专题讲座06：微分中值定理与导数的应用题型与思路分析

今天继续讨论一元函数的导数与微分，主题为微分中值定理与导数的应用。 主要内容包括以下三个部分:

• 微分中值定理与中值命题

• 函数的单调性、极值与最值

• 图形的凹凸性与分析作图法

对于其中涉及到的知识点与方法，讲座中只做简要的回顾与总结，重点讨论其中需要注意的问题和题型的一般性求解思路。对于其中涉及到的知识点、题型和解题思路、方法以及极限的计算题型、方法，比如应用导数的定义求极限，应用中值定理求极限，应用洛必达法则，泰勒公式求极限，由于在前面几讲专题讲座、高等数学课程系列推文、历届全国大学生数学竞赛初赛排数学（包括部分数学类数学分析问题) 真题解析在线课程中都进行了详细的分析与探讨，这里就不再重复了! 具体可以参考如下推文:

对于其中列出的竞赛真题可以先自己动手练习，如果不会可以查阅公众号推文中推送的历届这题及详细参考解答，快速定位方法：公众号底部菜单中的全部推文分类导航选项.

一、微分中值定理与中值命题1、基本概念与基本定理

函数或其导数在某区间中至少存在一点成立的等式或者不等式，常称为中值命题；并且根据等式关系和不等式关系描述的结论分为等式命题与不等式命题.

对于中值命题的证明，通常的方法，也可以说支持的理论依据，经常用到的有这样一些定理:

(1) 中值等式命题证明相关中值定理

介值定理 (零点定理)、最值定理、费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，如果包含有积分项，则还有积分中值定理，而且中积分值定理还有几个不同的形式，比如第一、第二中值定理等，或者一般高等数学教村中给出的积分中值定理，与广义积分中值定理等一些常用的中值定理结论。对于这些定理的条件、结论以及各种变形描述形式，大家一定要记住!

(2) 中值不等式命题证明相关定理

常用的有：最值定理、拉格朗日中值定理、泰勒中值定理等。

(3) 方程根的证明相关中值定理

方程的根的证明与讨论，一般首先考虑的是零点（介值）定理，但是如果遇到方程 有偶重根，或者 在区间 两端点的值不变号，或者是抽象的中值等式，或者函数值的正负难以判定，或者根本无法判断，从而使得零点定理可能无法使用的时候；尤其是包含有导数值的等式，或者可以写成是某个函数的导数值的时候，则一般考虑使用微分中值定理来解决，尤其是首先考虑的是罗尔中值定理来解决.

2、使用零值定理验证根的存在性（零点的存在性）

基本思路：

(1) 移项，使得所需验证中值等式（方程）右端为零，然后令左端中值为变量构建辅助函数；

(2) 确定或构建闭区间，验证端点的函数值符号，如果两个端点函数值乘积异号，则在区间内存在有根；如果非负，则根可能存在于端点或区间内；否则方法失败！需要应用其他方法来验证!

例 1：证明至少存在一点 ，使

【解题分析】：(零值定理)移项，将需要验证的等式所有项移到等式左侧，然后令其中的中值符号为变量 ，

然后构建辅助函数，令 ，验证零值定理条件：函数在区间 上连续，并且有

所以由零值定理，可得结论成立.

3、罗尔中值定理与中值等式的证明

使用罗尔定理通常用来证明中值等式命题。需要证明的等式可以是包含导数的中值等式，也可以是不包含导数的中值等式；或者基于反证法来验证，中值，或者说根、零点的唯一性，或恰有几个的结论。

其实，对于通常中值等式命题的证明，在没有明确具体选择哪种思路，或者说主要考虑哪个定理作为理论支持依据的时候，都可以尝试罗尔定理来证明，而高阶导数中值等式命题还可以多次使用罗尔定理来讨论。

在确定选用罗尔定理来尝试、探索证明中值等式时，可考虑如下基本思路与步骤：

第一步：确定问题类型，变换预证等式：化简、比如有分母的去掉分母，根式的去掉根式，对数转换为真数讨论等等，移项，将等式所有项移动到左侧，使得右侧等于 0.

例 1：证明至少存在一点 ，使

【题型分析】：对于右边的中值项，如果看成是某个函数导数的取值，则可以考虑罗尔定理证明。

【解题分析】：(罗尔中值定理)要证明的等式中的项比较简单，不好做更多的变换，所以直接移项，得

第二步: 构造辅助函数 :将等式中的中值符号，如 ，替换为变量 ，将其转换为函数 在中值的函数值，再次改写、变形函数表达式，计算、构造该函数的一个原函数（即导数为 的一个函数. 当原函数无法直接计算得到时，可以考虑引入不增加导函数零点的辅助函数乘以需要构造原函数来构造原函数，比如这里两端同时乘以

即问题转换为寻找两个函数的乘积的原函数 . 常用的辅助函数有幂函数，指数函数等等。这样也就可以令

第三步：验证条件得出结论：验证构造的原函数 满足罗尔定理的三个条件，并一一列出，然后写明基于罗尔定理的结论，并变换得到与所需证明结论的等价形式. 比如，对于上面构建的辅助函数： 显然在区间 上连续，在 上可导，并且有

即 ，满足罗尔定理的条件，从而可以验证结论成立.

另外，在实际应用微分中值定理验证中值等式，或不等式的过程中，为了更有效的改写、变形所证中值等式命题，对于一些常见的中值等式，及通过凑导数方式构造辅助函数 的形式还是需要熟练掌握的。

4、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理可以写出很多种不同的描述形式，分别使用于不同问题的探讨。但是总的一点就是，拉格朗日中值定理建立起函数值、导数值和自变量取值之间的桥梁，使得能用导数研究函数在区间上的变化性态。

拉格朗日中值定理的应用相对比较广泛，既适用于不等式，也适用于等式的证明，也应用于其他一些符合某些特征的问题.

(1)如果要证明的等式或不等式中，包含有自变量符号，或者对应的端点值、函数值以及导数值，则可以考虑拉格朗日中值定理来证明. 尤其遇到问题中有两个函数值的差，又涉及到函数的导数时，可考虑拉格朗日中值定理，转换函数值的差为导函数值与自变量差值的形式来描述。

(2)由拉格朗日中值定理的有限增量形式和端点的任意性，也可以应用拉格朗日中值定理证明函数不等式的结论.

使用拉格朗日中值定理解题的步骤也和罗尔定理证明中值命题一样，可以大致分为相同的三步：确定问题类型、构建辅助函数、验证条件得出结论。

5、柯西中值定理证明

对于柯西中值定理，在使用过程中有一些要注意的地方：柯西中值定理公式右边分子、分母的 为同一个值，结论中的公式不能看成是右侧分子、分母对应的两个函数，分别应用拉格朗日中值定理相比得到的结果，因为对于两个函数应用拉格朗日中值定理时，对应的中值取值不一定相同.

• 当问题研究的是两个不同函数在两点函数值差的比值，或者可以转换为这种形式的问题，则可以考虑使用柯西中值定理来探索问题的解法.

• 由于柯西中值定理由罗尔定理证明，所以能够用柯西中值定理证明的中值等式， 般还可以考虑利用罗尔定理来证明.

同样, 使用柯西中值定理的步骤也可以概括为三步:确定问题类型、构造辅助函数、验证条件得出结论。关键是要将证明的等式命题, 左端改写成两个函数的在构建的区间在两个端点的函数值的差的比值的结构，石端仅仅改写成仅仅包含中值的表达式。

例 1: 试证至少存在一点 ，使得

【提示】：改写中值等式，有

在确定区间为 以后，通过移项，改写，右端可以写成 和对数函数 在端点自然常数 e 和数值 1 端点的函数值的差的比值的结构

而右端又正好可以改写成仅仅包含中值 ，还正好是这两个函数的导函数在 的取值的比值的结构，所以，只要令

在区间上 应用柯西中值定理就直接证明了需要证明的等式.

6、多中值命题的证明

如果需要证明的中值命题中包含有多个中值, 则一般需要应用综合应用几个中值定理验证. 其思路是将不同中值各自移动到一侧，或者放置一起，然后构造函数分别得到相应中值构建等式. 对于这样的中值等式命题证明和以及相关中值不等式结论的证明，它们的一般证明思路和典型的例题探索分析，咱们可以参见全国大学生数学竞赛，真题解析在线课堂中的真题解析。

比如【第八届全国初赛非数学类真题】第五题！第十二届全国初赛非数学类真题]的第三大题，它们借助于真题，详细的探讨了综合应用多个中值定理证明多中值的等式命题，和应用零值定理。拉格朗日中值定理证明中值等式命题的一般思路与方法。

7、泰勒中值定理

泰勒中值定理是竞赛证明中用得频率相对比较高的一个定理！它与带皮亚诺余项的泰勒公式不同的地方主要有两个，一个是条件不同，一个是余项不同!

条件不同：带皮亚诺余项的泰勒公式只需要在给定点 处，存在有 阶导数就可以写出 阶带皮亚诺余项的泰勒公式；而泰勒中值定理则要求函数在包含展开点的一个邻域，或者一个区间内要有 阶导数，才能写出 阶的带拉格朗日中值余项的泰勒公式，也就是泰勒中值定理的结论。如果仅仅是邻域 阶可导的话，则只能写出 阶泰勒公式。

余项不同：一个不确定的高阶无穷小量；一个是相对确定的拉格朗日余项。

泰勒中值定理适用的问题及一般求解思路:

如果一个问题中同时包含有二阶及二阶以上导数、函数值、自变量值等多个元素，则一般都可以尝试性地使用函数的泰勒公式或麦克劳林公式来探索其求解思路与过程. 应用的步骤也可以大致概括为四步:

第一步: 依据上面提到的使用的问题类型来确定使用泰勒公式尝试探索可能的思路。也就是判断确定问题类型，即根据已知条件和结论表达式，确定应用泰勒公式法来求解；

第二步：确定泰勒公式的展开点和可展开阶数

这是应用泰勒公式解题的关键！确定泰勒公式展开的点的基本原则是：

(1)如果需要验证的结论是中值命题，不管是等式还是不等式，则泰勒公式一般为定点展开的泰勒公式。就是通常在 点展开的泰勒公式。展开的位置一般可以为区间的端点、区间的中点，或者条件、结论中出现的，已知了函数值，或导数值的其它定点! 一般有中点已知条件的，首先考虑在中点展开.

(2)如果要验证的结论是有关于函数或者导函数的结论，则一般在动点展开，即在区间内任意点处展开. 比如已知函数 阶可导，在动点 展开的 阶泰勒公式就为 等于在 点展开的泰勒公式，它表示区间内任意点 ，可以用任意点 处的泰勒公式表示；在使用过程中可以固定 ，也可以固定 来满足不同的证明需要。

其中 位于 之间.

第三步：应用泰勒公式求函数值，构建等式或不等式关系

根据已知条件中给出的点，或者对讨论的区间端点、中点，或者其它可能需要的点，或已知了函数值、导数值的点，由泰勒公式计算相应的函数值，并代入已知条件中的函数值，得到可能的泰勒公式等式关系。

如果考虑的区间为无穷区间，则自变量 处展开的泰勒公式，在用泰勒公式计算函数值时，可以取自变量 为在 或者 ，或者相差其他常数 ，或 的泰勒公式取值。

比如，对于任意点 处的泰勒公式

当取 ，则有

也就不包含自变量项了，给出了函数、导函数和 阶导数值之间的关系. 当 取为 也就是对应的定点泰勒公式。

尤其是在需要用到泰勒公式，联系不同阶数的导数之间的关系，并且不出现自变量的取值时，这样取自变量为 ，公式中不会出现自变量的取值，而且根据 a 的取值不同还会得到不同的导数相关的等式。

另外，在实际验证的过程中，还可能根据问题需求，还需要考虑同时在已知的两个、或多个定点写出多个泰勒公式，来计算同一自变量值的函数值，获得不同的泰勒公式表达式。

第四步：变换、改写等式，推导、验证结论。

根据需要验证，或者求解的结论中的表达式，改写、变换、组合第三步得到的所有等式，构建结论中需要的表达式结构，并结合其他结论，推导验证得到结果.

这个步骤属于探索性的步骤，一般来说，如果直接研究函数相关的结论，则一般只需要一个泰勒公式直接尝试性的推导结论就差不多了；如果一个泰勒公式描述形式得不到需要的结论，或者泰勒公式中包含有不需要，或者不确定的项，则可能需要用两个、或者多个泰勒公式等式做相关的运算，比如加减运算，来消去某些无关项，或者消去某些不确定项，保留需要的项来推导验证所需结论.

【注】如果以上思路得不到需要验证的结果，则需要改变思路方向；要么重新变换公式，要么重新选择解决问题的思路与方法，比如二阶及以上的结论的验证，还可以考虑多次罗尔定理，或拉格朗日中值定理，其中等式的验证一般多次使用罗尔定理，不等式的验证一般考虑多次使用拉格朗日中值定理.

对于泰勒公式应用于解题的实例分析，大家同样可以参考全国大学生数学竞赛真题解析在线课堂中的真题，比如第三届全国初赛非数学真题的第三题，第三届全国初赛真题也是第三题，都是十几分的大题。在解析视频课堂中，详细分析泰勒公式应用于等式与不等式证明的一般思路，使用过程中要注意的问题，以及思路的详细探索过程，当然也给出详细的解题步骤。大家希望通过实例来加深应用理解的话，完全可以参考这两个真题的解析视频。

二、函数的单调性、极值与最值

对于这部分内容的相关的基本内容与基本方法，比如函数单调性判定和单调区间的计算、函数极值点的判定与极值的计算、闭区间上连续函数最值的计算这里就不详细回顾、总结了。这个在一般教材中都给出了固定的步骤。所以这里主要分析一下它的常见应用与相关的题型。

1、函数单调性、极值、最值的判定与计算

这个步骤比较固定，直接按照高等数学课程推文中给出的步骤就可以完成相应的问题求解。具体可以参考如下推文：

2、验证函数与数列不等式

借助函数的单调性，或极值、最值验证函数不等式的通常的思路有两个:

（1）改写、移项构建辅助函数，借助函数在区间端点的函数值或极限值，和函数的单调性验证函数不等式。

• 证明 如果左端点处 或 ，则考察函数 单调递增；如果右端点处 或 ，则考察函数 单调递减.

• 证明 : 如果左端点处 或 ，则考察函数 单调递减；如果右端点处 或 ，则考察函数 单调递增.

对于这个思路的应用应该注意这样几个方面：

• 对于开区间上的函数不等式，如果构建的辅助函数在区间端点有定义，则可以考虑转换为闭区间讨论，或者通过添加端点处的定义在闭区间上讨论。

• 一般将函数值容易计算的端点值作为比较端点。

• 对于数列不等式可以将 改写为 ，转换为函数来处理.

• 一阶导数判定不成功，可以考虑二阶、三阶，甚至更高阶导数来判定低阶导函数的单调性方式来完成验证. 对于直接导函数符号不好判定的，可以考虑提取部分表达式正负的判定来得到整体的符号!

(2)转换不等式为函数值小于、或大于常数值的结构，通过计算函数最值的方式来验证不等式 (如函数大于等于最小值，小于等于最大值)，对于开区间的函数值考虑左右端点或无穷原处的极限值. 即当构造的辅助函数不具有整体的单调性时，可以考虑最值的方法来验证，如：

• 证明 ，转换为验证 。

• 证明 ，转换为验证 。

对于一种方法没法完成的，可以借助导函数的特征，考虑应用以上两种思路相结合的方式来验证结论.

3、验证常值不等式

基于函数的单调性或最值的方法验证常值不等式的思路探索的方向通常也有两个：

(1)改写转换常值不等式为一个函数在两个不同点的函数值，并通过判定函数在由两个端点构成的区间上的单调性来确定函数在两个不同点的函数值的大小； 比如证明不等式：

\frac{x_{2}}{x_{1}}\left(0 < x_{1} < x_{2} < \frac{\pi}{2}\right) \\ & \Leftrightarrow \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}} \\ & \Rightarrow f(x)=\frac{\tan x}{x} \end{aligned} ">

（2）改写不等式，选取其中一个常值变量或表达式为变量，构建辅助函数，借助于函数单调性的判定来确定不等式.

比如验证不等式:

\frac{2(b-a)}{b+a}(b>a>0) ">

就可以令 ，或 ，或者 ，将常值不等式的证明问题转换为研究函数的单调性来讨论。

4、判定方程的根或函数零点的个数

(1)借助零点定理、罗尔定理或极值、最值，函数的单调性来判定根或者函数零点的存在性、个数或存在的区间；

(2)借助函数的严格单调性、或反证法判定函数零点或方程根的唯一性，或个数.

例 2判定方程 有几个实数根。

【参考解答】: 记 , 则

0. \end{aligned} ">

令 得唯一驻点

0. ">

因 ，则 为 的唯一极小值点，也是唯一最小值点. 当 时， ，当 时， ，因此 在 内递减，在 内递增. 这说明它在 至多只有两个实数根. 又

0, f(2)=-1 < 0, \\ f(3)=1>0. \end{gathered} ">

由闭区间上连续函数的零值定理知，方程 在 及 内分别至少有一个实数根。

综上，方程 在 内恰好有两个实根。

三、曲线图形的凹凸性与分析作图法

如果没有特殊说明，高等数学中的凹凸性一般指的是曲线图形的凹凸性，如上图的曲线为凹曲线，或者下凸曲线。

1、函数图形凹凸性的不等式描述

如果曲线图形为严格的凹曲线，则由一些下面的等价的描述与判定方法:

(1)【割线特征 1】设 在 上有定义，在 上任取两点 ，对于任意 ，有

(2)【割线特征 2】设 在 上有定义，在 上任取两点 ，对任意实数 ，恒有

(3)【中点特征】设 在 上有定义，在 上任取两点 ，

(4)【切线特征】设 在 上有定义，在 内可导，在 内容任取一点 ，对于任意 ，有

f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right). ">

(5) 导函数特征: 定理 设 在 内具有二阶导数，

• 如果在 内，二阶导数 ，那么 描述的曲线图形为严格的凹曲线；

• 如果在 内，二阶导数 ，那么 描述的曲线图形为严格的凸曲线。

前面的四种描述也可以认为是函数描述的曲线为凹曲线四个不同等价定义描述. 后面导函数的特征，二阶导数的符号，可以认为函数的凹凸性判定方法。

【注 1】将上面的不等号改变符号，则为凸曲线（上凸曲线）的不等式描述. 借助以上不等式描述可以判定曲线的凹凸性.

【注 2】借助曲线图形的凹凸性特征可以用于证明函数不等式或常值不等式.

【特别注意】国内很多高等数学教材中，一般将凹曲线对应的函数就称为凹函数，凸曲线对应的函数就称为凸函数；而在国外，或国内某些数学分析教材，或涉及经济学的书籍中，则一般沿用国外的说法，凹曲线(下凸曲线)对应的函数为凸函数（Convex Function），凸曲线（上凸曲线)对应的函数为凹函数(Concave Function)，定义正好相反！而同济版的教材则没定义函数，直接定义的是图形：即曲线的凹凸性。对于图形一般沿用这种直观说法，曲线图形的凹凸性。对于函数沿用国外定义，即凹曲线凸函数，凸曲线凹函数。对于具体问题则根据题意确定！

对于函数图形的凹凸性和拐点的判定，在教材中也给出了固定的步骤和例题，所以这里也就不多做探讨了！也可以直接参考推文：。只不过要特别注意：

【注 1】特别注意，拐点一般指的是曲线图形上的点，所以为坐标点 . 极值点是函数的极值点，所以为变量的取值 .

【注 2】可能取到拐点的位置为函数二阶导数等于 0 的点或者一阶、二阶导数不存在的点.

【注 3】如果 是函数 的拐点，则 是函数 的一阶导函数 的极值点. 曲线图形的拐点是导函数单调性分界点，也即描述曲线的函数二阶导数改变符号的点.

关于函数的凹凸性，有一个重要的不等式结论:

琴声(Jensen)不等式（詹森不等式）：如果 是区间 上的凸函数(描述的曲线为凹曲线 ，则对任意的

当函数描述的曲线为凸曲线的时候，即 时，则不等号反号。对于琴声不等式，用得比较多的形式是 。

当函数取为对数函数 ， 大于 0 的时候，则可以推导得到均值不等式，也就是几何-算术平均值不等式。

【注】琴声(Jensen)不等式与几何-算术平均值不等式一样，只要不是专门要求验证这个不等式结论，在写出其名称的前提下，可以直接应用其结论讨论问题、验证结论，其结论可以认为是曲线图形凹凸性的一个性质直接使用!

由于曲线凹凸性的研究都是不等式描述的结论，所以借助它的性质，通过取适当的函数，能够有效地验证某些不等式结论。

例 3在 中，证明:

【参考解析】: 令 ，则

0(0 < x <\pi) ">

即函数 为严格的凸函数（凹曲线），则由凸函数的性质（即 Jensen 不等式），得

由于 ，所以

其中等号当且仅当 时成立.

四、分析作图法的基本步骤与典型题分析

对于分析作图法，也就是对于要求描述一个给定函数的图形的问题，应该考虑和至少具有如下五个步骤:

第一步：函数 的一般性质分析：确定函数 的定义域、奇偶性(画一侧的图形)、周期性(画一个周期上的图形).

第二步: 求一阶导数和二阶导数，确定使 的点及 不存在的点 ，即找出函数 的可能的极值点和拐点；并以这些点 为分割点分割定义域为定义区间。

第三步: 列表分析，分别根据 及 的符号确定 的单调区间和凹凸区间、极值点和拐点.

第四步: 用渐近线界定曲线的变化趋势. 分析并求函数描述的曲线的水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线.

第五步：描点作图，并标出关键点的坐标(包括与坐标轴的交点)，画出渐近线，用光滑曲线连接各关键点.

一般按照以上步骤就可以相对比较准确的绘制出函数描述的曲线图形，并且能够观察出曲线的基本变化性态。

【注】：关于曲率与曲率圆一般就是几个公式的应用和基本的性质，直接参考高等数学系列推文：中有关于曲率的讨论就行了。

最后列出一些中值命题证明中常用的辅助函数构建类型：

通常考试中的中值等式命题结论表达式对应的原函数，都可以转换为以上形式来获得。其中辅助函数所具有的结构或形式，一般可以根据已知条件，推导、变换得到各种可能的结果表达式，再结合需要证明的中值等式来尝试寻找. 其中常见的获得原函数的方法是，基于四则运算与复合运算的求导结果，或者不定积分、求解常微分方程等方法. 同时，值得注意的是原函数 的形式不唯一。

关于一元函数导数与微分及其应用基础性的知识点总结，题型及其求解方法与基础练习题可以参考推文：

以上就是咱们今天探讨的内容，与之相关的更多的典型问题及详细的求解思路与方法可以参考）或中专题练习。

感谢学友们的阅读、关注与支持，咱们下期再见!