专题讲座07：不定积分计算的一般思路与常用求解方法

不管是非数学类竞赛，还是数学类竞赛，一元函数的积分都是考查的重点与难点。接下来的两次讲座主要探讨不定积分、定积分计算的一般思路和变限积分相关的题型及典型问题；回顾、总结了定积分的概念、性质、应用及其在解题中的应用与需要注意的问题；最后结合典型例题，探讨了反常积分敛散性的判定思路与方法！两次讲座的探讨的主题包括：

• 不定积分计算的一般思路

• 定积分的概念、性质及其应用

• 变限积分函数的性质及相关问题求解

• 定积分计算方法与一般思路

• 定积分常见几何应用与物理应用

• 反常积分及其敛散性的判定

其中不定积分的计算，对于非数学类竞赛，尤其是一些省赛与学校选拔赛来说，是一个重点，一般都会出现一个到两个相关的题目；而利用定积分的概念、性质论证的题目与反常积分敛散性的判定，则不管是非数学类竞赛还是数学类竞赛，不管是决赛还是初赛，都是重点，也是难点！每次竞赛中出现的难题，除了抽象的常数项级数敛散性判定外，差不多都出现这两部分！其中涉及到变限积分的问题和定积分计算相关的主题也是各类竞赛，也包括考研，也是重点考察的一个内容，从题目的分布数量也可以看出来，所占的题目比例还是相当大的！

对于这次讲座的内容，除了适用于非数学类的初赛、决赛外，同样也适用于数学类的初赛与决赛，数学类中出现的绝大部分竞赛题目，一般都可以直接应用高等数学课程中的思想与方法来求解。也就是说，一元函数积分学中出现的竞赛题，在两类竞赛中出现的题目，大部分都是相通的。

由于很多定积分的计算，基于微积分基本公式，最终都可以归结为不定积分的计算，而且定积分的计算方法基本与不定积分一致。所以对于一元函数的积分计算咱们重点探讨不定积分计算的一般思路与常用求解方法。

不定积分计算的方法主要有换元法与分部积分法法。对于一般函数的不定积分，不管是考虑换元法还是分部积分法，其实都具有一定的规律性。

比如第一类换元法和分部积分法，它的一般思路是：考虑将被积函数拆分成两个函数的乘积，如

然后选择简单的函数计算原函数，构建微分表达式；比如假设 是原函数容易计算的函数，记它的原函数为 ，积分也就等于 。

如果 可以改写成 的函数，即积分等于 ，则考虑第一类换元法，令 ，将积分转换为可能，可以直接计算的，关于变量 的不定积分 .

如果 不能改写成 的函数，则考虑分部积分法，由分部积分公式，积分等于

原积分的计算，也就转换为计算被积函数为 的不定积分. 如果这个积分比原积分简单，则分部积分成功!

在使用分部积分计算不定积分的过程中，要时刻关注所得不定积分，与之前不定积分中间过程表达式，包括最终需要计算的不定积分表达式之间的关系，说不定转换后的不定积分，根本就不需要真正计算，就可以直接与中间过程中的项相互抵消，或者与前面的积分组合后，就可以得到最终需要计算的积分结果。

比如咱们最熟悉的积分

另外下面的这个不定积分计算过程:

这样就使得一些看似不可积，或者不好积的积分巧妙地计算出来了! 以上就是基于第一类换元法与分部积分法、探索不定积分计算的一般思路与过程。当然，在实际计算过程中，这不一定是首先考虑的方法，当被积函数具有一些特定的结构的时候，可能首先应该考虑的是第二类换元法。

对于第二类换元法，常用的换元法有：三角代换，根式代换，倒代换，指数、对数代换等，当然，根据 被积函数的结构，还可以有其他更多的函数代换。

第一类：三角代换：当被积函数中包含有

表达式时，通常分别令

应用三角换元时，一般计算的得到的结果中包含有关于 变量的三角函数表达式，要将它们转换为 变量的描述形式，一般不应用三角函数的变换公式来转换，而是借助于以下三个三角形来直接获得。

第一个是 ，即令 换元对应的三角形；第二个是 ，即令 对应的三角形，第三个是 ，即令 对应的三角形. 由相应的三角形，可以直接得到关于 变量的其他三角函数关于 的表达式。

第二类根式代换：当根式中的表达式不能写成平方和，或平方差结构时，也就是不能使用三角代换去掉根号的时候，一般考虑根式代换. 即直接令整个根式为一个变量；当被积函数中，同时包含有同一个表达式，开不同次方的根式，比如 开二次方根 和 开三次方根 的结构时，则可令该表达式开六次方根

这样换元也就可以同时去掉两个根式!

第三类：倒代换，令 ；当分母的次数比分子的次数高两次以上时，考虑倒代换，目的是将次数转换到分子上方便化简、计算.

第四类常用的代换为指数代换与对数代换，当被积函数是指数函数的函数，对数函数的函数 时，一般可以考虑将指数函数对数化，或对数函数指数化来转换被积函数结构，对于大于 0 ，不等于 1 的底的指数函数或对数函数，通常还将它们转换为自然常数为底的指数函数，或对数函数来处理

当然，在使用这些方法之前，拿到一个不定积分的计算问题时，还要考虑是否可以使用基本计算方法来计算不定积分：即是否可以借助不定积分的线性运算性质，将它转换为已经知道了原函数的、一些基本积分计算公式来执行计算。

另外，对于一些特定结构的不定积分，也有相对固定可能的解题思路。

• 有理函数的积分，通过部分分式分解，拆分为最简部分分式积分来计算，一般最终就只需要计算多项式函数的积分，和这样几类最简分式的积分来完成计算。

• 三角函数的积分，统一三角函数名称的方法，统一函数名称的方法一般借助三角恒等变换关系，或求原函数、求导的方法来实现，多个不同的三角函数变换为统一函数名称，常用的公式为三角函数的万能公式，

它们将不同的三角函数都统一描述为半角正切函数，然后通过令正切函数为一个变量 ，可以将三角函数的计算问题，转换为有理函数的计算问题。

• 包含特殊函数的不定积分:

绝对值函数、最值函数、符号函数等，对于这类积分，首先将函数改写为分段初等函数表达式，然后再分区间积分，对于这类问题，要特别注意的是，在分段点处要保证不定积分的结果函数的连续性和可导性，并且结果函数中只能有一个任意常数，也就是要通过分段点处的连续性、可导性确定不同区间上的不定积分之间任意常数的关系。

• 被积函数包含非负整数 参数的不定积分:

对于一些被积函数中包含有非负整数 为参数的不定积分，当积分与 相关时，则这类积分一般可以考虑分部积分法，或者拆分被积函数的方法来构建关于 的递猚式，通过 取最小值，比如 0,1 时的积分值递推得到 n 取任意值的积分表达式。

• 被积函数包含导数乘项的不定积分

将导数项与 dx 结合构建微分，然后基于不定积分的分部积分法计算.

• 不定积分的参数化计算方法:

练习1: 设隐函数 由方程 所确定，求 .

【提示】令 ，则

于是可得

这是 2019 年第十一届全国赛初赛非数学类的一个填空题。对于这样的问题，可以通过引入参数，依据二元方程转换为参数方程描述的方法，将自变量 x 和因变量 y 都用同一个参数的函数表达式

直接代入被积表达式，从而将积分转换为对参变量的积分。然后将得到的关于参变量的积分表达式，通过变量的参数表达式，转换为 ， 的函数表达式。其实，不定积分的参数化计算方法也就是不定积分的换元法。类似还有隐函数确定的函数的不定积分，也可以基于参数方程的方法来计算。

练习2: 设 为由方程 所确定的隐函数，求不定积分 .

【提示】令 ，代入

得 ，即 ，故得

从而基于参数方程方法计算并回代结果，可得

对于这个积分的计算思路探讨和该类不定积分计算的一般思路与方法，大家可以参考全国大学生数学竞赛历届真题解析在线课程，在该课程中查阅第十一届真题的，填空题第 2 题的视频片段，就可以了；对于包含参数 的积分的计算一般思路与方法的分析、探讨，也可以参考 2010 第二届全国初赛填空题第 3题的视频解析。

当然，要使用以上的方法与思路最后完成计算，最基本的不定积分公式必须记住，或者能够推导出来，同时在计算过程中，要随时注意仔细考察中间计算结果的特征，及时发现规律，调整解题方向，探索得到可行的解题思路与过程。

另外，值得注意的是，对于最初的对被积函数的拆分

有时候并不那么容易，对于不能拆分的，直接可以取 ，即直接就取

考虑应用分部积分法计算；比如通常的 ，变限积分函数等函数的积分。 一般函数的拆分方式则有很多种，有些拆分方式可能可以完成最终的计算，而有些拆分不一定行得通。具体怎么拆，还需要不断尝试。另外也可以结合函数包含的一些项的结构特征，基于积分的运算性质，通过改写，或部分求导，或其他运算的方式，比如加项、减项，乘项、除项等，拆分被积函数为两项乘积项，然后再考虑应用换元法，或分部积分法，综合使用多个方法探索可能的计算方法。

比如 ，该函数可拆分为

也可以拆分为

如果拆分为后面的形式， 容易构建原函数为 ，但是第二部分求导会非常复杂；所以不考虑！而对于第一个拆分，对于第一个积分的原函数相对比较容易，可得

直接代入分部积分，也会得到一个相对复杂的积分表达式！这样的过程，可以说都不是一个特别有效的过程！分部积分一般要求，后面转换得到的不定积分，要比原积分简单，至少不能更复杂了！重新尝试考虑对第一个分割形式的第二个函数 构建原函数！怎么构建呢？也就看如何才能得到那个分母项，怎么得到这样一个分式呢? 对数函数求导，即考虑对

这是时候再对比一下原来的被积表达式，正好出现了余下函数项的分子，只是多了一个指数函数 ，对原被积函数乘以 再除以 ，这样也就构建出符合条件的拆分方式，也就有

这样，再令 ，则原式可转化为最简单的有理式的积分了!

回代 ， 得

这个过程，也就相当于给出了一个有效的构建换元表达式的方式。 而对于有些积分，这样构建表达式后，可能也就直接应用分部积分可以解决了。比如最经典的一个不定积分问题! 计算 ，由于

从而

从而得

对于多次使用分部积分时，也要注意一点，一般要求每次构建微分项的函数类型一般要一致。比如这里，微分都是 。当然，有一些积分可能需要改写、拆分，比如基于线性运算之后，然后再对其中的部分积分，依据上面的思路来探索可能的求解思路！比如：

以上就是不定积分计算的一般思路探索过程。更详细的思路探讨和经典的例题分析，咱们也可以查阅全国大学生数学竞赛初赛非数学类真题解析在线课程，第九届、第十届竞赛真题解析课堂中，借助实例，详细分析、探索了不定积分计算的一般思路分析与探索，以及应用换元法、分部积分法计算不定积分过程中要注意的一些问题，当然也包括查阅，刚才提到的 2019 年第十一届全国初赛的不定积分计算的填空题，通过教学视频，更加深入的理解参数化方法计算不定积分的思路与方法。

关于一元函数不定积分、定积分及其应用与反常积分基础性的知识点总结，题型及其求解方法与基础练习题可以参考推文：

以上就是咱们今天探讨的内容，与之相关的更多的典型问题及详细的求解思路与方法可以参考）或中专题练习。

感谢学友们的阅读、关注与支持，咱们下期再见!