数值.

例如：第八题全国非数学类竞赛初赛的第 4 题，第十一届非数学决赛的第 2 题，都是属于求指定点处的 阶导数的问题。

5、对于分段点处的高阶导数存在性的判定，或者导数值的计算，一般使用导数的定义，如果所得函数，或导函数在分段点处，左右两侧表达式不同，则还需要使用左右导数的定义来进行判定。

例 6：设 ，试求使 存在的最高阶数 的值.

【参考解答】：直接用定义验证，有如下过程：

于是可得

即 . 继续二阶导函数计算，得

即 . 于是可得

所以 不存在，即使 存在的最高阶数为 .

关于一元函数导数与微分基础性的知识点总结，题型及其求解方法与基础练习题可以参考推文：

以上就是咱们今天探讨的内容，与之相关的更多的典型问题及详细的求解思路与方法可以参考）或中专题练习。

感谢学友们的阅读、关注与支持，咱们下期再见!